【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高二下学期4月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(19)页，1.081 MB，由管理员店铺上传

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叙州区一中2023年春期高二第二学月考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷选择题（60分）一、选

择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位，复数4334ii+−的虚部是A.1−B.1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数4334ii+−的代数

形式后可得答案．【详解】由题意得，43(43)(34)2534(34)(34)25iiiiiiii+++===−−+，所以复数的虚部是1．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数za

bi=+的虚部为bi，要强化对复数概念的理解，属于基础题．2.已知()03fx=，000(2)()lim3xfxxfxx→+−的值是（）A.3B.2C.23D.32【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．

【详解】00000020(2)()(2)()22limlim()23323xxfxxfxfxxfxfxxx→→+−+−===．故选：B．3.已知双曲线2221xya−=（a＞0）的离心率是5则a=A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定

义，列关于a的方程求解.【详解】∵双曲线的离心率5cea==，21ca=+，∴215aa+=，解得12a=，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.91()x

x+展开式中的第四项是A.356xB.384xC.456xD.484x【答案】B【解析】【详解】试题分析：91()xx+展开式中的第四项是3633334991()84TCxCxxx===.故选B．考点：二项式定理．5.将曲

线sin2yx=按曲线伸缩变换23xxyy==后得到的曲线方程为（）A.3sinyx=B.3sin4yx=C.13sin2yx=D.1sin43yx=【答案】A【解析】【分析】由23xxyy==得23xxyy==，然后代入sin2yx=即可得出答案.【详解

】由23xxyy==得23xxyy==，代入sin2yx=得sin232yx=所以3sinyx=所以将曲线sin2yx=按伸缩变换23xxyy==后得到的曲线方程为3sinyx=故选：A【点睛】本题考查的是伸

缩变换，较简单.6.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程ˆ0.850.25yx=−，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c丢失.天数x/天34567繁殖个数y/千个c344.56则上表中丢失的实验数据c的值为（）A.1B

.1.5C.2D.2.5【答案】D【解析】【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.【详解】由表中数据可得3456755x++++==，344.5617.555ccy+++++==，将点17.5(5,)5c+代入ˆ0.

850.25yx=−中，得17.50.8550.255c+=−，解得2.5c=，所以丢失的实验数据c的值为2.5.故选：D7.已知正四棱锥SABCD−的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的正弦值为（）A.13B.33C.63D.23【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的

定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦

定理，求∠HFG的余弦值即可．【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD的侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=12BC，取AD的中点H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．再取DC

中点G，连接HG，则FG∥SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF=AE=32a，FG=12a，HG=22DHDG+=22A，∴cos∠HFG2222HFFGHGHFFG+−=33＞0．即AE、SD所成的角的正弦值为63．故选C．【点睛】本题

主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．8.某学校有四个优秀同学甲、乙、丙、丁获得了保送到哈尔滨工业大学、东北

林业大学和哈尔滨医科大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去哈尔滨医科大学，则不同的保送方案共有（）A.24种B.36种C.48种D.64种【答案】A【解析】的【分析】先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论得解.【详解】每所大学至少保送1人,且甲同学要求

不去哈尔滨医科大学，先考虑甲去的学校有2种情况，对甲去的学校分类讨论，若该校只有1人保送，则另外3人去两所学校共有2232CA；若甲去的学校有2人保送，则另外3人去3所学校共有33A.则不同的保送方案共有2233232(CA)24A+=.故选:A.9.已知()21ln2fxxax=

−在区间()0,2上不单调，实数a的取值范围是（）A.()()2,00,2−B.()()4,00,4−C.()0,2D.()0,4【答案】D【解析】【分析】将题意转换为导函数在区间()0,2上有零点求解即可【详解】因为函数()fx在区间()0,2上不单调，所以()2axafxxxx−

=−=在()0,2上有零点，故0a，令()0fx=有xa=，故(0,2)a，所以(0,4)a故选：D.10.已知函数()fx导函数为()fx¢，且满足关系式()ln2(1)xfxxxfe=++，则()1f的值等于（）A.2e−−B.222e−−C.22e−D.1e−−

【答案】D【解析】【分析】()1f是当1x=时()fx¢的值，可记为m，再对()fx求导，即可得到关于m的方程，求出m，也就是()1f的值.【详解】设()1fm=，那么()ln2xfxxxme=++，()12xfxmex=++，则()121mfe=++

，则有12mme=++，即1me=−−，所以'(1)1fe=−−.故选：D11.如图，在单位正方体1111ABCDABCD−中，点P在线段1AD上运动，给出以下四个命题：①异面直线1AP与1BC间的距离为定值；②三棱锥1D

