【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（七） 含答案.docx，共(29)页，1.354 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-525e141a9013fa50e317d0d117be249f.html

以下为本文档部分文字说明：

2020—2021学年（下）抚松一中暑假综合题（七）高一数学一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若复数(1)(zmmim=+−)R的虚部为1，

则z在复平面对应的点的坐标为()A.(2,1)−B.(2,1)C.(2,1)−D.(2.1)−−2、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区

居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是()A.7B.7.5C.8D.93、设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A.若//a，//b，则//abB.若a⊥，//ab，则b⊥C.若

a⊥，ba⊥，则//bD.若//a，ba⊥，则b⊥4、在平行四边形ABCD中，BE=13BC，DF=12DC，则EF=A.-B.-+C.-D.-+5、已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为(

)A.33B.3C.23D.26、《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马

进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A.56B.23C.13D.167、雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体AD和底座CD两部

分组成．如图，在RtABC中，2312231334133470.5ABC=，在RtDBC中，45DBC=，且2.3CD=米，求像体AD的高度()(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943，cos7

0.50.334，tan70.52.824)A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米8、如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为正八边形12345678PPPPPPPP的中心，18PPx⊥轴

，若坐标轴上的点(M异于点)O满足j0(iOMOPOP++=其中1,8ij剟，且i、*)jN，则满足以上条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.89、某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根

据抽样结果得到统计图表，则下面叙述不正确的是()A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本中D层次男生人数多于女生人数10、已知事件A，B，且()0.5PA=，()0.2PB=，则下列结论正

确的是()A.如果BA，那么()0.2PAB=，()0.5PAB=B.如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0PAB=C.如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0PAB=D.如果A与B相互独立，那么()0.4PAB

=，()0.4PAB=11、如图，正方体ABCDABCD−的棱长为1，则下列四个命题不正确的是()A.若点M，N分别是线段AA，AD的中点，则//MNBCB.点C到平面ABCD的距离为2C.直线BC与平面ABCD所成的角等于4D.三棱柱AADBBC−

的外接球的表面积为312、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[nào].如图，在鳖臑ABCD−中，AB⊥面BCD，1ABCD==，2BC=，3BD=，则下列选项中，不正确的是（）A．面ABC⊥面ACDB．二面角DABC−−的余弦值为63C．AD与

面BCD所成角为30°D．三棱锥ABCD−外接球的表面积为二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13、已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且coscossinbCcBaA+=，则A=__________.14、已知数据1x，2

x，3x，…，nx的平均数为10，方差为2，则数据121x−，221x−，321x−，…，21nx−的平均数为__________，方差为__________.15、已知||3a=，||2b=，(2)(3)18abab+−=−，则a与b的夹角为______

____.16、如图，在三棱锥VABC−中，22AB=，VAVB=，1VC=，且AVBV⊥，ACBC⊥，则二面角VABC−−的余弦值是__________.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、

已知向量(2,1)a=，(3,1).b=−(1)求向量a与b的夹角；(2)若(3,)()cmmR=，且(2)abc−⊥，求m的值18、已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，且7a=，1c=，2.3A=(1)求b及AB

C的面积S；(2)若D为BC边上一点，且，______，求ADB的正弦值．从①1AD=，②6CAD=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．19、在四面体ABCD−中，点E，F，M分别是AB，BC，C

D的中点，且2BDAC==，1.EM=(1)求证：//EF平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角.20、溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回

答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为123,,234，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得

分为1分的概率．21、如图，在三棱锥PABC−中，PA⊥底面ABC，ABBC⊥，2PAABBC===，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE⊥平面.PAC(2)当//PA平面B

DE时，求三棱锥PBDE−的体积.22、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos2bAca=−.（1）求角B的大小；（2）若23b=，求ac+的最大值.22、2020年开始，山东推行全新的高考制度，新

高考不再分文理科，采用“33+”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各

地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180),[180,200),[200,2

20),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；()i求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(

)ii估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240

)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．2020—2021学年（下）抚松一中暑假综合题（七）高一数学（参考答案与试题解析）一．选择题(本题共

12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若复数(1)(zmmim=+−)R的虚部为1，则z在复平面对应的点的坐标为()A.(2,1)−B.(2,1)C.(2,1)−D.(2.1)−−【答案】A解：(1)()zmmimR=+−的虚

