【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高二下学期4月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(20)页，1016.499 KB，由小赞的店铺上传

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叙州区一中2023年春期高二第二学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i为虚数单位，复数4334ii+−的虚部是A.1−B.1C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数4334ii+−的代数形式后可得答案．【详解】由题意得，43(43)(34)2534(34

)(34)25iiiiiiii+++===−−+，所以复数的虚部是1．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数zabi=+的虚部为bi，要强化对复数概念的理解，属于基础题．2.某超市今年1月至10月各月的收入、支出（单位：万元）情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）

A.收入和支出最低的都是4月B.利润（收入−支出）最高为40万元C.前5个月的平均支出为50万元D.收入频数最高的是70万元【答案】D【解析】【分析】根据折线图提供的数据判断各选项．【详解】解析对于A，由

折线图知，收入和支出最低的都是4月，故A正确.对于B，利润最高的是7月份，为40万元，故B正确.对于C，前5个月的支出(单位：万元)分别为50，70，40，30，60，平均数为50万元，故C正确.对于D，收入(单位：万元)为100，90，80，70，60，50的频

数分别为1，3，2，2，1，1，因此收入频数最高的为90万元，D错误.故选：D．3.已知()03fx=，000(2)()lim3xfxxfxx→+−的值是（）A.3B.2C.23D.32【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义与极限的运算可得．【详解】00000020(2)()(2)

()22limlim()23323xxfxxfxfxxfxfxxx→→+−+−===．故选：B．4.已知双曲线2221xya−=（a＞0）的离心率是5则a=A.6B.4C.2D.12【答案】D【解析】【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.

【详解】∵双曲线的离心率5cea==，21ca=+，∴215aa+=，解得12a=，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.将曲线sin2yx=

按曲线伸缩变换23xxyy==后得到的曲线方程为（）A.3sinyx=B.3sin4yx=C.13sin2yx=D.1sin43yx=【答案】A【解析】【分析】由23xxyy==得23xxyy==，然后代入sin2yx=即可得出答案.

【详解】由23xxyy==得23xxyy==，代入sin2yx=得sin232yx=所以3sinyx=所以将曲线sin2yx=按伸缩变换23xxyy==后得到的曲线方程为3sinyx=故选：A【点睛】本题考查的是伸

缩变换，较简单.6.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如下表，并由此计算得到回归直线方程ˆ0.850.25yx=−，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c丢失.天数x/天34567繁殖个数y/千个c344.56则上表中丢

失的实验数据c的值为（）A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】D【解析】【分析】根据给定数据求出样本中心点，再借助回归直线必过样本中心点即可计算作答.【详解】由表中数据可得3456755x++++==，344.5617.555ccy+++++==

，将点17.5(5,)5c+代入ˆ0.850.25yx=−中，得17.50.8550.255c+=−，解得2.5c=，所以丢失的实验数据c的值为2.5.故选：D7.“33k=”是“直线():2lykx=+与圆221xy+=相切”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线和圆相切可得33k=，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】因为直线():2lykx=+与圆221xy+=相切，所以2211kk=+，33k=.所以“33k=”是“直线():2lykx=+与圆221xy+=相切”的充分

不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，以及充分条件和必要的条件，属于基础题．8.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农

民采摘的果实的个数是A.493B.383C.183D.123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到3224+34+14+3=183

.故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．9.已知函数3yaxx=−在（－1,1）上是单调减函数，则实数a的取值范围为（）A.13aB.1a=C.13a=D.13a【答

案】D【解析】【分析】先求导数，再根据导函数恒非正求参数取值范围.【详解】由已知得2310yax=−在(1,1)−上恒成立，当0x=时，2310yax=−恒成立，当0x有min211()33ax=，综上13a故选：D．10.曲线()()()11xefxxxxe=−+−在1x=处

的切线方程为（）A.32yx=+B.34yx=−C.32yx=−+D.yx=−【答案】B【解析】【分析】求出()fx得到()1f，再求出()1f，利用直线方程的点斜式即可解出.【详解】由()()()311xxeefxxxxxxee=−+−=−−，得2()31xefxx

e−+=，∴()13f=，又()11f=−，∴曲线()fx在1x=处的切线方程为()131yx+=−，即34yx=−.故选：B.11.已知正四棱锥SABCD−的所有棱长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成角的正弦值为（）A.13B.33C.63D.23【答案】C【

解析】【分析】根据异面直线所成角的定义可得分别取SC，DC，AD边的中点F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥DF，又根据中点的性质可得FG∥SD从而将异面直线转化为了相交直

线，即∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．【详解】由于正四棱锥S﹣ABCD侧棱长与底面边长都相等，故不妨设棱长为a．取SC的中点F，连接EF，则EF∥BC，EF=12BC，取AD的中点

