【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（五） 含答案.doc，共(19)页，496.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（五）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是

()A．{x|x>2}B．{x|x<2}C．{x|2<x<22}D．{x|2<x<23}2．下列不能产生随机数的是()A．抛掷骰子试验B．抛硬币C．计算器D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体3．设i是虚数单位，z－是复数z的共轭复数．若z·z－i＋2＝2z

，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i4．已知A(3,2)，B(5,4)，C(6,7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标不可能为()A．(4,5)B．(8,9)C．(10,11)D．(2，－1)5

．给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．其中正确的命题有()A．0个B．1个C．

2个D．3个6．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．25

07．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.1507mi

nB．157hC．21.5minD．2.15h8．把一个铁制的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A．rh2B．r2h4C．3r2h4D．r2h29．如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′E

D是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论不正确的是()A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．三棱锥A′－FED的体积有最大值C．恒有平面A′GF⊥平面BCEDD．异面直线A′E与B

D不可能互相垂直10.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法()A．公平，每个班被选到的概率都为112B．不公平，6班被选到的概率最大C．公平，2班和

12班被选到的概率最小D．不公平，7班被选到的概率最大11.圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则关于圆台的说法错误的是()A．母线长是20B．表面积是1100πC．高是102

D．体积是70003π312.已知12,ee是平面内两个夹角为23的单位向量，设,mn为同一平面内的两个向量，若1211,2meene=+−=，则mn−urr的最大值为（）A．12B．32C．312−D．312+二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中

的横线上)13．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为____.14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE

→＝1，则AB的长为____.15．已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝____.16．在ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且cos3sintancBbCaC−=.若ABC的内切圆面积为4，则ABC面

积S的最小值_______.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，

B，C，求△ABC的面积．18．(本小题满分12分)统计局就某地居民的月收入(元)情况调查了10000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(下图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500,3000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，

必须按月收入再从这10000人中用比例分配的分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4000,4500)内的应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．19．(本小

题满分12分)某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开

始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.162277943949544354821737932378873520964384263491648442175331572455068877047447672176

3350258392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答

题选手得分的平均数和方差.20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所

成的角为45°，求四棱锥P－ABCD的体积．21．(本小题满分12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用比例分配的分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取5

0辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用按比例分配的分层随机抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4,8.6,

9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．22．(本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝

90°，AD＝DC＝12AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．2020—2021学年（下

）高一数学暑假综合复习题（五）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．{x|x>2}B．{x|x<2}C．{x|2<

x<22}D．{x|2<x<23}解法一：要使三角形有两解，则a>b且sinA<1.由正弦定理，得sinA＝asinBb＝24x.∴x>2，24x<1，∴2<x<22.解法二：要使三角形有两解，则b<a，b>as

inB，即2<x，2>xsin45°，∴2<x<22.2．下列不能产生随机数的是()A．抛掷骰子试验B．抛硬币C．计算器D．正方体的六个面上分别写有1,2,2,3,4,5，抛掷该正方体答案D解析D项中，出现2的概率为13，出现1,3,4,5的概率均是1

6，则D项不能产生随机数．其他项均能产生随机数．故选D.3．设i是虚数单位，z－是复数z的共轭复数．若z·z－i＋2＝2z，则z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i答案A解析设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝a－bi，又z·z－i＋2＝2z，

∴(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，∴a2＋b2＝2b，2＝2a，解得a＝1，b＝1，故z＝1＋i.4．已知A(3,2)，B(5,4)，C(6,7)，则以A，B，C为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标不可能为()A．(4,5)B．(8,9)C．(10,11)D．(2，－1

)答案C解析设点D的坐标为(x，y)．若是平行四边形ABCD，则由AB→＝DC→，可得(5－3,4－2)＝(6－x,7－y)，解得x＝4，y＝5.故所求顶点D的坐标为(4,5)；若是平行四边形ABDC，则由AB→＝CD→，可得(