部为1，11m−=得2m=，所以2zi=+，2zi=−，故z在复平面对应的点的坐标为(2,1)−2、“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小

区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是()A.7B.7.5C.8D.9【答案】C解：该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且680%4.8=，3、设

为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A.若//a，//b，则//abB.若a⊥，//ab，则b⊥C.若a⊥，ba⊥，则//bD.若//a，ba⊥，则b⊥【答案】B解：若//a，//b

，则a与b相交、平行或异面，故A错误；若a⊥，//ab，则由直线与平面垂直的判定定理知b⊥，故B正确；若a⊥，ba⊥，则//b或b，故C错误；若//a，ba⊥，则//b，或b，或b

与相交，故D错误．4、在平行四边形ABCD中，BE=13BC，DF=12DC，则EF=A.-B.-+C.-D.-+【答案】B解：因为13BEBC=，12DFDC=，所以2112.3223EFECCFBCCDABA

D=+=+=−+故答案选.B6、已知圆锥的表面积为3，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为()A.33B.3C.23D.2【答案】A解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为3，所以2

3rlr+=，即23rlr+=，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以2rl=，即2lr=，所以221,2,3rlhlr===−=，所以此圆锥的体积为21133.333Vrh===6、《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中

，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为()A.56B.23C.13D.16【答案】C解：

设田忌的上等马为1A，中等马为：2A，下等马为3A，齐王的上等马为1B，中等马为：2B，下等马为3B，23122313341334双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：11AB，12AB，13AB，21AB，22AB，23

AB，31AB，32AB，33AB，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：12AB，13AB，23AB，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：31.93P==7、雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像．雕像由像体A

D和底座CD两部分组成．如图，在RtABC中，70.5ABC=，在RtDBC中，45DBC=，且2.3CD=米，求像体AD的高度()(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.50.943，cos70.50.334，tan70.52.824)A.4.0米B.4.2米

C.4.3米D.4.4米【答案】B解：在RtBCD中，2.3(tanCDBCDBC==米)，在RtABC中，tan2.32.8246.5(ACBCABC=米)，6.52.34.2(ADACCD=−=−=米).8、如图，在平面直角坐标系xOy中，原点O为

正八边形12345678PPPPPPPP的中心，18PPx⊥轴，若坐标轴上的点(M异于点)O满足j0(iOMOPOP++=其中1,8ij剟，且i、*)jN，则满足以上条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则

的应用，属于中等题.分点M在x、y轴进行分类讨论，可得出点iP、jP关于坐标轴对称，由此可得出点M的个数.解：分以下两种情况讨论：①若点M在x轴上，则iP、()*j1,8,,PijijN剟关于x轴对称，由图可知，1P与8P、2P与7P、3P与6P、4P与5P

关于x轴对称，此时，符合条件的点M有4个；②若点M在y轴上，则iP、()*j1,8,,PijijN剟关于y轴对称，由图可知，1P与4P、2P与3P、5P与8P、6P与7P关于y轴对称，此时，符合条件的点M有4个.综上所述，满足题中条件的点M的个数为8.9、某市

教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A，B，C，D，E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述不正确的是()A.样本中女生人数多于男生人数B.样本中B层人数最多C.样本中E层次男生人数为6人D.样本

中D层次男生人数多于女生人数【答案】D解：样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040−=，A正确；样本中A层人数为：94010%13+=；样本中B层人数为：244030%36+

=；样本中C层人数为：154025%25+=；样本中D层人数为：94020%17+=；样本中E层人数为：34015%9+=；故B正确；样本中E层次男生人数为：4015%6=，C正确；样本中D层次男生人数为：4020%8=，女生人数为9，D错误.10、已知事件A，B，且(

)0.5PA=，()0.2PB=，则下列结论正确的是()A.如果BA，那么()0.2PAB=，()0.5PAB=B.如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0PAB=C.如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0PAB=D.如果A与B相互独立，那么()0.4PA

B=，()0.4PAB=【答案】D解：A选项：如果BA，那么()0.5PAB=，()0.2PAB=，故A选项错误；B选项：如果A与B互斥，那么()0.7PAB=，()0PAB=，故B选项错误；C选项：如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0.1PAB=，故C选项错误；D选

