【文档说明】四川省宜宾市叙州区第一中学校2022-2023学年高二下学期3月月考理科数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.393 MB，由小赞的店铺上传

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叙州区一中2023年春期高二第一学月考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小

题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz−中，点()1,2,3A关于平面xOy的对称点A的坐标是（）A.()1,2,3−B.()1,2,3−C.()1,2,3−D.

()1,2,3−−【答案】C【解析】【分析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.【详解】在空间直角坐标系Oxyz−中，点()1,2,3A关于平面xOy的对称点A的坐标是()1,2,3−.故选：C.2.若()3lnfxxx=+，则

0(12)(1)limxfxfx→+−=（）A.1B.2C.4D.8【答案】D【解析】【分析】由题意结合导数的运算可得()14f=，再由导数的概念即可得解.【详解】由题意21()3fxxx=+，所以(1)134f=+=，所以()0

0(12)(1)(12)(1)lim2lim2182xxfxffxffxx→→+−+−===.故选：D.3.某市2021年1月至2022年6月的平均气温折线图如图，则（）A.平均高温不低于30C的月

份有3个B.平均高温的中位数是21CC.平均高温的极差大于平均低温的极差D.月平均高温与低温之差不超过10C的月份有5个【答案】C【解析】【分析】根据折线图数据，结合中位数、极差的定义依次判断各个选项即可.【详解】对于A，平均高温不低于30C的月份有2021年6,7,8月和2022年

6月，共4个，A错误；对于B，将各个月份数据按照从小到大顺序排序后，可得中位数为202120.5C2+=，B错误；对于C，平均高温的极差为36630C−=，平均低温的极差为()24327C−−=，则平均高温的极差大于平均低温的极差，C正确；对于D，月平均高温与低温之差不超过10C

的月份有2021年7,8,9,10月和2022年1,2月，共6个，D错误.故选：C.4.已知函数()yfx=的图象如图所示，则其导函数()'fx的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数图象判断出函数的单调性，由此

判断导函数()'fx的图象.【详解】原函数在(),0−上从左向右有增、减、增，3个单调区间；在()0,+上递减.所以导函数在(),0−上从左向右应为：正、负、正；在()0,+上应为负.所以A选项符合.故选：A5.某

单位为了解夏季用电量与月份的关系，对本单位2021年5月份到8月份的日平均用电量y（单位：千度）进行了统计分析，得出下表数据：月份（x）5678日平均用电量（y）193.4t7.1若y与x线性相关，且求得其线性回归方程ˆ1.78

7.07yx=−，则表中t的值为（）A.5.8B.5.6C.5.4D.5.2【答案】B【解析】【分析】由样本中心(),xy必在回归直线上即可求解.【详解】解：由表格中的数据可得56786.54x+++==，1.93.47.112

.444tty++++==，.将点(),xy代入回归直线方程得12.41.786.57.074.54t+=−=，解得5.6t=．故选：B．6.已知0,0xy，且211xy+=，若222xymm+−恒成立，则实数m的取值范围是（）A.(2,4)B.(1

,2)C.(2,1)−D.(2,4)−【答案】D【解析】【分析】先把2xy+转化为()212xyxy++，利用基本不等式即可求2xy+的最小值，然后根据222xymm+−恒成立，求得22mm−小于2xy+

的最小值，解不等式即可.【详解】因为211xy+=，所以()()244442412248yxyxxyxyxyxyxy==+++=+=+++，当且仅当4,2xy==等号成立若222xymm+−恒成立，则()2min228mmxy−+=，解得：24m−，故选：D【点睛】本题主要

考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题.7.函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是（）A.[0，1)B.(0，1)C.(－1，1)D.1(0,)2【答案】B【解析】【分析】对f(x)求导，然后对a分a≤0和a>0两种情况讨论函数的单调性，由单调性确

定函数的最值.【详解】由题意，()fx＝3x2－3a＝3(x2－a),当a≤0时，()fx＞0，∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a＞0时，()fx＝3(x－a)(x＋a),不妨只讨论0x时当x＞a，()0fx¢>，f(x)为增函数，当0＜x＜a时，()0fx,

f(x)为减函数，∴f(x)在x＝a处取得最小值，∴a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.故选：B.8.已知,,abc是平面上的非零向量，则“acbc=”是“ab=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D

.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据数量积运算性质判断.【详解】若“ab=”成立，则“acbc=”成立，故必要性成立；若“acbc=”成立，则有()0abc−=，得不到ab=，故充分性不成立；故“acbc=”是“ab=”的必要不充

分条件.故选：B9.已知圆22:60Cxyx+−=与直线:21lxy+=，则圆C上到直线l的距离为1的点的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.【详解】由22