5－3,4－2)＝(x－6，y－7)，解得x＝8，y＝9，故所求顶点D的坐标为(8,9)；若是平行四边形ACBD，则由AC→＝DB→，可得(6－3，7－2)＝(5－x,4－y)，解得x＝2，y＝－1，故所求顶点D的坐标为(2，－1)．综上可得，以A，B，C为顶点的平行四边形

的另一个顶点D的坐标是(4,5)或(8,9)或(2，－1)．故选C5．给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个

角相等或互补．其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案B解析对于①，这两个角也可能互补，故①错误；②显然正确；对于③，如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但

这两个角不一定相等，也不一定互补，故③错误．所以正确的命题有1个．6．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．250答案A解

析解法一：由题意可得70n－70＝35001500，解得n＝100.解法二：由题意，抽样比为703500＝150，总体的个体数为3500＋1500＝5000，故n＝5000×150＝100.7．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航

行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A.1507minB．157hC．21.5minD．2.15h答案A解析当时间t<2.5h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t

，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝202×28＝514(h)，即1507min时，CD2最小，即CD最小为6757

.当t＝2.5h时，甲、乙相距15km，CF＝15×32，CF2＝6754，当t>2.5h时，甲、乙两船之间的距离的平方总大于6754.故距离最近时，t<2.5h，即t＝1507min.8．把一个铁制

的底面半径为r，高为h的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为()A．rh2B．r2h4C．3r2h4D．r2h2答案C解析设铁球的半径为R，因为13πr2h＝43πR3，所以R＝3r2h4.9．如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位

线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论不正确的是()A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．三棱锥A′－FED的体积有最大值C．恒有平面A′GF⊥平面BCEDD．异面直线A′E与BD不可

能互相垂直答案D解析在正三角形ABC中，AF为中线，DE为中位线，所以AF⊥BC，DE∥BC，所以DE⊥A′G，DE⊥GF，又A′G∩GF＝G，所以DE⊥平面A′GF.又DE⊂平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED，故C

正确．过A′作A′H⊥AF，垂足为点H，则A′H⊂平面A′GF，又平面A′GF⊥平面BCED，平面A′GF∩平面BCED＝AF，所以A′H⊥平面ABC，故A正确．三棱锥A′－FED的底面△FED的面积是定值，高是点A′到平面FED的距离．易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大，

三棱锥A′－FED的体积最大，故B正确．易知BD∥EF，所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角．因为正三角形ABC的边长为2a，所以A′E＝a，EF＝a.而0<A′F＜AF，所以A′F的长度的取值范围是(0，3a)，当A′F＝2

a时，A′E2＋EF2＝A′F2，所以∠A′EF＝90°，此时直线A′E与BD互相垂直，故D错误．故选D.10.某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两枚骰子，得到的点数之和

是几就选几班，这种选法()A．公平，每个班被选到的概率都为112B．不公平，6班被选到的概率最大C．公平，2班和12班被选到的概率最小D．不公平，7班被选到的概率最大答案D解析设i班被选到的概率为P(i)，i＝2,3,4，…，12，

则P(2)＝P(12)＝136，P(3)＝P(11)＝118，P(4)＝P(10)＝112，P(5)＝P(9)＝19，P(6)＝P(8)＝536，P(7)＝16，故选D.11.圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面

展开图扇环的圆心角为180°，则关于圆台的说法错误的是()A．母线长是20B．表面积是1100πC．高是102D．体积是70003π3答案C解析如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理

SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝AB2－20－102＝103，体积V＝13π×103×(102＋10×20＋202)＝70003π3，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π，故选C12.已知12,ee是平面内两个夹角为23

的单位向量，设,mn为同一平面内的两个向量，若1211,2meene=+−=，则n-m的最大值为（）A．12B．32C．312−D．312+【答案】B【解析】根据题意不妨设()11131,0,,22ee==−，求出向量m的坐标，设(),nxy=，得出点(),xy的

轨迹方程，由圆的性质可解得答案.由条件12,ee是平面内两个夹角为23的单位向量，不妨设()11131,0,,22ee==−则121322mee=+=，，设(),nxy=由112ne−=，