项：如果A与B相互独立，那么()()()0.4PABPAPB==，()()()0.4PABPAPB==，故D选项正确.11、如图，正方体ABCDABCD−的棱长为1，则下列四个命题不正确的是()A.若点M，

N分别是线段AA，AD的中点，则//MNBCB.点C到平面ABCD的距离为2C.直线BC与平面ABCD所成的角等于4D.三棱柱AADBBC−的外接球的表面积为3【答案】B.【解析】解：A选项：若点M，N

分别是线段AA，AD的中点，则//MNAD又//BCAD所以//MNBC，故A正确；B选项：连接CB交BC于点E，由题易知点C到平面ABCD的距离为CE，正方体ABCDABCD−的棱长为1，22

CE=，故B错误；C选项：易知直线BC与平面ABCD所成的角为CBC，4CBC=，故C正确；D选项：易知三棱柱AADBBC−的外接球的半径为正方体ABCDABCD−体对角线的一半，32R=表面积为2234=4=32R

，故D正确.12、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[nào].如图，在鳖臑ABCD−中，AB⊥面BCD，1ABCD==，2BC=，3BD=，则下列选项中，不正确的是（）A．面ABC⊥面ACDB．二面角D

ABC−−的余弦值为63C．AD与面BCD所成角为30°D．三棱锥ABCD−外接球的表面积为【答案】D【解析】对于A，证明CD⊥面ABC，利用面面垂直的判定定理可得面ABC⊥面ACD；对于B，由AB⊥面BCD得ABB

D⊥，ABBC⊥，可得CBD就是二面角DABC−−的平面角，解三角形BCD即可；对于C，AB⊥面BCD易得AD与面BCD所成角为ADB；对于D，取AD的中点为M，则1MAMBMCMD====，可得外接球

的半径为1，即得表面积.∵1ABCD==，2BC=，3BD=，∴222BCCDBD+=，∴BCCD⊥，可得223ACABCB=+=，222ADABBD=+=，则有222ACCDAD+=，∴ACCD⊥.对于A，∵AB⊥面BCD∴ABCD⊥，又CDAC⊥，

ABACA=，得CD⊥面ABC，又CD平面ACD，∴面ABC⊥面ACD故正确；对于B，∵AB⊥面BCD，∴ABBD⊥，ABCB⊥，∴CBD就是二面角DABC−−的平面角，余弦值为2633BCDB==，故正确；

对于C，∵AB⊥面BCD，∴AD与面BCD所成角为30ADB=，故正确；对于D，取AD的中点为M，则1MAMBMCMD====，所以三棱锥ABCD−外接球的球心为M，半径为1，其表面积244SR==，故错.故选：D.【点睛】本题考查面面垂直的判

定定理和线面角，二面角的求法，考查多面体外接球的表面积，考查推理能力和计算能力，属于基础题.二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13、已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对

边，且coscossinbCcBaA+=，则A=__________.【答案】2解：coscossinbCcBaA+=，2sincossincossin()sinsinBCCBBCAA+=+==，sin0A，sin1A=，由于A为三角形内角，可得.2A

=14、已知数据1x，2x，3x，…，nx的平均数为10，方差为2，则数据121x−，221x−，321x−，…，21nx−的平均数为__________，方差为__________.【答案】198解：由已知条件可得

12310nxxxxn++++=，()()()()2222123101010102nxxxxn−+−+−++−=，所以数据121x−、221x−、321x−、、21nx−的平均数为()()()()12321212121nxxxxxn−+−+−++−=()123212

10119nxxxxn++++=−=−=，方差为()()()()222212322119211921192119nxxxxsn−−+−−+−−++−−=()()()()2222123220220220220nxxxxn−+−+−++−=22221234

[(10)(10)(10)(10)]428nxxxxn−+−+−++−===，故答案为：19；8.15、已知||3a=，||2b=，(2)(3)18abab+−=−，则a与b的夹角为__________.【答案】3

解：||3a=，2b=，22||9aa==，22||4bb==，||||cos,6cos,abababab==，(2)(3)18abab+−=−，22696cos,6418aabbab−−=−−=−，整理得：1cos,2ab=，a与b的夹

角为：.316、如图，在三棱锥VABC−中，22AB=，VAVB=，1VC=，且AVBV⊥，ACBC⊥，则二面角VABC−−的余弦值是__________.【答案】34【解答】解：取AB的中点O，连接VO、OC，

