【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（九） 含答案.docx，共(15)页，896.445 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）抚松一中暑假综合题（九）高一数学一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z的共轭复数为z，且满足11izzi+−=−，i为虚数单

位，则复数z的虚部是（）A．12B．2C．12−D．2−2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（）A．13B．112C．16D．5363．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有

两位同学的生日在同一天(记为事件A)的概率是0.97．据此我们知道（）A．取定一个标准班，事件A发生的可能性是97%B．取定一个标准班，事件A发生的概率大概是0.97C．任意取定10000个标准班，其中大约9700个班发生事件AD．随着抽取的标准班数n不断增大，事件A发生的频

率逐渐稳定在0.97，在它附近摆动4．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（）A．3B．4C．5D．65．如图，某沙漏由

上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的12（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（）A．45B．85C．3217D．16

176．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A．202B．252C．50D．2007．在ABC中，32ABBCBCCACAAB==，则sin:

sin:sinABC=（）A．5∶3∶4B．5∶4∶3C．5:2:3D．5:3:28．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，8010030abA===，，，则B的解的个数是（）A．2B．1C．0D．不确定9．边长为

a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD折成60的二面角，此时点A到直线BC的距离是（）A．aB．62aC．33aD．154a10．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量,ab→→，若ab→→，且a→与b→同向，则ab→→B．已知6,ae→→=为单位向量，若3,4ae→→=，

则a→在e→上的投影向量为32e→−C．设,mn→→为非零向量，则“存在负数，使得mn→→=”是“0mn→→”的充分必要条件D．若0ab→→，则a→与b→的夹角是钝角11．在长方体1111ABCDABCD−中，14AAAB==，2BC=，M，N分别为棱11CD，1CC

的中点，则下列说法正确的是（）A．AMNB、、、四点共面B．平面ADM⊥平面11CDDCC．直线BN与1BM垂直D．//BN平面ADM12．正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点,EF，且12EF=，则下列结论中错误的

是（）A．ACAF⊥B．//EF平面ABCDC．三棱锥ABEF−的体积为定值D．AEF的面积与BEF的面积不相等二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13、已知向量sin,cos33a=，()1,0b=，则a、b的夹

角为___________．14、某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为23，34，45，且三人是否通过考核

相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为__________．15、某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.

4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是___________．16、已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a//b，则α//β；②若a，b相交且都在α，β外，a//α，b//β，则α//β；③若a//α，a//β

，则α//β；④若a⊂α，a//β，α∩β=b，则a//b．其中正确命题的序号是___________．三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，

并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对这两种出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下：满意程度30岁以下3

0-50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意5020102020（1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数

据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）若从样本中30-50岁的满意程度一般的乘客中按照乘车类型用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机挑选3人咨询改进措施，求这3人中至少有2人乘坐BRT的概率．18、甲、乙二

人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码．（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”

的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为AB+，所以()()()PABPAPB+=+0.80.71.5=+=．请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．．19、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为

平行四边形，∠ACB=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点．（1）求证：//ABMN；（2）求点B到平面PCD的距离．20、如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平

面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC⊥，且ACBC=．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成角正切值．2020—2021学年（下）抚松一中暑假综合题（九）高一数学答案二、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z的共轭复数为z，且满足11izzi+−=−，i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．12B．2C．12−D．2−【答案】A【解析】令zxyi=+，则121izzyiii+−==

=−，所以12y=，即复数z的虚部是12．故选A．2．先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为（）A．13B．112C．16D．536【答案】C【解析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6636=种结果，满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出

所有的事件(1，6),(2，5),(3，4),(4，3),(5，2),(6，1)，共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61366P==3．任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班)，至少有两位同学的生日在同一天(记为事件A)的

概率是0.97．据此我们知道（）A．取定一个标准班，事件A发生的可能性是97%B．取定一个标准班，事件A发生的概率大概是0.97C．任意取定10000个标准班，其中大约9700个班发生事件AD．随着抽取的标准班数n不断增大，事件A发生的频率逐渐稳定在0.97，在它附近摆

动【答案】D【解析】对于给定的一个标准班来说，事件A发生的可能性不是0就是1，故A与B均不对；对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，4．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M

，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN或其补角即

异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，所以MN＝5．故选C．5．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的12（中间衔接的细管长

度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（）A．45B．85C．3217D．1617【答案】D【解析】细沙在上部容器时的体积211284833V==，流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为1h，则211128833

h=，所以12h=，下部圆锥形沙堆的母线长2282217l=+=，故此沙堆的侧面积82171617S==侧6．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是

（）A．202B．252C．50D．200【答案】C【解析】设球的半径为R，由题意，球的直径是长方体的体对角线，所以()2222234550R=++=，解得522R=，所以球的表面积为2450SR==7．在ABC中，32ABBCBCCACAAB==，则sin

:sin:sinABC=（）A．5∶3∶4B．5∶4∶3C．5:2:3D．5:3:2【答案】D【解析】由题意，在ABC中，32ABBCBCCACAAB==，利用向量的数量积的定义可知()()()coscoscos32acBabCbcA−−==−，即coscos

cos321acBabCbcA==，即222222222322212acacbababcbcbcaacabbc+−+−+−==，即222222222222333666acbabcbca+−=+−=+−，设222222222222333666acbabcbcak+−