得()22112xy−+=所以点(),xy在圆()221:14Cxy−+=上.又221322mnxy−=−+−urr表示圆C上的点(),xy和点1322M，间的

距离.所以22max1311310122222mnCMR−=+=−+−+=+=urr故选：B二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互

之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为____.答案35解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－23×34×4

5＝35.14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC→·BE→＝1，则AB的长为____.答案12解析因为BE→＝BA→＋AD→＋DE→＝－AB→＋AD→＋12AB

→＝AD→－12AB→，所以AC→·BE→＝(AB→＋AD→)·AD→－12AB→＝AD→2＋12AD→·AB→－12AB→2＝1＋12×1×|AB→|cos60°－12|AB→|2＝1，所以14|AB→|－12|AB→|2＝0，解得|AB→|＝12.15

．已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z－是z的共轭复数，则zz－＝____.答案14解析z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i－2－23i＝－34＋i4，所以zz－＝－34＋i4－34－i

4＝14.16．在ABC中，a，b，c，分别为角A，B，C的对边，且cos3sintancBbCaC−=.若ABC的内切圆面积为4，则ABC面积S的最小值_______.【答案】123【解析】根据题意，由正弦定理得到()3sinsincosc

ossinBCBCA−=，化简整理求出tan3A=，求得角A；再由已知得ABC内切圆的半径为2，作出图形，记内切圆的圆心为I，,MN为切点，得到43abc=+−，由余弦定理得到()22243bcbcbc+−=+−，根据基本不等式，推出48bc，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】因为

cos3sintancBbCaC−=，以()3sinsincoscossinBCBCA−=，即()3cossinBCA−+=，所以3cossinAA=，即tan3A=，3A=；由题意知ABC内切圆的半径为2，如图，内切圆的圆心为I，,MN为切点，则423AIA

MAN===，，从而43abc=+−，由余弦定理得()22243bcbcbc+−=+−，整理得()34883163bcbcbc+=+，解得48bc或163bc（舍去），从而113sin48123222SbcA==，即ABC面积S的最小值为123.故答案为：123．【点睛】本题

主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理，灵活运用基本不等式即可，属于较难题.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z满足|z|＝2，z2的虚部为2.(1

)求复数z；(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．解(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－

1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.所

以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1，即△ABC的面积为1.18．(本小题满分12分)1统计局就某地居民的月收入(元)情况调查了10

000人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图(下图)，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示月收入在[2500,3000)内．(1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用比例分配的分层随机抽样方法抽出100人作进一步分

析，则月收入在[4000,4500)内的应抽取多少人？(2)根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；(3)根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．解(1)因为(0.0002＋0.0004＋0.0003＋0

.0001)×500＝0.5，所以500a＋500a＝0.5，即a＝0.51000＝0.0005，月收入在[4000,4500)内的频率为0.25，所以100人中月收入在[4000,4500)内的应抽取的人数为0.25×100＝25.(2)因为0.0002×500＝0.1,0.

0004×500＝0.2,0.0005×500＝0.25,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以样本数据的中位数是3500＋0.5－(0.1＋0.2)0.0005＝3900(元)．(3)样本数据的平均

数为(2750×0.0002＋3250×0.0004＋3750×0.0005＋4250×0.0005＋4750×0.0003＋5250×0.0001)×500＝3900(元)．19．(本小题满分12分)某电视台有一档益智答题类综艺节日，每期节目从现场编号为

01～80的80名观众中随机抽取10人答题.答题选手要从“科技”和“文艺”两类题目中选一类作答，一共回答10个问题，答对1题得1分.（1）若采用随机数表法抽取答题选手，按照以下随机数表，从下方带点的数字2开

始向右读，每次读取两位数，一行用完接下一行左端，求抽取的第6个观众的编号.1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550

688770474476721763350258392120676（2）若采用等距系统抽样法抽取答题选手，且抽取的最小编号为06，求抽取的最大编号.（3）某期节目的10名答题选手中6人选科技类题目，4人选文艺类题目.其中选择科技类的6人得分的平均数为7