H连接HF则可得EF∥HA，EF=HA，故四边形AEFH为平行四边形，所以AE∥HF．再取DC中点G，连接HG，则FG∥SD，所以∠HFG或其补角即为异面直线AE、SD所成的角．∵HF=AE=32a，FG=12a，HG=22DHDG+=22A，∴cos∠HFG2222HFFGHG

HFFG+−=33＞0．即AE、SD所成的角的正弦值为63．故选C．的【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角．解题的关键是要紧紧抓住利用平行的传递性（通常利用平行四边形的性质或中位线定理）将异面直线转化为相交直线然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余

弦值的正负判断是这个角还是这个角的补角）．12.已知函数0()0xxxexfxxex=−，，，如果关于x的方程2[()]()10fxtfx++=(tR)有四个不等的实数根，则t的取值范围（）

A.1()ee−−−，B.1(2)ee−−−，C.1(2)ee+，D.1()ee++，【答案】A【解析】【分析】构造新的函数()xgxxe=，求出导数，根据()0gx，()0gx得出函数()gx的单调区间，画出()gx草图，通过翻折画出函数()f

x图像，根据图像将原方程实数根转化为210mtm++=有两个不相等实数根1m､2m，且11(0)me，､21()me+，，结合函数根的分布求解.【详解】解：构造新的函数()xgxxe=，()gx的定义域为R，()(1)xg

xxe=+，令()0gx=得=1x−，当1x−时，()0gx，则()gx在(1)−+，上单调递增，当1x−时，()0gx，则()gx在(1)−−，上单调递减，∴()gx在=1x−处取得极小值也是最小值，又1(1)ge-=-，(0)0g=，当x→+时()fx→+，当x→−

时()0fx恒成立，则做()gx的图像如图，又0()0xxxexfxxex=−，，，则当0x时，()fx的图像为()gx的图像向上翻折所得到，则()yfx=的图像如图，令()mfx=，则原方程化为210mtm++=，设2()1hmmtm=++由()fx图象知当10me时

ym=与()yfx=有3个交点，当1me或0m=时ym=与()yfx=有1个交点，∴又当0m=时()0hm，∴2[()]()10fxtfx++=有四个不等的实数根等价于：210mtm++=有两个不相等实数根1m､2m，且11(0)me，､21()me+，，则

2(0)101110htheee==++，解得1tee−−.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数

范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校为了了解学生的学习

情况，用系统抽样的方法从全校2400名学生中抽取50人进行调查.现将2400名学生随机地从1~2400编号，按编号顺序平均分成50组，若第2组抽出的号码为88，则第8组抽到的号码是___________.【答案】376【解析】的【分析】根据系统抽样中等距抽样的方法，计算出抽样间隔，结合第2

组抽取号码确定第8组的号码.【详解】由题设，抽取间隔为24004850=，所以第8组抽到的号码是8848(82)376+−=.故答案为：37614.物体做直线运动，其运动规律是23ntt=+，t为时间，单位是s；n为路程，单位是m，则它在2s时的瞬时速度为____m/s．【答案

】134##134##3.25【解析】【分析】对23ntt=+求导，将2t=代入计算即可【详解】由23ntt=+，则232ntt=−所以该物体在2s时的瞬时速度为：23313224442−=−=m/s故答案为：13415.已知一个命题的逆

命题是“若2a，2b，则4ab+，4ab”，写出原命题的否命题：______．【答案】若4ab+或4ab，则2a或2b【解析】【分析】先根据逆命题推出原命题，再写出其否命题即可．【详解】解

：该命题的逆命题是：若2a，2b，则4ab+，4ab，故原命题为：若4ab+，4ab，则2a，2b，所以原命题的否命题为：若4ab+或4ab，则2a或2b．故答案为若4ab+或4ab，则2a或2b．【点睛】本题考查了四种命题，在写命题的否命题时，不光要对条件和结论

否定，还要注意对连接词的否定，本题属基础题．16.若函数()23ln2afxxxx=−在区间(0,)+上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．【答案】1(0,)3【解析】【分析】求得()ln13fxxax=+−，根据题意转化为ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根

，转化为()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，求得()2lnxgxx−=，求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数()23ln2afxxxx=−，可得()ln13fxxax=+−，因为函

数()fx在区间(0,)+上有两个极值点，即()0fx=在(0,)+上有两个不等的实数根，即ln13xax+=在(0,)+上有两个不等的实数根，即函数()ln1xgxx+=和3ya=的图象有两个交点，又由()ln1xgxx

+=，可得()2lnxgxx−=，当(0,1)x时，()0gx，()gx单调递增；当(1,)x+时，()0gx，()gx单调递减，所以()()max11gxg==，且当0x→时，()gx→−，当x→+时，()0gx→，所以031a，解得103a，