BPC−的体积为定值；③异面直线1CP与直线1CB所成的角为定值；④二面角1PBCD−−的大小为定值．其中真命题有A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】【详解】对于①，异面直线1AP与1BC间的距离即为两平行平面

11ADDA和平面11BCCB间的距离，即为正方体的棱长，为定值．故①正确．对于②，由于11DBPCPDBCVV−−=，而1DBCS为定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥1DBPC−的体积为定值．故②正确．对于③，由题意

得在正方体1111ABCDABCD−中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故这两条异面直线所成的角为90．故③正确；对于④，因为二面角P−BC1−D的大小，即为

平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角1PBCD−−的大小为定值．故④正确．综上①②③④正确．选D．12.已知函数0()0xxxexfxxex=−，，，如果关于

x的方程2[()]()10fxtfx++=(tR)有四个不等的实数根，则t的取值范围（）A.1()ee−−−，B.1(2)ee−−−，C.1(2)ee+，D.1()ee++，【答案】A【解析】【分析】构造新的函数()x

gxxe=，求出导数，根据()0gx，()0gx得出函数()gx的单调区间，画出()gx草图，通过翻折画出函数()fx图像，根据图像将原方程实数根转化为210mtm++=有两个不相等实数根1m､2m，且11(0)me，､21()me+，，结合函数根的分布求

解.【详解】解：构造新的函数()xgxxe=，()gx的定义域为R，()(1)xgxxe=+，令()0gx=得=1x−，当1x−时，()0gx，则()gx在(1)−+，上单调递增，当1x−时，()0gx，则()gx在(1

)−−，上单调递减，∴()gx在=1x−处取得极小值也是最小值，又1(1)ge-=-，(0)0g=，当x→+时()fx→+，当x→−时()0fx恒成立，则做()gx的图像如图，又0()0xxxexfxxex=−，，，则当0x时，()fx的图像为()gx的图像向上翻

折所得到，则()yfx=的图像如图，令()mfx=，则原方程化为210mtm++=，设2()1hmmtm=++由()fx图象知当10me时ym=与()yfx=有3个交点，当1me或0m=时ym=与()yfx=有1个交点，∴又当0m=

时()0hm，∴2[()]()10fxtfx++=有四个不等的实数根等价于：210mtm++=有两个不相等实数根1m､2m，且11(0)me，､21()me+，，则2(0)101110htheee=

=++，解得1tee−−.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变

形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.物体做直线运动，其运动规律是23n

tt=+，t为时间，单位是s；n为路程，单位是m，则它在2s时的瞬时速度为____m/s．【答案】134##134##3.25【解析】【分析】对23ntt=+求导，将2t=代入计算即可【详解】由23ntt=+，则232ntt=−

所以该物体在2s时的瞬时速度为：23313224442−=−=m/s故答案为：13414.已知原命题的逆命题是：“若0xy=，则220xy+=”，试判断原命题的否命题的真假________.（填“真”或“假”）【答案】假【解析】【分析】原命题的逆命题与否命题

互为逆否命题，它们的真假性相同，即只需判断原命题逆命题的真假性就可得出结论.【详解】原命题的逆命题是：“若0xy=，则220xy+=”与原命题的否命题互为逆否命题，它们的真假性相同，所以，只需要判断原命题的逆命题

的真假即可，若0xy=，则可能0x=，0y，此时220xy+，即原命题的逆命题是假命题，所以，原命题的否命题是假命题.故答案为：假.【点睛】本题考查命题的真假关系，属于基础题.15.已知某中学高二年级学生某次考试的数

学成绩X（单位：分）服从正态分布()2105,N，且(120)0.8PX=，从这些学生中任选一位，其数学成绩落在区间()90,105内的概率为__________.【答案】0.3【解析】【分析】根据(90105)(105120)(120)(105)PXPXPXPX==−求解即可

.【详解】(90105)(105120)(120)(105)0.80.50.3PXPXPXPX==−=−=.故答案为：0.316.若函数()23ln2afxxxx=−在区间(0,)+上有两个极值点，则实数a的取值范围

是______．【答案】1(0,)3【解析】【分析】求得()ln13fxxax=+−，根据题意转化为ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，转化为()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，求得()2ln

xgxx−=，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()23ln2afxxxx=−，可得()ln13fxxax=+−，因为函数()fx在区间(0,)+上有两个极值点，即()0fx=在

(0,)+上有两个不等的实数根，即ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，即函数()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，又由()ln1xgxx+=，可得()2lnxgxx−=，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)x+时

，()0gx，()gx单调递减，所以()()max11gxg==，且当0x→时，()gx→−，当x→+时，()0gx→，所以031a，解得103a，即实数a的取值范围是1(0,)3.故答案为：1(0,)3.三、解答题：共70分．解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17已知函数()|2||2|fxxxm=−++−（1）当5m=时，求不等式()2fx的解集；（2）若函数245yxx=−++与函数()yfx=的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.

