【文档说明】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二下学期期中考试 数学（理）.doc，共(7)页，1.058 MB，由小赞的店铺上传

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大庆实验中学实验二部2019级高（二）下学期期中考试数学学科试题出题人：侯典峰李红梅石磊丁亮审题人：侯典峰李红梅2021.5.6-2021.5.7一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．1．已知复数31zi=−+，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.命题“1xxexR+，≥”的否定是（）A．1xxexR+，B．0001xxexR+，≥C．1xxexR+

，D．0001xxexR+，3．设集合2{|4},{|0}AxxBxx==，则()RAB=ð（）A．{|2}xxB．{|2}xxC．{|2xx−或02}xD．{|2xx−或02}x4．已知双曲线22221(00)yxabab−

=，的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为()A．12yx=B．yx=C．2yx=D．2yx=5.复数4312ii−−的共轭复数．．．．的虚部．．为（）A．1B．1−C．iD．i−6．在极坐标系中，点3,

6到直线()3cossin2+=的距离为（）A．2B．1C．34D．31−7．我校实验二部数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：C)的关系，由实验数据得到右面的散点图

.由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是A.yabx=+B.lnyabx=+C.exyab=+D.2yabx=+8．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子

中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为()EX，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为()EY，则（）A．(3)(3)PX

PY==且()()EXEYB．(3)(3)PXPY==且()()EXEYC．(3)(3)PXPY==且()()EXEYD．(3)(3)PXPY==且()()EXEY9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下

数据：由表中数据，求得线性回归方程为ˆˆ106ybx=+若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A．16B．13C．12D．2310．()6111xx++的展开式中x的系数为（）A．6B．15C．18D．2111．下列五个命题①在某项测量中

，测量结果服从正态分布2(2,)(0)N，若在(0，2)内取值的概率为0.4，则在(0，+∞)内取值的概率为0.８;②集合2230Axxx=+−Z，02Bxx=，则AB的真子集个数为３;③命题“若2430xx−+=，则3x=

”的逆否命题为“若3x，则2430xx−+”;④若12nxx−的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中2x项的系数为80;⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第１次抽到理科题的条件下，第２次抽到理科

题的概率为23．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将

在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、

冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于54−，则椭圆的离心率为（）A．15B．25C．255

D．55二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ服从二项分布16,2B，则()2P等于__________14．设命题:p关于x的一元二次方程()2220xaxa+++−=的一根大于零，另一根小于零；命题:qxR，2280

xxa−+；若pq为真命题，pq为假命题，则实数a的取值范围是___________．15．大庆实验中学文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念，其中甲不站在队伍的两端，乙、丙两人不相邻，丁必须站在戊的左面（丁、戊两人可以相邻，也可以不相邻

），则满足条件的不同站队方式的站法数为__________．(用数字作答)16．已知关于x的方程()1ln20xxeaxxa−−+−=在(0,1上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．三、

解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为()2cos3sinxy==是参数，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin24

−=.（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）设点()0,2P，直线l与曲线C交于,AB两点，求11PAPB+的值.18．（12分）作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020－2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨.其中，新疆棉

产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%.新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求.评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤

维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）.

纤维长度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]Ａ地（根数）492178Ｂ地（根数）2122015（1）由以上统计数据，填写下面22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.

01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”(2K的观测值精确到0.001).附：（1）；（2）临界值表；20()PKk0．100.050.0250.0100.0050.0010k2.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意

抽取２根做进一步研究，记Ｂ地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.(3)根据上述Ｂ地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将Ｂ地“长纤维”的频率视为概率，现从Ｂ地棉花（大量的棉花）中任意抽取３根棉

花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望.19．（12分）如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，90ADB=，2AD=，23DB=，PD⊥底面ABCD.（1）证明：BDPA⊥；（2）若点E为AD的中点

，3PD=，求二面角EPBD−−的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线1:C2212xy+=，曲线2:C4y=，以直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，射线:l=02

与曲线1C、曲线2C分别交于点A、B，将射线l绕极点逆时针旋转2后得到射线l，射线l与曲线1C、曲线2C分别交于点C、D.(1)求曲线1C与曲线2C的极坐标方程；(2)求2222OBODOAOC+的最小值.22()()()()()nadbcKabcdacbd−=+

+++21．（12分）已知12,FF为椭圆:M()222210xyabab+=的左右焦点，椭圆的离心率为32，椭圆上任意一点到12,FF的距离之和为4.（1）求椭圆M的标准方程；（2）过1F的直线12,ll分别交椭圆M于,AC和,BD,且12

ll⊥，试求四边形ABCD的面积S的取值范围.22．（12分）已知函数()1xfxex=−−，()2xgxex=−.（1）（ⅰ）证明：()0fx；（ⅱ）证明：()0gx.（2）当0x时，()()

sin1cos1fxxxxax++++恒成立，求实数a的取值范围.大庆实验中学实验二部2019级高（二）下学期期中考试数学学科试题参考答案１－１６CDBCBABCCDCＤ1132,)()4,24,−+；168；211,3e17.解：（1）曲线C：22143x

y+=直线l：2yx=+（2）直线l的参数方程为：()22222xttyt==+是参数联立22143xy+=，得2716280tt++=，其判别式0，设点,AB对应的参数分别为12,tt则12,tt是方程2716280tt+

+=的两根，则121627tt+=−，1287tt=，所以121212121621172287PAPBttttPAPBPAPBtttt++++=====．18.解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下22列联表：[来源:

学§科§网]Ａ地Ｂ地总计长纤维253560短纤维15520计404080根据22列联表中的数据，可得280(2551535)6.66740402060k−=,因为6.6676.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.