即实数a的取值范围是1(0,)3.故答案为：1(0,)3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.已知函数()|2||2|fxxxm=−++−（1）当5m=时，求不等式()2fx的解集；

（2）若函数245yxx=−++与函数()yfx=的图象恒有公共点，求实数m的取值范围.【答案】（1）77|22xxx−或（2）5m−【解析】【小问1详解】当5m=−时，25(2)()1(22)25(2)xxfxxxx−−−=−−−，由()2fx得

不等式解集为77|22xxx−或【小问2详解】由二次函数2245(2)9yxxx=−++=−−+，知函数在2x=处取得最大值9，因为2(2)()4(22)2(2)xmxfxmxxmx−−−

=−−−，在2x=处取得最小值4m−，所以要使二次函数245yxx=−++与函数()yfx=的图恒有公共点，只需49m−，即5m−．18.司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己

和他人的生命.为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25

人.（1）完成下面的22列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）从开车时使用手机的样本中依据性别采取分层抽样抽取了6名司机，再从抽取的6

名司机中随机的抽取3名司机了解具体情况，求抽取的3名司机中至少有2名男司机的概率.参考公式附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++其中nabcd=+++.参考数据：的()20PKk0.150.10

0050.0250.0100.0050k2.0722.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（2）45.【解析】【分析】（1）根据已知条件完善列联表，由卡方公式求出卡方值，比较参照值即可得结论；（2

）由（1）知6名司机中4名男性，2名女性，利用组合计数、古典概型的概率求法求概率即可.【小问1详解】开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100所以()22100402520158.2497.87960405545K−=，故有

99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关.【小问2详解】由（1）知：6名司机中4名男性，2名女性，所以6名司机中随机的抽取3名司机中至少有2名男司机的概率为213042423366CCCC314CC555P=+=+=.19

.如图，直三棱柱111ABCABC-中，ABBC⊥，且12ABBCAA===，D为线段BC上动点..（1）证明：11ABAD⊥；（2）判断点D到面11ABC的距离是否为定值，并说明理由，若是定值，请求出该定值.【答案】（1）证明见解析；（2）是

定值，理由见解析，2.【解析】【分析】（1）由BCAB⊥，1BBBC⊥证得BC⊥面11AABB，从而1BCAB⊥，结合11ABAB⊥，证得1AB⊥面ABC，从而证得11ABAD⊥.（2）点D到面ABC的距离即为BC到面11ABC的距离，可转化为点B到面11ABC的

距离，由条件证得BE⊥面11ABC，则BE为点D到面11ABC的距离，求得BE即可.【详解】解：（1）连1AB，1AC，四边形11AABB为正方形，11ABAB⊥又BCAB⊥，直棱柱111ABCABC−中，1BBBC

⊥，1ABBBB?，BC⊥面11AABB，1AB面11AABB，1BCAB⊥又1ABBCB=I，1AB⊥面ABC，1AD面1ABC，11ABAD⊥（2）点D到面ABC的距离为定值.1//BCBC，11B

C面11ABC，//BC面11ABC，点D到面ABC的距离即为BC到面11ABC的距离，可转化为点B到面11ABC的距离令11ABABE=，则1BEAB⊥，又BC⊥面11AABB，BE面11AABB，BCB

E⊥11//BCBC，11BCBE⊥，1111ABBCB=，BE⊥面11ABC，BE为点D到面11ABC的距离在等腰1RtABB△中，122AB=，1122BEAB==D到面11ABC距离为定值，且定值为220.

已知3x=是函数2()ln10fxaxxx=+−的一个极值点．（1）求函数()fx的单调区间；的（2）若函数()yfxb=−有且仅有1个零点，求b的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为(0,2)，(3,)+，单调递减区间为(2,3)；（2）()(),12ln32112

ln216,−−−+【解析】【分析】（1）由题意(3)0f=，解得12a=，再通过()0fx和()0fx解出函数()fx的单调递增区间和单调递减区间.（2）根据函数单调性，算出函数极值，通过函数图像判断直线yb=与()yfx=图像有1个交点时b的取值范围．【小

问1详解】函数2()ln10fxaxxx=+−的定义域为()0,+()210afxxx=+−，由3x=是函数2()ln10fxaxxx=+−的一个极值点，则(3)0f=，即61003a+−=，解

得12a=；()fx的导数为122(2)(3)()210(0)xxfxxxxx−−=+−=，令()0fx，解得，3x或02x，；令()0fx，解得，23x．则()fx的单调递增区

间为(0,2)，(3,)+，单调递减区间为(2,3)；【小问2详解】由于()fx在(0,2)和(3,)+内单调递增，在(2,3)内单调递减，则()fx在2x=处取得极大值，且为12ln216−，在3x=处取得极小值