【答案】（1）77|22xxx−或（2）5m−【解析】【小问1详解】当5m=−时，25(2)()1(22)25(2)xxfxxxx−−−=−−−，由()2fx得不等式的解集为77|22xxx−或【小问2详解】由二次函数2245(2)9yxxx

=−++=−−+，知函数在2x=处取得最大值9，.因为2(2)()4(22)2(2)xmxfxmxxmx−−−=−−−，在2x=处取得最小值4m−，所以要使二次函数245yxx=−++与函数()yfx=的图恒有公共点，只需49m−，即5m−

．18.如图，已知四棱锥PABCD−的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PAADAC==，点F为PC的中点.（1）求证：//PA平面BFD；（2）求二面角CBFD−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；

（2）217.【解析】【分析】（1）连接AC，与BD交于点O，可证得//OFPA，由线面平行判定定理可证得结论；（2）以O为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【详解】（1）连接AC，与BD交于点O

，连接OF，四边形ABCD为菱形，O为AC中点，又F为PC中点，//OFPA，OF平面BFD，PA平面BFD，//PA平面BFD（2）四边形ABCD为菱形，ACBD⊥；//OFPA，PA⊥平面ABCD，OF⊥平面ABCD，.则

以O为坐标原点，,,OBOCOF为,,xyz轴可建立如图所示空间直角坐标系，不妨设2PAADAC===，则()0,1,0C，()3,0,0B，()3,0,0D−，()0,0,1F，()3,1,0CB=−，()3,0,1BF=−，设平面BCF的法向量(),,nxyz

=，3030CBnxyBFnxz=−==−+=，令1x=，解得：3y=，3z=，()1,3,3n=；平面BFDy⊥轴，平面BFD的一个法向量()0,1,0m=ur，321cos,77mnmnmn===，由图形可知：二面角CBF

D−−为锐二面角，二面角CBFD−−的余弦值为217.19.已知3x=是函数2()ln10fxaxxx=+−的一个极值点．（1）求函数()fx的单调区间；（2）若函数()yfxb=−有且仅有1个零点，求b的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(0,2)，(3,)+，单调递减区间为(2,3

)；（2）()(),12ln32112ln216,−−−+【解析】【分析】（1）由题意(3)0f=，解得12a=，再通过()0fx和()0fx解出函数()fx的单调递增区间和单调递减区间.（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线yb=与()yfx=图像有1个交点时b取

值范围．的【小问1详解】函数2()ln10fxaxxx=+−定义域为()0,+()210afxxx=+−，由3x=是函数2()ln10fxaxxx=+−的一个极值点，则(3)0f=，即61003a+−=，解得12a=；()fx的导数为12

2(2)(3)()210(0)xxfxxxxx−−=+−=，令()0fx，解得，3x或02x，；令()0fx，解得，23x．则()fx的单调递增区间为(0,2)，(3,)+，单调递减区间为(2,3)；【小问2详解】由于()fx在(0,2)和(3,)+内单调递增

，在(2,3)内单调递减，则()fx在2x=处取得极大值，且为12ln216−，在3x=处取得极小值，且为12ln321−由于直线yb=与()yfx=图像有1个交点，12ln216b−或12ln321b

−．故b的取值范围是()(),12ln32112ln216,−−−+．20.某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道甲组题和3道乙组题）不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到甲组

题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）规定理科考生需作答2道甲组题和1道乙组题，该考生答对甲组题的概率均为23，答对乙组题的概率均为14，若每题答对得10分，否则得零分.现该生已抽到3道题（2道甲组题和1道乙组题），求其所得总分的分布列与数学期望.【答案】（1）()()1

|()5PABPBAPA==；（2）分布列见解析，()956EX=.【解析】【分析】（1）利用条件概率公式，即可求得该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均抽到乙组题的概率；（2）先明确X的可能取值，求出相应的概率值，得到X的分布列，进而得

到数学期望.【详解】（1）记“该考生在第一次抽到甲组题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到乙组题”为事件B，则()47PA=,()432476535PAB==.所以该考生在第一次抽到甲组题的条件下，第二次和第三次均

抽到乙组题的概率为的()()()1|5PABPBAPA==.（2）X的可能取值为：0,10,20,30，则()()212113121311130,10334123343436PXPXC=====+=，()22

12223121420343349PXCC==+=，()11341301123699PX==−−−=，X的分布列为X0102030P11213364919则X的数学期望为()113419501020301236996EX=++