如下图所示：VAVB=，O为AB的中点，则VOAB⊥，且AVBV⊥，22AB=，122VOAB==，同理可得OCAB⊥，且2OC=，所以，二面角VABC−−的平面角为VOC，由余弦定理得2223cos24VOOCVCVOCVOOC+−==，因此，二面角VABC−−的余

弦值为3.4故答案为：3.4三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17、已知向量(2,1)a=，(3,1).b=−(1)求向量a与b的夹角；(2)若(3,)()cmmR=，且(2)abc−⊥，求m的值【答案】解：()(1)2,1a=，()3,1b=−，()

23115ab=+−=，由题得2||215a=+=，22||3(1)10b=+−=，设向量a与b的夹角为，则52cos2||||510abab===，0,，所以4=，即向量a与b的夹角为.4()(2)2,1a=，()3,1b

=−，()24,3ab−=−，()2abc−⊥，()20abc−=，()3,cm=，()4330m−+=，解得4.m=【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中档题．(1)根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.(2)根据向量的坐标运算先求出()24

,3ab−=−，再由垂直的条件得到()4330m−+=，解得即可．18、已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，且7a=，1c=，2.3A=(1)求b及ABC的面积S；(2)若D为BC边上一点，且，__

____，求ADB的正弦值．从①1AD=，②6CAD=这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答．【答案】解：(1)由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，整理得260bb+−=，0b，2b=，1133sin212222SbcA===；(2)选①，如下图所示：在ABC

中，由正弦定理得2sinsin3ACBCB=，可得2sin213sin7ACBBC==，在ABD中，ADAB=，则ADBB=，21sinsin7ADBB==；选②，在ABC中，由正弦定理得2sinsin3A

BBCC=，可得2sin213sin14ABCBC==，由于C为锐角，则257cos1sin14CC=−=，6ADBC=+，sinsin()6ADBC=+31sincos22CC=+

32115727+.2142147==【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.(1)利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可解出b的值，进而可求得ABC的面积S；(2)选①，在ABC中，利用正弦定理可求得sinB

的值，再由ADAB=可得出ADBB=，进而可求得ADB的正弦值；选②，利用正弦定理求得sinC的值，由同角三角函数的基本关系可求得cosC，再利用两角和的正弦公式可求得sinADB的值.1

9、在四面体ABCD−中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且2BDAC==，1.EM=(1)求证：//EF平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角.【答案】解：(1)由题意，点E，F分别是AB，BC的中点，所以//EFAC，因为EF平面ACD，AC平面ACD，所以//EF平面

ACD；(2)由(1)知//EFAC，因为点F，M分别是BC，CD的中点，可得//FMBD，所以EFM即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).在EFM中，1EFFMEM===，所以EFM为等边三角形，所以60EFM=，即异面直线AC与BD所成的角为60.20、溺水、

校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为123,,234，

且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为(

)222833327PA==，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为()2222222222(1)(1)(1)(1)(1)(1).3333333339PB=−−+−−+−−=甲

队总得分为3分与1分的概率分别为827，2.9(2)记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则()2222222224(1)(1)(1)3333333339PC=−+−+−=，事件D即乙队3人

中只有1人答对，其余2人答错，则()1231231231(1)(1)(1)(1)(1)(1)2342342344PD=−−+−−+−−=，由题意得事件C与事件D相互独立，甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：()()()411.949PCDPCPD===【解析】本题考查概率

的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．21、如图，在三棱锥PABC−中，PA⊥底面ABC，ABBC⊥，2PAABBC===，点D为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.(1)求证：平面BDE⊥平面.PA

C(2)当//PA平面BDE时，求三棱锥PBDE−的体积.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥底面ABC，且BD底面ABC，所以.PABD⊥因为ABBC=，且点D为线段AC的中点，所以.BDAC⊥又PAACA=，所以BD⊥平面.P

AC又BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面.PAC(2)解：因为//PA平面BDE，PA平面PAC，平面PAC平面BDEED=，所以//.EDPA因为点D为AC的中点，所以点E为PC的中点.法一：由题意知点P到平面BDE的距