，且为12ln321−由于直线yb=与()yfx=图像有1个交点，12ln216b−或12ln321b−．故b的取值范围是()(),12ln32112ln216,−−−+．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为12，()2,0A−，()2,0B是C的顶点，点M是

第一象限内的动点，已知,MAMB的斜率之比为1:3．（1）证明：点M在一条定直线上；（2）设,MAMB与椭圆C分别交于另外的两点,PQ，证明直线PQ过定点．【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设(),M

xy，根据:1:3AMMBkk=可列出方程，化简即可证明结论；（2）利用题意求得椭圆方程，设设1122(4,),(,),(,)MmPxyQxy，表示直线方程，联立椭圆方程，求得,PQ的坐标，取点()1,0N，利用向量

共线证明//NPNQ，即可证明结论.【小问1详解】证明：设(),Mxy,由题意可知2x，则2MAykx=+，2MBykx=−,因为:1:3MAMBkk=，所以322yyxx=+−,即()322xx−=+，即4x=，故点M在直线4x=上，即点M在一条定直线上

.【小问2详解】由题意知：12,,1,4132cacba====−=，故椭圆方程为22143xy+=，由（1）知点M在直线4x=上，设1122(4,),(,),(,)MmPxyQxy，则MA的方程为(2)6myx=

+，代入22143xy+=，得2222(27)441080mxmxm+++−=，4271080=，所以2124108227mxm−−=+，即212254,27mxm−+=+11218(2)627mmyxm=+=+，同理可得22222266,33mmxymm−−==++，取点()1,0N，

则22232718(,)2727mmNPmm−+=++，22296(,)33mmNQmm−−=++，又因为22222232761890273273mmmmmmmm−+−−−=++++，所以//NPNQ，则,,NPQ三点共线，即直线PQ过定点()1,0

N.【点睛】关键点睛：第二问中，证明直线过定点，可根据题意求得点,PQ的坐标，如果要表示出直线PQ方程，计算量将会比较大，且运算复杂，因此可以结合题意合理猜测定点坐标，然后证明直线过该点.22.设函数()1xafxxe=−+，其中aR.（1）求()fx的

单调区间；（2）当2ae=时，证明：()1ln1xfxe−.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()fx¢，讨论a与0的大小即可判断()fx¢的正负号，即可求出()fx的单调区间;（2）先写出(

)lnfx带入不等式，即可化简为2lnxxxxee−.易证1lnxxe−，12xxeee−−，即可证明2lnxxxxee−成立.【小问1详解】()1xxxaeafxee−=−=，①当0a时，()0

fx¢>在区间(),−+上恒成立，()fx在(),−+上递增；②当0a时，令()0fx¢=得lnxa=，当lnxa时，()0fx¢<，()fx递减；当lnxa时，()0fx¢>，()fx递增.综上所述：当0a时，()fx的

单调递增区间为(),−+，无减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为()ln,a+，单调递减区间为(),lna−.【小问2详解】方法1：当2ae=时，()ln22lnln1ln1xfxxxeeex=−+=+−，要证()1ln1xfxe−，即证明：2lnxx

xxee−.令()lngxxx=，则()ln1=+gxx，令()0gx¢=得1=xe，当10xe时，()0gx，()gx递减；当1xe时，()0gx¢³，()gx递增，所以()min11gxgee==−，则()1gxe−，当且仅当1=xe时“=”成

立.令()2xxhxee=−，则()1xxhxe−=，令()0hx=得1x=，当01x时，()0hx，()hx单调递增；当1x时，()0hx，()hx单调递减；所以，()()max1211hxheee==−=−，则

()1hxe−，当且仅当1x=时“=”成立.于是，()()1gxhxe−，两个“=”不能同时成立，所以()()gxhx，即2lnxxxxee−，所以，当2ae=时，()1ln1xfxe−对0x恒成立.方法2：当2ae=时，()ln22lnln1ln1x

fxxxeeex=−+=+−，要证()1ln1xfxe−，即证：121lnxexxe−+；先证1xex+.令()1xgxex=−−，则()1xgxe=−，令()0gx¢=，得0x=，当0x时，()0gx，()gx单调递减，当0x时，()0gx¢³，()g

x单调递增，则()()min00gxg==，所以，()0gx，即1xex+，当且仅当0x=时“=”成立，则0x时，1xex−，当且仅当1x=时“=”成立，又0x，所以111xex−.下面只需证明1ln0exx+，令()1ln

hxexx=+，0x，则()21ehxxx=−，令()0hx=得1=xe，当10xe时，()0hx，()hx单调递减，当1xe时，()0hx，()hx单调递增，则()min10hxhe==，所以，()0hx，则1ln0exx+，即21lnexxx+，

当且仅当1=xe时取等号，则1211lnxexxxe−+，两个“=”不能同时成立，所以121lnxexxe−+，故2ae=时，()1ln1xfxe−对0x恒成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com