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专题九概率与统计考点一排列与组合一、选择题1.（2012年春季高考数学第14题）编排一张由4个语言类节目和2个舞蹈类节目组成的演出节目单，若要使2个舞蹈类节目不相邻，则不同排法的种数是（）A.120B.240

C.360D.480答案：D解析：首先排4个语言类节目，有𝐴44种排法，因为使2个舞蹈类节目不相邻，所以将2个舞蹈类节目用插空法插进去，有𝐴52种排法，则不同排法的种数是𝐴44𝐴52=4802.（

2012年春季高考数学第22题）从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，其中至少有1名女生的概率是（）A.53B.75C.2110D.4217答案：B解析：从5名男生和2名女生中任选3人参加某项公益活动，共有𝐶73

=35种选法；至少有1名女生包括两种：第一种，选1名女生和2名男生，有𝐶21𝐶52=20种选法；第二种，选2名女生和1名男生，有𝐶51=5种选法；共有𝐶21𝐶52+𝐶51=20+5=25种，即25/35=753.（2013年春季高考数学第9题）五边形ABCDE为正五边

形，以A,B,C,D,E为顶点的三角形的个数是（）A.5B.10C.15D.20答案：B解析：以A,B,C,D,E为顶点的三角形有△ABC、△ABD、△ABE、△ACD、△ACE、△ADE、△BCD、

△BCE、△BDE、△CDE4.（2013年春季高考数学第1题）将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上，则自左到右卷号顺序恰为1,2,3,4的概率等于（）A.81B.121C.161D.241答案：D解析：将卷号为1至4的四卷文集按任意顺序排放在书

架的同一层上，共有𝐴44=24种方法，自左到右卷号顺序恰为1,2,3,4，有1种方法，所以概率等于2415.（2014年春季高考数学第12题）从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，则两次取得

同一张牌的概率是（）A.１５B.２５C.１２５D.２２５答案：A解析：从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回地取两次，总取法有𝐶51𝐶51=25种；两次取得同一张牌的取法有5种；则两次取得同一张牌的概率是5/25=1/56.（2015年春季高考数学第

9题）某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）A.10B.20C.60D.100答案：A解析：从5人中选取3人负责教室内

的地面卫生，共有35C10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了）7.（2015年春季高考数学第17题）甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（）A.29B.

23C.14D.12答案：D解析：甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142=8.（2016年春季高考数学第7题）某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，

若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（）A.60B.31C.30D.10答案：C解析：由题知，有两种选法①两名男生一名女生2143CC18=种，②两名女生一名男

生1243CC12=种，所以一共有181230+=种.9.（2016年春季高考数学第15题）若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）A.421B.121C.114D.27答案：A解析：先利用

捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列，有22A种排列方法，将甲乙作为一个整体，除去丙丁将其他人进行全排列，有44A种排列方法，再利用插空法将丙丁进行插空，有25A种排列方法；总共有77A种排列方法，所以概率为24224577AAA4A2

1=.10.（2017年春季高考数学第11题）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A．72B．120C．144D．288答案：D解析：

根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21C43=8种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，则以排出8×24=192个不同节目单，

③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有C22C42=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A22=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A32=6种情况，此时有6×2×6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+

192+72=288个不同节目单.11.（2018年春季高考数学第10题）景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走

发的种数是（）A.6B.10C.12D.20答案：A解析：从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，不同走发的种数是2×3=612.（2018年春季高考数学第18题）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则

至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（）A.145B.2815C.149D.76答案：C解析：因为三辆车皆不相邻的情况有𝐶63，所以三辆车皆不相邻的概率为𝐶63/𝐶83=5/14，因此至少有2辆汽车停放在相邻车位的

概率是1-5/14=9/14，选C13.（2019年春季高考数学第11题）现把甲、乙等6位同学排成一排，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种树是（）A.360B.336C.312

D.240答案：B解析：因为甲同学不能排在前两位，所以甲同学有四种排法：当甲同学排在第三位时，先排乙同学，有𝐶21=2种排法，再排其余四人，有𝐴44=24种排法，共有2×24=48种；当甲同学排在第四位时，先排乙同学，有𝐶31=3种排法，再排其余四人，有𝐴44=24种排法

