【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：2.5.1　第二课时　直线与圆的位置关系的应用（习题课）含解析.docx，共(8)页，196.610 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(二十三)直线与圆的位置关系的应用(习题课)[A级基础巩固]1．如图，圆弧形桥拱的跨度|AB|＝12米，拱高|CD|＝4米，则拱桥的直径为()A．15米B．13米C．9米D．6.5米解析：选B如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－

4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13米．2．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小区域的面积是()A.π4B.3π4C.3π2D．π解析：选D如图，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的14.3．已知点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2(r>0

)内异于圆心的点，则直线x0x＋y0y＝r2与此圆的交点的个数为()A．2B．1C．0D．不能确定解析：选C∵点M(x0，y0)是圆x2＋y2＝r2内异于圆心的点，∴x20＋y20<r2，圆心到直线x0x＋y0y＝r2的距离d＝|

－r2|x20＋y20>r2r＝r，故直线x0x＋y0y＝r2与此圆没有交点．4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－

54或－45D．－43或－34解析：选D由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所

在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，解得k＝－43或k＝－34，故选D.5．方程1－x2＝kx＋2有唯一解，则实数k满足()A．k＝±3B．k∈(－2，2)C．k<－2或k>2D．k<－2或k>2或

k＝±3解析：选Dy＝1－x2表示单位圆x2＋y2＝1的上半部分，y＝kx＋2表示过定点(0，2)的直线，如图，当直线y＝kx＋2在l1，l4的位置或在l2，l3之间时满足条件．易求得k2＝2，k3＝

－2.又由y＝kx＋2与圆x2＋y2＝1相切求得k1＝3，k4＝－3.故k<－2或k>2或k＝±3.6．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，则实数k＋m＝_

_______．解析：∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，且M，N关于直线x＋2y＝0对称，∴直线x＋2y＝0是线段MN的中垂线，得k·－12＝－1，解得k＝2，又圆的方程为x

2＋y2＋2x＋my－4＝0，圆心坐标为－1，－m2，将－1，－m2代入x＋2y＝0，得－1－m＝0，解得m＝－1，故k＋m＝1.答案：17．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的点，若以AB为直径的圆C与

直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________．解析：由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与已知直线垂直时，圆C的直径最小，

又O到直线2x＋y－4＝0的距离d＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径最小为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4π5.答案：4π58．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N

≠∅，则实数b的取值范围是________．解析：数形结合法，注意y＝9－x2，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3

<b≤32时，直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点．答案：(－3，32]9．设有半径长为3km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜

着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系．

设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，CD所在直线的方程为xa＋yb＝1(a>3，b>3)，乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意，有|ab|a2＋b2＝3，a2＋b2＋a3v＝bv.解得a＝5，b＝3.75.所以乙向北前进3.7

5km时甲、乙两人相遇．10.如图，直角△ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．证明：如图，以O为坐标原点，以直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，

0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定

值)．[B级综合运用]11.(多选)如图所示，已知直线l的方程是y＝43x－4，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向

下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为()A．6B．8C．10D．16解析：选AD设当圆与直线l相切时，圆心坐标为(0，m)，则圆心到直线l的距离为|m＋4|1＋432＝32，得m＝－32或m＝－132，∴该圆运动的时间为32－－320.5＝6(s)或32－

－1320.5＝16(s)．12．若曲线y＝1＋4－x2(－2≤x≤2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________．解析：将方程y＝1＋4－x2(－2≤x≤2)变形为x2＋(y－

1)2＝4(1≤y≤3)，它表示以(0，1)为圆心，2为半径的上半圆，y＝k(x－2)＋4表示过定点A(2，4)，斜率为k的直线，如图所示．过点A(2，4)和点B(－2，1)的直线AB的斜率kAB＝4－12－（－2）＝34.直线方程y＝k(x－2)＋4变形为kx－y－2k＋4＝0

，由|k·0－1－2k＋4|k2＋1＝2得切线AT的斜率kAT＝512.由图知，当直线y＝k(x－2)＋4在直线AB和切线AT之间变化时，直线与半圆有两个交点，故k∈512，34.答案：512，3413.如图，正方

形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时

，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约________秒(精确到0.1)．解析：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10，10－t

)，可得出直线PQ的方程y－10＋t＝20－2.5t20(x－10)，圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得2.5t－202－t＋101＋20－2.5t202≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤87－83，而87－83≈4.4，因此

，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒．答案：4.414.如图，某市有相交于点O的一条东西走向的公路l，与南北走向的公路m，这两条公路都与一块半径为1(单位：千米)的圆形商城A相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ，点P，Q分别在公路l，m上，且要求PQ与圆形商城A也相切．(1)当P距O处4千米

时，求OQ的长；(2)当公路PQ长最短时，求OQ的长．解：(1)以O为原点，直线l，m分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)．设PQ与圆A相切于点B，连接AB，以1千米为单位长度，则圆A的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，由题

意可设直线PQ的方程为x4＋yb＝1，即bx＋4y－4b＝0(b>2)，因为PQ与圆A相切，所以|4－3b|b2＋42＝1，解得b＝3，故当P距O处4千米时，OQ的长为3千米．(2)设P(a，0)，Q(0，b)(a>2，b

>2)，则直线PQ方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为PQ与圆A相切，所以|b＋a－ab|b2＋a2＝1，化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.因此|PQ|＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2.因为

a>2，b>2，所以a＋b>4，于是|PQ|＝(a＋b)－2.又ab＝2(a＋b)－2≤a＋b22，解得0<a＋b≤4－22，或a＋b≥4＋22.因为a＋b>4，所以a＋b≥4＋22，|PQ|＝(a＋b)－2≥2＋2

2，当且仅当a＝b＝2＋2时取等号，所以PQ最小值为2＋22，此时a＝b＝2＋2.故当公路PQ长最短时，OQ的长为2＋2千米．[C级拓展探究]15．如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的

直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的直角坐标系用解析法证明：|RT|＝|ST|.证明：如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则

可得圆的方程为x2＋y2＝4，A(0，2)，B(0，－2)，设P(x0，y0)，则x20＋y20＝4.直线AP的方程为y＝y0－2x0x＋2，令y＝0得xR＝2x02－y0，直线BP的方程为y＝y0＋2x0x－2，令y＝0得xS＝2x02＋y0

.∵切线PT方程为x0x＋y0y＝4，由对称性知点T在x轴上，故令y＝0得xT＝4x0，∴|RT|＝|xR－xT|＝2x02－y0－4x0＝2y0（2－y0）（2－y0）x0＝2y

0x0，|ST|＝|xS－xT|＝2x02＋y0－4x0＝2y0（2＋y0）（2＋y0）x0＝2y0x0.∴|RT|＝|ST|.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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