60xyx+−=得22(3)9xy−+=，则圆的圆心为()3,0，半径3r=，的由21210xyxy+=+−=，则圆心到直线的距离555d==，∵0351−，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B.10.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲

线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线：当01e时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123mxyyx

y+++=−+表示的曲线是双曲线，则m的取值范围为（）A.()0,8B.()8,+C.()0,5D.()5,+【答案】C【解析】【分析】将方程进行整理变形，根据几何意义可得(),Pxy到定点与到定直线的距离之比为5m，结合已知中的定义可构造不等式求得结果.【详解】已知方程可整理为：()

()222123mxyxy++=−+，则0m，()22123mxyxy++=−+，()2223155xymxy−+++=，设(),Pxy，则其到定点()0,1−的距离为()221xy++，到定直线2

30xy−+=的距离为235xy−+，点P到定点()0,1−与到定直线230xy−+=的距离之比为5m，方程表示的曲线为双曲线，51m，解得：05m，即m的取值范围为()0,5.故选：C.11.已知点1F是椭圆()222210xyab

ab+=的左焦点，过原点作直线l交椭圆于AB、两点，MN、分别是1AF、1BF的中点，若90MON=，则椭圆离心率的最小值为（）A.14B.34C.12D.22【答案】D【解析】【分析】令椭圆右焦点为2F，根据给定条件，判断四边形12AFBF为矩形，再利用椭圆

定义结合均值不等式求解作答.【详解】令椭圆右焦点为2F，半焦距为c，连接22,AFBF，因为MN、分别是1AF、1BF的中点，O为12FF的中点，则22//,//OMAFONBF，而90MON=，则有290AFB=，又点

A，B关于原点O对称，即四边形12AFBF为平行四边形，且是矩形，于是1290FAF=，有2221212||||||AFAFFF+=，122AFAFa+=，因此22221212121212||||(||||)||2||||||2()2AFAFAFAFFFAFAFFF++=++，当且仅

当12||||AFAFa==时取等号，即有222442aca+，2212ca，则离心率e有212e，而01e，解得212e，所以椭圆离心率的最小值为22.故选：D12.已知函数()321fxxax=++的对称中心的横坐标为()000

xx，且()fx有三个零点，则实数a的取值范围是A.(),0−B.332,2−−C.()0,+D.(),1−−【答案】B【解析】【详解】试题分析：由于因此函数()321fxxax=++有两个极值点,因,故,即

,应选B.考点：导数在研究函数的零点中的运用．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线221xym−=一个焦点是(3,0)F，则m=_____．【答案】8【解析】【分析】根据焦点列等量关系，

即得结果.【详解】由焦点(3,0)F可知23198cmcm=+===故答案为：814.直线20xyt−+=与曲线2exyx=−相切，则t=__________．【答案】12−##0.5−【解析】【分析】设切点为()00,xy，列式求解即可．【详解】不妨设切点为()

00,xy，则曲线2exyx=−中，则2exy=−，则应有00000022e12exxyxtyx=+−==−，解得001201txy=−==−，故答案为12−．15.在区间22−，上随机取一个

实数k，则使得直线()2ykx=+与圆221xy+=有公共点的概率为________【答案】12##0.5【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求得k的取值范围，结合几何概型的概率求解，即可容易求得.【详解】因为直线()2ykx=+与圆221xy+=有公共点，所以2

211kk+，解得11k−，又2,2k−，所以所求概率()()111222P−−==−−.故答案为：12.16.已知()3,0e3,0xxxfxxxx=−，若关于x的方程()fxa=有3个不同实

根，则实数a取值范围为______．【答案】10,e【解析】【分析】利用导函数研究出函数()yfx=的单调性，极值情况，画出函数图象，并将函数的根的问题转化为两函数交点个数问题，数形结合求出实数a的取值范围.【详解】当0x时，()exxfx=，()1exxf

x−=，当)0,1x时，()10exxfx−=，当()1,x+时，()10exxfx−=，故()fx在)0,1x上单调递增，在()1,x+上单调递减，且()11ef=，当0x时，()exxfx=恒为正，当0x时，()

33=−fxxx，()()()233311fxxxx=−=+−，当(),1x−−时，()2303=−fxx，当()1,0x−时，()2303=−fxx，故()fx在(),1x−−上单调递减，在()1,0x

−上单调递增，且()1312f−=−+=−，画出()3,0e3,0xxxfxxxx=−的图象如下：要想关于x的方程()fxa=有3个不同实根，则要函数()yfx=与ya=有3个不同的交点即可，显然当10,ea时，符合要求.故答案为：1

0,e三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答17.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为()2241R41xtttyt=+=+.（1

）求曲线C的直角坐标方程.（2）已知直线l的参数方程为()13Rxttyt=+=，点()1,0M，并且直线l与曲线C交于A，B两点，求11MAMB+.【答案】（1）()()22240xyx−