，共有3×24=72种；当甲同学排在第五位时，先排乙同学，有𝐶41=4种排法，再排其余四人，有𝐴44=24种排法，共有4×24=96种；当甲同学排在第六位时，先排乙同学，有𝐶51=5种排法，再排其余四人，有𝐴44=24种排法，共有5×24=120种；所以共有48+72+96+1

20=33614.（2019年春季高考数学第18题）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取得黑色卡片的概率是（）A.16B.13C.25D.35答案：D解析：取得黑色卡片的概率=6/10=3515,。（2020年春季高考数学第8题）现从4名男

生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）A.12B.120C.1440D.17280答案：C解析：首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有𝐶43𝐶32种情况，再分别担任5门不同学科的课代表，

共有𝐴55种情况。所以共有𝐶43𝐶32𝐴55=1440种不同安排方法.故选C16.（2020年春季高考数学第16题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率（）A.225

B.116C.125D.132答案：B解析：5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有25=32种方法，其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以P=2/32=1/16，故选B17.（2021年春季高考数学第9题）某值

日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A.10B.20C.60D.100答案：A解析：安排3名同窗负责教室内的地面卫生，有种𝐶53=10排法，其余2名同窗负责教室外

的走廊卫生18.（2021年春季高考数学第17题）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，那么甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是（）A.29B.23C.14D.12答案：D解析：甲

、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，选法有𝐶21𝐶21𝐶21=8种，甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的选法有4种，所以甲、乙两位同窗恰好选取同一处景点的概率是4/8=12二、填空题1.（2017年春

季高考数学第24题）某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是．答案：解析：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=，其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m==4，∴其中

甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：p===．考点二二项式定理一、选择题1.（2012年春季高考数学第20题）若(a+b)n展开式的第4项与第7项得系数相等，则此展开式共有（）A.8项B.9项C.10项D.11项答案：C解析：因为(a+b)n展开式的第4项与第7项得系数相等，所以𝐶𝑛3

=𝐶𝑛6，所以n=9，所以展开式共有10项2.（2013年春季高考数学第17题）5)12(−x的二项展开式中3x的系数是（）A.-80B.80C.-10D.10答案：B解析：Tr+1=𝐶5𝑟（2x）5-r（-1）r，当5-r=3时，解得r=2，所以T2+1=𝐶52（2x）3（-1

）2=80x33.（2015年春季高考数学第15题）5(1)x−的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A.0B.1−C.32−D.32答案：D解析：所有项的二项式系数之和为012345555555CCCCCC32+++++=4.（2016年

春季高考数学第14题）已知()2nx−的二项展开式有7项，则展开式中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－160C.160D.560答案：B解析：()2nx−的二项展开式有7项，6n=，()616C2kkkkT

x−+=−，又展开式中二项式系数最大的项为第4项，则()3363346C2160Txx−=−=−，则其系数为160−.5.（2017年春季高考数学第18题）若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．20B．﹣20C．15D．﹣15答案：C解析：∵二项式的展开式中只

有第4项的二项式系数最大，∴n=6，则展开式中的通项公式为Tr+1=C6r•（﹣1）r•x．令6﹣3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62•（﹣1）2=15，6.（2018年春季高考数学15题

）在的展开式中，所有项的系数之和等于（）A.32B.-32C.1D.-1答案：D解析：令x=y=1，则得所有项的系数之和为（1-2）5=-1，选D7.（2019年春季高考数学9题）在（1+x）n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（）A.15x3B.20

x3C.15x2D.20x2答案：C解析：因为所有项的系数之和为64，所以2n=64，所以n=6，则第3项是T2+1=𝐶6214x2=15x28.（2020年春季高考数学第9题）在821xx−的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）A.56B.56−C.70D.70−答案：A解析：第

4项的二项式系数为𝐶83=（8×7×6）/（3×2）=56，故选A.9.（2021年春季高考数学第15题）()51x−的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）A0B.1−C.32−D.32.5(2)xy−答案：D解析：所有