=+−=+−=，解得2225,3,4akbkck===，所以5,3,4akbkck===，所以由正弦定理可得::sin:sin:sin5:3:2abcABC==．8．ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，8010030abA===，，，则B的解的个数是（）A．2

B．1C．0D．不确定【答案】A【解析】由正弦定理知，sinsinabAB=，即80100sin30sinB=，解得5sin8B=，又(0,)B，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足AB+，即存在；当角B为钝角时，39cos8B=−，53391533

9sin()0828216BA−+=+−=，则满足AB+，即存在；故有两个解．9．边长为a的正三角形ABC沿BC边上的高线AD折成60的二面角，此时点A到直线BC的距离是（）A．aB．62aC．33aD．154a【答

案】D【解析】如图，结合题意绘出图象，取BC中点O，连接AO，因为AD为BC边上的高，所以CDAD⊥，BDAD⊥，则BDC∠即为二面角的平面角，60BDC=，因为ABC是正三角形，所以CDBD=，BCD△是正三角形，2aBC=

，4aBO=，因为ACAB=，O是BC中点，所以AOBC⊥，AO长度即点A到直线BC的距离，222215164aaAOABBOa=-=-=．故选D．10．下列说法正确的是（）A．对于任意两个向量,ab→→，若ab→→，且a→与b→同向，

则ab→→B．已知6,ae→→=为单位向量，若3,4ae→→=，则a→在e→上的投影向量为32e→−C．设,mn→→为非零向量，则“存在负数，使得mn→→=”是“0mn→→”的充分必要条件D．若0a

b→→，则a→与b→的夹角是钝角【答案】B【解析】对于A选项，由于向量不能比较大小，故A选项错误；对于B选项，a→在e→上的投影为2cos,6322aae→→→=−=−，故a→在e→上的投影向量为32e→−，故B选项正确；对于C选项，若

存在负数，使得mn→→=，则m→与n→方向相反，夹角为，故0mn→→；反之，若0mn→→，则m→与n→的夹角为钝角或者，所以“存在负数，使得mn→→=”是“0mn→→”的充分不必要条件，故C选项错误；对于D选项，若

0ab→→，则a→与b→的夹角是钝角或者，故D选项错误．11．在长方体1111ABCDABCD−中，14AAAB==，2BC=，M，N分别为棱11CD，1CC的中点，则下列说法正确的是（）A．AMNB、、、四点共面B．平面ADM⊥平面11CDDCC．直线BN与1BM垂直D．//BN平面ADM

【答案】B【解析】对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故AMNB、、、四点不共面，故A错误；对于B，由题意AD⊥平面11CDDC，故平面ADM⊥平面11CDDC，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；对于D，//BN平

面11AADD，显然BN与平面ADM不平行，故D错误；故选B12．正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点,EF，且12EF=，则下列结论中错误的是（）A．ACAF⊥B．//EF平面ABCDC．三棱锥ABEF−的体积为定值D．AEF的面积与BEF

的面积不相等【答案】A【解析】对于A选项，取F与1B点重合，连接1AB、1BC，则112ACABBC===，所以1ABC为等边三角形，则160BAC=，此时，AF与AC不垂直，A选项错误；对于B选项，因为平面1111//ABCD平面ABCD，EF平面1111DCBA，所

以，//EF平面ABCD，B选项正确；对于C选项，1BB⊥平面1111DCBA，EF平面1111DCBA，则1BBEF⊥，所以，11124BEFSEFBB==△（定值），且点A到平面BEF的距离为定值，因此，三棱锥ABEF−的体积为定值，C选项正确；对于D选项，

连接1AD、1AB，取11BD的中点O，连接AO，则11112ABADBD===，且O为11BD的中点，11AOBD⊥，且16sin602AOAB==，所以，1116622228AEFBEFSEFAOS===△△，D选项错误．二、填空题(本题共4小题，

每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13、已知向量sin,cos33a=，()1,0b=，则a、b的夹角为___________．【答案】6【解析】31sin,cos,3322a==

，()1,0b=，则3cos2abab==，0Q，则6=．故答案为6．14、某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人

通过考核的概率分别为23，34，45，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为__________．【答案】1330【解析】设这三人中仅有两人通过考核为事件M，小郑、小汤、小王三人通过考核分别为

事件A，B，C，则()23PA=，()34PB=，()45PC=，所以()13PA=，()14PB=，()15PC=，所以()()()()2311342141334534534530PMPABCPABCPABC=++=++=15、某车间12名工人一天生产某产品(单位：kg)的数

量分别为13.8，13，13.5，15.7，13.6，14.8，14，14.6，15，15.2，15.8，15.4，则所给数据的第25，50，75百分位数分别是___________．【答案】13.7，14.7，15.3【解析】将12个数据按从小

到大排序：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8．由i=12×25%=3，得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数即13.613.82+=1

3.7；由i=12×50%=6，得的给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数，即14.614.82+=14.7；由i=12×75%=9，得所给数据的第75百分位数是第9个数据和第10个数据的平均数，即15.215.42+=15.3．故答案为13.7，14.