离与点A到平面BDE的距离相等，所以PBDEABDEVV−−=1124EABDEABCPABCVVV−−−===111222432=1.3=所以三棱锥PBDE−的体积为1.3法二：因为//PA平面BDE，由题意知点P到平面BDE的距离与点A到平面BDE的距离相等.所以PBDEABDEVV

−−=，又22AC=，2AD=，2BD=，1DE=，由(1)知，ADBD⊥，又ADDE⊥，且BDDED=，所以AD⊥平面BDE，所以13ABDEBDEVADS−=111212.323==所以三棱锥PBDE−的体积为1.3法三：又22AC=，2A

D=，2BD=，1DE=，由(1)知：BD⊥平面PDE，且11212.222PDESDEAD===所以PBDEBPDEVV−−=13PDEBDS=1212.323==所以三棱锥PBDE−的体积为1.3【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的

体积，是中档题.(1)先证明PABD⊥，再证明BDAC⊥，从而证明BD⊥平面PAC，最后证明平面BDE⊥平面PAC；(2)先判断点E为PC的中点，再判断三棱锥PBDE−的体积等于三棱锥ABDE−的体积，最后求体积即可.22、在ABC

中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos2bAca=−.（1）求角B的大小；（2）若23b=，求ac+的最大值.【答案】（1）3B=；（2）最大值为43.【分析】（1）利用正弦定理将2cos2bAca=−转化为2sincos2sinsinBACA=−，再利用三角

函数恒等到变换公式化简可求出角B；（2）由正弦定理表示24sin0,3aAA=，4sincC=，从而可得24sin4sin4sin4sin3acACAA+=+=+−，化简后

求出其最大值；或利用余弦定理结合基本不等式可得答案【详解】（1）由2cos2bAca=−及正弦定理得2sincos2sinsinBACA=−，又()CAB=−+，所以()2sincos2sinsinBAABA=+−，整理得2sincos2sincos2cossinsinBABABAA=

+−，即()2cos1sin0BA−=.因为()0,A，所以sin0A，所以1cos2B=.又()0,B，所以3B=.也可利用射影定理coscoscbAaB=+简化运算，则有2cos22cos2cosbAcabAaBa=−=+−，得1cos2B=.（2

）方法一：由正弦定理可得234sinsinsinsin3acbACB====，所以24sin0,3aAA=，4sincC=，则24sin4sin4sin4sin3acACAA+=+=+−224sin4sincos4cossin33AAA

=+−1323cos6sin43cossin22AAAA=+=+43sin436A=+，当且仅当3A=时，等号成立，所以ac+的最大值为43.方法二：由余弦定理2222cosbac

acB=+−可得，22222122cos()33acacacacacac=+−=+−=+−，即2()123acac+−=.(1)由基本不等式可得22acac+，当且仅当ac=时取等号，所以(1)式可变为()221232acac++−，整理得2()48

ac+，所以43ac+，当且仅当23ac==时取等号.22、2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“33+”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要

依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是10

0名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300],画出频率分布

直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；()i求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；()ii估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的

中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．【

答案】解：(1)由(0.0020.00950.0110.01250.00750.0025)201a++++++=，得0.005a=；(2)()i因为(0.0020.00950.011)200.450.5++=，(0.0020.00950.0110

.0125)200.70.5+++=，所以中位数在[220,240),设中位数为x，所以(220)0.01250.05x−=，解得224x=，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；()i

i这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为(0.0021700.00951900.0112100.01252300.0075250++++0.0052700.0025290)20(0.341.8052.3

12.8751.8751.350.725)++=++++++2011.2820225.6==(3)物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中的人数分别为：0.01252010025=人，0.0052010010

=人，根据分层随机抽样可知，从成绩在[220,240)的组中应抽取25752510=+人，记为,,,,abcde，从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，记为,fg，从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：(,)

,(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)abacadaeafagbcbdbebfbgcdcecfcg，(,),(,),(,),(,),(,),(,)dedfdgefegfg，共有21种，其中这2名学生来自不同组

的共有10种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为10.21【解析】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、平均数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.(1)根据7组频率和为1列方程可解得结果；(2)()i根据前三组频率和为0.450.5，前四组频

率和为0.70.5可知中位数在第四组，设中位数为x，根据(220)0.01250.05x−=即可解得结果；()ii利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；(3)根据分层抽样可得从成绩在[220,240)的组中应抽取5人，

从成绩在[260,280)的组中应抽取2人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.