项的二项式系数之和是2n=25=32二、填空题1.（2014年春季高考数学第22题）（ｘ＋１ｘ）ｎ的二项展开式中第三项是10x,则n＝________________.答案：5解析：T2+1=𝐶𝑛2ｘn-2（１ｘ）2=𝐶𝑛2xn-4=

10x，所以n=5,考点三统计初步一、选择题1.（2014年春季高考数学第18题）一组数据：5,7,7，a,10,11,它们的平均值是8，则其标准差是（）A.８B.４C.２D.１答案：C解析：（5+7+7+a+10+11）/6=8，解得a=8，S2=[（5-8）2+（7-

8）2+（7-8）2+（8-8）2+（10-8）2+（11-8）2+]/6=22.（2016年春季高考数学第11题）表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占

比增长率最大的能源是（）A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率原油（%）天然气（%）原煤（%）核能（%）水利发电（%）再生能源（%）2011年17.74.570.40.76.00.72014年17.55.666.01.08.11.8答案：D解析：根据表1可知，从201

1年到2014年，天然气：5.64.5100%24.4%4.5−，核能：1.00.7100%42.9%0.7−，水力发电：8.16.0100%35%6.0−=，再生能源：1.80.7100%157.1%0.7−，则消费量占比增长率最大的能

源是再生能源.3.（2017年春季高考数学第19题）．从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为（）成绩分析表

甲乙丙丁平均成绩96968585标准差s4242A．甲B．乙C．丙D．丁答案：B解析：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙，由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加．二、填空

题1.（2012年春季高考数学第30题）为了了解某中学男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到1cm）,并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知男生身高超过172cm的频率是答案：0.36解析：男生身高

超过172cm的频率是（0.06+0.03）×4=0.362.（2013年春季高考数学第27题）某射击运动员射击5次，命中的环数为9,8,6,8,9则这5个数据的方差为______________.答案：56或1.2解析：平均值=（9+8+6+8+9）/5=8，方差=[（9

-8）2+（9-8）2+（6-8）2+（8-8）2+（9-8）2]/5=1.23.（2015年春季高考数学第23题）计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随

机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽取的号码应是.答案：42解析：从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+=4.（2016年春季高考数学第24题）某职

业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出名.答案：33解析：恰

好选到二年级学生的概率是0.32，恰好选到一年级学生的概率是0.35，则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33，那么需要从三年级抽取100×0.33=33人.5.（2018年春季高考数学第

25题）在一批棉花中随机抽测了500根棉花纤维的长度（精确到1mm）作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维长度大于225mm的频数是.答案：235解析：因为长度大于225mm的频率为（0.0044+0.0

050）×50=0.47，所以长度大于225m的频数是0.47×500=235.6.（2019年春季高考数学第23题）某公司A，B，C三种不同型号产品的库存数量之比为2:3:1，为检验产品的质量，现采用分层抽样的方法从库存产品中抽取一个样

本，若在抽取的产品中，恰有A型号产品18件，则该样本容量是____.答案：54解析：2/18=（2+3+1）/n，所以n=547.（2020年春季高考数学第24题）某创新企业为了解新研发的一种产品的销售情况，从编号

为001，002，…480的480个专卖店销售数据中，采用系统抽样的方法抽取一个样本，若样本中的个体编号依次为005，021，…则样本中的最后一个个体编号是______.答案：469解析：间隔为021-005=16，则样本容量为480/16=30，样本中所有数据编号为005+16

（k-1），所以样本中的最后一个个体的编号为005+16（30-1）=469，故答案为∶4698.（2021年春季高考数学第23题）打算从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采纳系统抽样方式，为此将他们一一编号为1~500，并对编号进行分段，

假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第纤维长度（mm）025.575.5125.5225.5175.5275.5325.50.00380.00220.002000.00260.00440.00500.0010.0020.0030.0040.005组距频率五个号码段中抽出的

号码应是______．答案：42解析：从500名学生中抽取50名进行问卷调查，所以每组10人，从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第五个号码段中抽出的号码应是2+10×（5-1）=42