，方差为53；选择文艺类的4人得分的平均数为8，方差为52.求这期节目的10名答题选手得分的平均数和方差.【答案】（1）42；（2）78；（3）平均数为7.4，方差为2.24【解析】（1）根据随机数表依次

读取数据即可，取01～80之间的数据；（2）根据系统抽样，确定组矩，计算可得；（3）根据平均数和方差得出数据的整体关系，整体代入求解10名选手的平均数和方差.（1）根据题意读取的编号依次是：20,96（超界）

，43,84（超界），26,34,91（超界），64,84（超界），42,17，所以抽取的第6个观众的编号为42；（2）若采用系统抽样，组矩为8，最小编号为06，则最大编号为6+9×8=78；（3）记选择科技类的

6人成绩分别为：126,,,xxx，选择文艺类的4人成绩分别为：1234,,,yyyy，由题：12642xxx+++=，()()()22212657776103xxx−+−++−==，123432

yyyy+++=，()()()()22221234588884102yyyy−+−+−+−==，所以这10名选手的平均数为126123432427.41010xxxyyyy++++++++==方差为()()()()()()()2222222126123417.4

7.47.47.47.47.47.410xxxyyyy−+−++−+−+−+−+−()()()()642211170.480.610iiiixy===−−+−+()()()()664422221111170.8760.481.2840.610iiiiii

iixxyy=====−−−++−+−+11000.961001.4410=−++++2.24=【点睛】此题考查统计相关知识，涉及随机数表读数，系统抽样和平均数与方差的计算，对计算公式

的变形处理要求较高.20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB＝2CD，∠BAD＝90°，PA⊥CD，E，F分别为棱PB，PA的中点．(1)求证：平面PAB⊥平面EFDC；(2)若AD＝2，直线PC与平面PAD所成的角

为45°，求四棱锥P－ABCD的体积．解(1)证明：∵△PAD为正三角形，F为棱PA的中点，∴PA⊥DF.又PA⊥CD，CD∩DF＝D，∴PA⊥平面EFDC，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面EFDC.(2)∵AB∥CD

，PA⊥CD，∴PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为直线PC与平面PAD所成的角，即∠CPD＝45°，∴CD＝PD＝AD＝2.又AB＝2CD，∴

AB＝4，∴S直角梯形ABCD＝12×AD×(CD＋AB)＝12×2×(2＋4)＝6.又AB⊥平面PAD，AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD.过P作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD.∵△PAD

为正三角形，∴PO＝32AD＝32×2＝3，∴V四棱锥P－ABCD＝13×PO×S直角梯形ABCD＝13×3×6＝23.21．(本小题满分12分)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型

两种型号，某月的产量(单位：辆)如下表：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用比例分配的分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用按比

例分配的分层随机抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分为：9.4,8.6,9.2,9

.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意，得50n＝10100＋300，所以n＝2000.则z＝2000－(100

＋300)－(150＋450)－600＝400.(2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意，得4001000＝a5，即a＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，

B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则试验的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，

(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共10个等可能的样本点．事件E包含的样本点有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x－＝

18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则样本空间中共有8个等可能的样本点，事件D包含的样本点为9.4,8.6,9.2,8.7

,9.3,9.0，共6个，所以P(D)＝68＝34，即所求概率为34.22．(本小题满分12分)在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝12AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′

为γ.(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．解(1)在直角梯形ABCD中，由已知得△DAC为等腰直角三角形，∴AC＝2a，∠CAB＝45°.如图所

示，过C作CH⊥AB，垂足为H，则AH＝CH＝a.又AB＝2a，∴BH＝a，BC＝2a，∵AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.又BC⊂平面β，∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.而D

′C⊂α，∴BC⊥D′C，∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角．由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ为45°.(2)如图所示，过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，∵AC⊂β，∴D′O⊥AC.又由

(1)可知AC⊥D′E，D′O与D′E相交于点D′，∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角，∴∠D′EO＝60°.在Rt△D′OE中，D′E＝12AC＝22a，D′O＝32D′E＝64a.∴V三棱锥D′－ABC＝13S△ABC·D′O＝13×12AC·BC

·D′O＝16×2a×2a×64a＝612a3.