【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：3.2.1　双曲线及其标准方程含解析.docx，共(7)页，119.668 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(二十八)双曲线及其标准方程[A级基础巩固]1．已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．

既不充分也不必要条件解析：选B根据双曲线的定义，乙⇒甲，但甲⇒/乙，只有当2a<|F1F2|且a≠0时，动点M的轨迹是双曲线．2．双曲线x225－y29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为()A．22或2B．7C．22D．2解析：选A∵a2＝25，∴a＝5.设点为P，

双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，由双曲线定义可得||PF1|－|PF2||＝10.由题意设|PF1|＝12，则|PF1|－|PF2|＝±10，解得|PF2|＝22或2.3．如图，已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为()A．2a＋2mB．4a＋2mC．a＋mD．2a＋4m解析：选B由双曲线的定义，知|AF1|

－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m.4．(多选)已知方程x24－t＋y2t－1＝1表示的曲线为C.给出以下四个判断，其中正确的是()A．当1<t<4时，曲线C表

示椭圆B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1<t<52D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t>4解析：选BCDA错误，当t＝52时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)<0，∴t

<1或t>4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t>t－1>0，∴1<t<52；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则4－t<0，t－1>0，∴t>4.5．已知双曲线的中心在坐标原点，

且一个焦点为F1(－5，0)，点P在该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则该双曲线的标准方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.x22－y23＝1D.x23－y22＝1解析：选B设双曲线的标准方程为x2a2－y2

b2＝1(a>0，b>0)，则c＝5，即a2＋b2＝5.①设P(x，y)，由线段PF1的中点坐标为(0，2)，可知－5＋x2＝0，0＋y2＝2，得x＝5，y＝4，即点P的坐标为(5，4)，代入双曲线方程，得5a2－16b2＝1

.②联立①②，得a2＝1，b2＝4，即双曲线的标准方程为x2－y24＝1.故选B.6．设双曲线x24－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．解析：由双曲线的标

准方程x24－y22＝1得a＝2，b＝2.由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过

点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝2b2a＋8＝10.答案：107．经过点P(－3，27)和Q(－62，－7)的双曲线的标准方程是________．解

析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则9m＋28n＝1，72m＋49n＝1，解得m＝－175，n＝125，故双曲线的标准方程为y225－x275＝1.答案：y225－x275＝1

8.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为____________．解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2，0

)，C(2，3)，∴4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线的标准方程为x2－y23＝1.答案：x2－y23＝19．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a＝25，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上

；(2)与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在y轴上，所以可设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝25，且点A(2，－5)在双曲线上，所以a＝25，25

a2－4b2＝1，解得a2＝20，b2＝16.故所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.(2)椭圆x227＋y236＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)(或(－15，4)

)．设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，则42a2－（15）2b2＝1，a2＋b2＝32，解得a2＝4，b2＝5.故所求双曲线的标准方程为y24－x25＝1.10．如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三

内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．解：以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理，得sinA＝|BC|2R，

sinB＝|AC|2R，sinC＝|AB|2R(R为△ABC的外接圆半径)．∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2|BC|＋|AB|＝2|AC|，即|AC|－|BC|＝|AB|2＝22<|AB|.由双曲线的定

义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．由题意，设所求轨迹方程为x2a2－y2b2＝1(x>a)，∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.即所求轨迹方程为x22－y26＝1(x>2)．[B级综合运用]11．设F1，F2是双曲线x23－y2＝

1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1―→·PF2―→的值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|＝23＋1＝4，S△PF1F2＝12|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1.又x203－y20＝1

，∴x20＝3(y20＋1)＝6.∴PF1―→·PF2―→＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x20＋y20－4＝3.12．已知P为双曲线x216－y29＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若S△PMF1＝S△PMF2

＋8，则△MF1F2的面积为()A．27B．10C．8D．6解析：选B设△PF1F2的内切圆的半径为R，由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5.因为S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以12(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1

F2＝12·2c·R＝10.故选B.13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，与x轴的两个交点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．以上情况都有可能解析：选B设以线段PF1，A

1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，双曲线的右焦点为F2.若P在双曲线左支，如图所示，则|Q1Q2|＝12|PF2|＝12(|PF1|＋2a)＝12|PF1|＋a＝r1＋r2，即圆心距为半径之和，两圆外切．若P在双

曲线右支，同理求得|Q1Q2|＝r1－r2，此时两圆相内切．综上，两圆相切，故选B.14.如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标

系，求曲线C的方程．解：法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P(3，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝（2＋3）2＋12－（2－3

）2＋12＝22＜|AB|＝4.∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．则c＝2，2a＝22，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.故曲线C的方程为x22－y22＝1.法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4.∴曲线C

是以A，B为焦点的双曲线．设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则有（3）2a2－1b2＝1，a2＋b2＝4，解得a2＝2，b2＝2.故曲线C的方程为x22－y22＝

1.[C级拓展探究]15．如图，P是双曲线x2a2－y2b2＝1上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个三角形(焦点三角形)．若∠F1PF2＝θ，求证S△P

F1F2＝b2tanθ2.证明：在△PF1F2中．因∠F1PF2＝θ，则由双曲线的定义及余弦定理得，||PF1|－|PF2||＝2a⇔|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，①|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|

·cosθ＝|F1F2|2＝4c2，②由②－①得2|PF1|·|PF2|·(1－cosθ)＝4c2－4a2，则|PF1|·|PF2|＝2b21－cosθ.又S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，从而S△PF1F2＝b2·sinθ1－c

osθ＝b2tanθ2.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com