7，15.316、已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ=a，β∩γ=b，且a//b，则α//β；②若a，b相交且都在α，β外，a//α，b//β，则α//β；③若a//α，a//β，则α//β；④若a⊂α，a//β，

α∩β=b，则a//b．其中正确命题的序号是___________．【答案】④【解析】①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．故答案为④三．解答题(本题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．动车和BRT(快速公交）的出现，方便了人们的出行，并且带动了我国经济的巨大发展，根据统计，在2020年从甲市到乙市乘坐动车和BRT的人数众多，为了调查乘客对这两

种出行方式的满意度，研究人员随机抽取了500名乘客进行调查，所得情况统计如下：满意程度30岁以下30-50岁50岁及50以上乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT乘坐动车乘坐BRT满意5051001010020一般201540202025不满意50201020

20（1）若从样本中任取1人，求抽取的乘客年龄在30岁及30岁以上的概率；（2）记满意为10分，一般为5分，不满意为0分，根据表中数据，计算样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分以及方差；（3）若从样本中30-50岁的满意程

度一般的乘客中按照乘车类型用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机挑选3人咨询改进措施，求这3人中至少有2人乘坐BRT的概率．【答案】（1）0.81；（2）平均分为7.5，方差为12.5；（3）15．【解析】（1）30以下的乘客有5052015595++++=人则所求概率为500950.8150

0p−==（2）依题意，样本中30~50岁乘坐动车乘客满意程度的平均分为100104057.5160+=方差为()()()222100107.54057.52007.512.5160−+−+−=（3）依

题意，乘坐动车的抽4人，记为甲、乙、丙、丁；乘坐BRT的抽2人，记为A，B．从这6人中随机抽取3人，所有的情况为(甲，乙，丙），(甲，乙，丁），(甲，乙，A)，(甲，乙，B)，(乙，丙，丁），(乙，丙，A)，(乙，内，

B)，(丙，丁，A)，(丙，丁，B)，(丁，A，B)，(甲，丙，丁），(甲，丙，A)，(甲，B)，(甲，A)，(甲，B)，(甲，B)(乙，丁，A)，(乙，丁，B)，(乙，A，B)，(丙，B)，共20种．所以满足条件的有4种，故所求的概率为15p=.18、甲、乙二人独立破译同一

密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7．记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码．（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“

甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以随机事件“密码被破译”可以表示为AB+，所以()()()PABPAPB+=+0.80.71.5=+=．请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程．【答案】（1）0．56；（2）0．38；（3）0．94．【解析】（1）由题意可知()0.8PA=，()

0.7PB=，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB，所以()()()0.80.70.56PABPAPB===；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为+ABAB，且AB，AB互斥所以(

+)()+()()()+()()PABABPABPABPAPBPAPB==0.20.70.80.30.38=+=（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程中，A和B不是互斥事件，()()()PABPAPB+=+()PAB−，

小明求解时没有减掉甲、乙同时破译的概率，正确解法为()()()PABPAPB+=+()PAB−0.80.70.80.70.94=+−=．20、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ACB=45°，PA⊥底面ABCD，AB=AC=P

A=2，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点．（1）求证：//ABMN；（2）求点B到平面PCD的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】（1）因为底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF//CD，所以EF//AB．EF平

面PCD，CD平面PCD，所以//EF平面PCD，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，所以MN//EF，所以AB//MN．（2）因为∠ACB=45°，AB=AC=PA=2，所以∠BAC=90°=∠ACD，CDAC⊥，又PA⊥底面ABCD，CDAP⊥，APACA=，CD⊥平面PAC，由

勾股定理可得2222BCABAC=+=．11sin222sin45222BCDSDCBCDCB===CD⊥平面PAC，PCD都是直角三角形，故2222,PCPAAC=+=112222222PCDSPCCD===设点B到平面PCD的距离为h，再根据

BPCDPBCDVV−−=可得1133PCDBCDShSPA=，即112222,233hh==.20、如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，ACBC⊥，且AC

BC=．（1）求证：AM⊥平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成角正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】（1）平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平面ABCAC=，BCAC⊥，BC平面ABC，BC⊥平面ACDE，AM平面ACDE，

AMBC⊥，因为四边形ACDE为正方形，则ADCE⊥，即AMCE⊥，BCCEC=，所以，AM⊥平面EBC；（2）取AB的中点F，连接CF、EF，ACBC=，F为AB的中点，则CFAB⊥，四边形ACDE为正方形，则AEAC⊥，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE平

面ABCAC=，AE平面ACDE，AE⊥平面ABC，CF平面ABC，CFAE⊥，AEABA=，CF⊥平面ABE，所以，直线EC与平面ABE所成角为CEF，AE^Q平面ABC，ABÌ平面ABC，AEAB⊥，226EFAEAF=+=，2211222CFABACBC==+=，

在RtCEF中，90CFE=，故23tan36CFCEFEF===，因此，直线EC与平面ABE所成角正切值为33．