+=.21.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的长轴长与短轴长之比为2,1F、2F分别为其左、右焦点．请从下列两个条件中选择一个作为已知条件,完成下面的问题:①过点(0,5)P且斜率为1的直线

与椭圆E相切;②过2F且垂直于x轴的直线与椭圆在第一象限交于点P,且1PFO的面积为34．(只能．．从①②中选择一个作为已知)（1）求椭圆E的方程;（2）过点(1,0)T的直线l与椭圆E交于A,B两点,与

直线6x=交于H点,若1HAAT=,2HBBT=．证明:12+为定值．【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】(1)选①:直线与椭圆联立,利用判别式为0求解;选②:利用通径公式即可(2)用直线参数方程的几何意义求

解【小问1详解】选①:由题知2ab=,过点(0,5)P且斜率为1的直线方程为5yx=+联立2222145xybbyx+==+,得()22222585450bxbxbb++−=()2224455bbb=

−由Δ0=,得21b=所以椭圆E的方程为2214xy+=选②:由题知2ab=,所以32ca=由122133244PFObScba===,得21b=所以椭圆E的方程为2214xy+=【小问2详解】证明:设直线l的参数方程为1cossinxtyt=+=(t为参数)设A,B

,H对应的参数分别为123,,ttt,显然120,0,2tt将1cossinxtyt=+=代入椭圆E,得222212coscossin14ttt+++=即222cos13sincos0424tt++−=.所以121222222cos3

,cos4sincos4sintttt+=−=−++将1cossinxtyt=+=代入直线6x=,得35cost=由1HAAT=,得1311ttt−=−,所以3111tt=−由2HBBT=,得2322

ttt−=−,所以3221tt=−所以3312123121252cos41122cos33ttttttttt++=−+−=−=−=所以12+为定值43【点睛】关键点点睛：直线的参数方程作为一种工具，要充分发挥它的作用，参数的几何意义并不局限于加绝对值表示距离，还

要注意方向性.22.已知函数()1lnfxxaxx=−−．（1）若函数()fx在2x=处取得极值，求实数a的值，并求函数()fx的极值；（2）①若当1x时，()0fx恒成立，求实数a的取值范围；②

证明：当n+N时，22231ln2lnln21nnnn+++++．【答案】（1）52a=；()fx极大值为5ln232−，极小值为35ln22−（2）①(,2−；②证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，利用()20f=可求得a的值，进而得到()(),

fxfx，由导函数正负可确定()fx单调性，由极值定义可求得结果；（2）①当22a−和2a−时，由导数可知()fx在)1,+上单调递增，知()()10fxf=，满足题意；当2a时，可知()fx在241,2aa+−上单调递减，可知()()10fxf=，不合题意

；由此可得a的取值范围；②由①可得12lnxxx−，令1nxn+=，可得()211ln1nnnn++，采用裂项相消法可取得不等式右侧的前n项和，由此可得结论.【小问1详解】()211afxxx=+−，又()fx在2x=处取得极值，()121042af=+−=，

解得：52a=，()()15ln02fxxxxx=−−，则()()()2222212152521222xxxxfxxxxx−−−+=+−==，当()10,2,2x+时，()0fx¢>；当1,22x时，()0fx；()fx\在10,2，()

2,+上单调递增；在1,22上单调递减，()fx\的极大值为13515ln23ln22222f−=−−=；极小值为()35ln222f−=；综上所述：52a=；()fx极大值为5ln232−，极小值为35ln22−.【小问2详解】①()222111axa

xfxxxx−+=+−=，令()21gxxax=−+，则24a=−；（i）.当240a−，即22a−时，()0gx恒成立，()0fx，则()fx在)1,+上单调递增，又()10f=，()0fx恒成立，满足题意；（ii）.当240a−，

即2a−或2a时，令()0gx=，解得：2142aax−−=，2242aax+−=；当2a−时，120xx，()0gx在)1,+上恒成立，则()fx在)1,+上单调递增，又()10f=，()0fx恒成立，满足题意；当2a

时，120xx，又12xxa+=，121=xx，1201xx；当()21,xx时，()0gx；当()2,xx+时，()0gx；()fx\在()21,x上单调递减，在()2,x+

上单调递增，则当()21,xx时，()()10fxf=，不合题意；综上所述：实数a的取值范围为(,2−.②由①知：当2a=时，12ln0xxx−−在()1,+上恒成立，即12lnxxx−；令1nxn+=，则1112l

n11nnnnnnnn++−=++，11ln1nnnn++；()21111ln11nnnnnn+=−++，22231111111ln2lnln112223111nnnnnnn++++−+−++−=−=+++，即当n+N时，22231ln2lnl

n21nnnn+++++.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com