01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（Ⅱ）由题意可知的可能取值为：0,1,2,21522021(0)38CPC===，1115522015(1)38CCPC===，252201(2)19CPC===，．可得的分布列为：012P21381

538119所以211511()0123838192E=++=．（３）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为357408=，所以7~3,8XB，所以30371(0)18512PXC==−=，2137721(1)1885

12PXC==−=，22377147(2)188512PXC==−=，3337343(3)8512PXC===．故X的分布列为X012３P1512215121

47512343512故X的期望为()1211473435125210123812512512EX++==+（或()721388EX==）19证明：因为PD⊥底面ABCD，BD平面ABCD，所以PDBD⊥，又因为90ADB=，BDAD⊥.PDADD=，所以BD⊥平面PAD.又PA

平面PAD从而BDPA⊥（2）因为PD⊥底面ABCD，所以PDAD⊥，又BDAD⊥，PDBD⊥，所以,,DADBDP两两垂直，如图，以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz−，则(2,0,0)A，(0,23,0)B，()0,0,3P，()1,0,0E.(2,0,0

)DA=，(1,23,0)EB=−，(1,0,3)EP=−，设(,,)mxyz=为平面EPB的法向量，则0,0,mEBmEP==即230,30,xyxz−+=−+=，可取(6,3,2)m=，又因为ADPD⊥，ADBD⊥，PDBDD=，所以AD⊥平面PBD，

所以(2,0,0)DA=为平面DPB的法向量，则1243cos,43DAmDAmDAm•==故二面角EPBD−−的余弦值为124343．20.2122123422112222212C=;1+sinCsin=ABC+D+2222l=C==21+si

n1+sin4l=Csin=4=2sin2l=+C=21+（1）曲线的极坐标方程为：曲线的极坐标方程为：4.（2）设（，）（，）（，）（，）将射线：（0<<）代入曲

线：中得：将射线：（0<<）代入曲线：中得：将射线：代入曲线：23222422222422222213222222222=sin1+cos4l=+Csin=4=2cos11=+=8++sincos11=+(+)(sin+cos)sincoscossin+sincos2sin=cos==24

OBODOAOC+中得：将射线：代入曲线：中得：所以（2）上式8[2]=8(4+)48当且仅当即时有最小48.值为21.解：（1）由已知2432acea===得2

3ac==所以椭圆的标准方程为：221.4xy+=（2）①当直线1l的斜率为0时,直线1l的方程为0y=，则24,ACa==直线2l的方程为3x=−，则31,22B−，31,22D−−或31,22B−−，31,22D−，

此时1BD=，可得1141222SACBD===．②当直线1l的斜率不存在时,直线1l的方程为3x=−，则31,22A−，31,22C−−或31,22A−−，31,22C−，此时1AC=，直线2l的方程为0y=，则24

,BDa==可得1114222SACBD===．③当直线1l的斜率存在且不为0时，设直线1l的斜率为()0kk．则直线()1:3lykx=+，联立2214xy+=，得()222214831240kxkxk+++−=,216160k=+，设()()1122,,,AxyBxy则22121

22283124,1414kkxxxxkk−+=−=++,所以()222121212114ACkxxkxxxx=+−=++−()()2222222412441831141414kkkkkkk−+−=+−=+++．同理可得()2241

4kBDk+=+,所以()()()()22422424222228182111818224241744174414417kkkkSACBDkkkkkkkk+++====−=−++++++++．由于22448kk+（当1k=时取等

号）,22441725kk++,22110425417kk++,2218180425417kk++,2218180425417kk−−++,22321822425417kk−++,所以32225S

．综合①②③可知，四边形ABCD面积的取值范围是32,225．22.证明：由()1xfxex=−−可知()1xfxe=−．当(),0x−时，()0fx，函数()fx单调递减，当()0,x+时，()0fx，函数(

)fx单调递增，当0x=时，函数()fx有最小值()0f，又()00f=，故()0fx．由()2xgxex=−可知()2xgxe=−．当(),ln2x−时，()0gx，函数()gx单调递减，当()ln2,x+时，()0gx，函数()gx单调递增，当0x=时

，函数()gx有最小值()ln2g，又()ln222ln22ln02eg=−=，故()0gx．(2)当0x时，()()sin1cos1fxxxxax++++恒成立，等价于当0x时，sincos20xexxxax++−−恒成立．设函数()()sinco

s20xFxexxxaxx=++−−．则()cosxFxexxa=+−，设()()cos0xhxexxax=+−，则()sincosxhxexxx=−+．当0x时，cos1x−，sin1x−−，sinxxx−−，结合（１）（ⅰ）问结论()0fx知()si

ncos10xxhxexxxex=−+−−，故函数()hx在)0,+上单调递增．若1a，则当0x时，()()010hxha=−，()0Fx，函数()Fx在在)0,+上单调递增，又()00F=，故()0Fx，满足

题意．若1a，因为cos1a−，cosaaa−，结合（１）（ⅱ）问结论()0gx可知()cos20aaahaeaaaeaaea=+−−−=−，又()010ha=−，函数()hx在)0,+上单调递增，故存在()00,xa，使得()00hx=，当()00,xx时，

()0hx，()0Fx，函数()Fx在()00,x上单调递减，此时()()0FxF，又()00F=，即当()00,xx时，()0Fx，不符题意．故所求a的取值范围是(,1−．