【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：3.1.1　椭圆及其标准方程含解析.docx，共(7)页，89.679 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(二十五)椭圆及其标准方程[A级基础巩固]1．若椭圆x2m＋y24＝1的焦距为2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．8解析：选C由题意得c＝1，a2＝b2＋c2.当m>4时，m＝4＋1＝5；当m<4时，4＝m

＋1，∴m＝3.2．(多选)下列说法中正确的是()A．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段B．已知F1(－4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C

．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选ACA中，|F1F2|＝8，则平面

内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A正确；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5，3)到F1，F2两点的距离之和为（5＋4）2＋32＋（5－4）2

＋32＝410>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选A、C.3．设F1，F2是椭圆x216＋y212＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2

是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．斜三角形D．直角三角形解析：选D由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.由题可得||PF1|－|PF2||＝2，则|PF1|＝5，|PF2|＝3，或|PF1|＝3，|PF2|＝5.又|F1F2|＝2c＝4，所以△PF1F

2为直角三角形．4．“1＜m＜3”是“方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当方程x2m－1＋y23－m＝1表示椭圆时，必有m－1＞0，3－m＞0，m－1≠3－m，所以1＜m＜

3且m≠2；当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．故选B.5．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝23，若2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，则椭圆C的标准方程为()A.x212＋y29＝1B.x212＋y29＝1或x29＋y212＝1C.x29

＋y212＝1D.x248＋y245＝1或x245＋y248＝1解析：选B由已知2c＝|F1F2|＝23，∴c＝3.∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝43，∴a＝23.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是x

212＋y29＝1或x29＋y212＝1.6．若△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为____________．解析：△ABC的两个顶点坐标为A(－4，0)，B(4，0)，

周长为18，∵|AB|＝8，∴|BC|＋|AC|＝10.∵|BC|＋|AC|＞8，∴点C到两个定点A，B的距离之和为定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点，去除直线AB上的点的椭圆．∵2a＝10，2c＝8

，∴b＝3.∴顶点C的轨迹方程是x225＋y29＝1(y≠0)．答案：x225＋y29＝1(y≠0)7．已知椭圆x29＋y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝_

_______，∠F1PF2的大小为________．解析：∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝16＋4－282×4×

2＝－12，∴∠F1PF2＝120°.答案：2120°8．设F1，F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为______

__．解析：∵a＝2b，b2＋c2＝a2，∴c2＝3b2.又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2.由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b，(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，∴b2＝1，a2＝4.

∴椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.答案：x24＋y2＝19．求符合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点63，3和223，1；(2)过点(－3，2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点．解：(

1)设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．∵椭圆过点63，3和223，1，∴m·632＋n·（3）2＝1，m·2232＋n·12＝1，解得m＝1，n

＝19.∴所求椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.(2)由题意得已知椭圆x29＋y24＝1中a＝3，b＝2，且焦点在x轴上，∴c2＝9－4＝5.∴设所求椭圆方程为x2a′2＋y2a′2－5＝1.∵点(－3，2)

在所求椭圆上，∴9a′2＋4a′2－5＝1.∴a′2＝15或a′2＝3(舍去)．∴所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.10．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5，3.过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经

过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，由已知条件得2a＝5＋3，（2c）2＝52－32，解得a＝4，c＝2，所以b2＝a2－c2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x216＋y

212＝1或y216＋x212＝1.法二：设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)或y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2.由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝

8，所以a＝4.在方程x2a2＋y2b2＝1中，令x＝±c，得|y|＝b2a；在方程y2a2＋x2b2＝1中，令y＝±c，得|x|＝b2a.依题意有b2a＝3，得b2＝12.于是所求椭圆的标准方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.[B级综合运用]11．椭圆x2

12＋y23＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为()A．±34B．±22C．±32D．±34解析：选D如图，当点P在x轴上方时，OM为△PF1F2的中位线，所以P3，32，所以M0，34.同理，当点P在x轴

下方时，M0，－34，故选D.12．已知P为椭圆x225＋y216＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．7C．13

D．15解析：选B由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7.13．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆x29＋y25＝1

的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为________．解析：依题意可知光线经椭圆内壁两次反射后回到F点，故根据椭圆的定义可知所经过的路程正好是4a＝4×3＝12.答案：1214．在直线l：x－y＋9＝0上任取一点P，过点

P以椭圆x212＋y23＝1的焦点为焦点作椭圆，则点P在何处时，|PF1|＋|PF2|的值最小？并求出此时椭圆的标准方程．解：由题意知F1(－3，0)，F2(3，0)在l同侧，如图所示，作F2关于l的对

称点F2′，连接F1F2′，则F1F2′与l的交点即为所求点P，连接PF1，PF2.设F2′(x0，y0)，则y0x0－3＝－1，x0＋32－y02＋9＝0，得F2′(－9，12)．所以直线F1F2′的方

程为y＝－2(x＋3)，将其与x－y＋9＝0联立，解方程组，得x＝－5，y＝4，即P点坐标为(－5，4)．此时，|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PF2′|≥|F1F2′|＝65，此时a＝35，c＝3，b＝6.所以所求椭圆的标准方程为x245＋y236＝1.[C级拓展探究]1

5.准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F(如图)，然后将纸片展开，就得到一条折痕l(为了看清楚，可把直线l画出来)．这样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？解：如图，由题

意知，CD是线段MF的垂直平分线，∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又|MO|>|OF|，∴根据椭圆的定义可以推断出点P的轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆，故这些折痕围成的轮

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