+=；（2）153.【解析】【分析】（1）先求出241tx=−，消去t可得；（2）求出直线l的参数方程标准形式，利用“t”的几何意义求解.【小问1详解】由241xt=+可得：04x，且241tx=−.由241tyt=+可得：222224161

44161txyxxtx−===−+，且241tx=−，即()22400xxyx−+=.所以曲线C的直角坐标方程()()22240xyx−+=.【小问2详解】由直线l的参数方程()13Rxttyt=+=

得到的标准参数方程为()312R12xttyt=+=代入圆的一般方程2240xxy−+=,得2330tt−−=.设A,B对应的参数分别为12,tt,则12123,3tttt+==−.所以121111|||||||

|MAMBtt+=+12121212||||||||||||tttttttt+−==()21212124||tttttt+−=()23121533+==.18.已知曲线2()ln1fxxxax=+−+.（1）当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）

对任意的x∈[1，+∞)，都有()0fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）y=2x-1；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）代入1a=，对函数()fx求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）分离参量后，构造新函数，对新函数求导计算出最值，即可得到a的取值范围.【详解】（1）函数

f(x)的定义域为{x|x>0}，当a=1时，2()ln1fxxxx=+−+，1()21fxxx=+−，(1)2,(1)1ff==，所求切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.（2）由题意对于)1,x+有2()ln10fxxxax=+−+

则可得2ln1xaxx++，x∈[1，+∞).设2ln1()xxgxx++=，x∈[1，+∞)，22ln()xxgxx−=，x∈[1，+∞)再设m(x)=x2-lnx，x∈[1，+∞)，2121()20xmxxxx−=−=，m(x)在[1，十∞)上为增函数，m(x)≥m（1）=1，即

g'(x)>0，g(x)在[1，+∞)上为增函数，g(x)≥g（1）=2，即a≤2.【点睛】思路点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后

解答，需要注意分类讨论.19.图1是由正方形,,ABCDRtABERtCDF组成的一个等腰梯形，其中2AB=，将ABE、CDF分别沿,ABCD折起使得E与F重合，如图2．（1）设平面ABE平面CDEl=，证明：//lCD；（2）若二面角A

BED−−的余弦值为55，求AE长．【答案】（1）证明见解析；（2）5．【解析】【分析】（1）由已知得//CD平面ABE，再由面面平行的性质可得答案；（2）以O为原点，与AB平行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，设EO

h=，求出平面ABE和平面BDE的法向量由数量积公式可得h，可得AE.【详解】（1）因为//CDAB，AB平面ABE，CD平面ABE，所以//CD平面ABE，又CD平面ECD，平面ABE平面ECDl=，所以//lCD.（2）因为//ABCD，CDDE⊥，所以ABDE⊥，又ABAE⊥，A

EDEE=，AE平面ADE，DE平面ADE，所以AB⊥平面ADE，因为AB平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面AED，过E作⊥EOAD于点O，则O是AD中点，因为平面ABCD平面AEDAD=，EO平面ADE，所以EO⊥平面ABCD，以O为原点，与AB平

行的直线为x轴，OD所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，设EOh=，则(0,1,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,),(2,0,0),(0,1,)ADBEhABAEh−−==，(0,1,),(2,2,0)EDhBD=−=−，设平面ABE的法向量为1

(,,)nxyz=uur，则1100ABnAEn==，即200xyhz=+=，取0,xyh==，则1z=−，所以平面ABE的一个法向量1(0,,1)nh=−，(0,1,),(2,2,

0)EDhBD=−=−，设平面BDE的法向量为2222(,,)nxyz=，则2200EDnBDn==，即22220220yhzxy−=−+=，取2xh=，则22,1yhz==，同理可求得平面BDE一个法向量为2(,,1)nhh=，所以21212221215cos,

5121nnhnnnnhh−===++，解得2h=或33，的的当33h=时，2121222122153cos,05121211133nnhnnnnhh−−====−++++，可判断二面角ABED−−的平面角为锐角且向量夹角与二面角相等，故舍去，所以2h=，此时

(0,1,2)AE=，5AE=,所以5AE=.【点睛】本题考查了线面平行的性质，二面角、模长的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象力和计算能力.20.随着科技进步，近来年，我国新能源

汽车产业迅速发展．以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：年份201620172018201920202021年份代码x123456新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352（1）根据表中

数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）（2）若用enxym=模型拟合y与x的关系，可得回归方程为0.331ˆ37.7e=xy，请分别利用（1）与（2）中两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值

；参考数据：设lnuy=，其中lniiuy=．yu61()()iiixxyy=−−61()()iiixxuu=−−3.63e5.94e6.27e1444.7884157037.71380528参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(),iixy（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，

n），其回归直线ˆˆˆybxa=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()ˆ())niiiniiixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−【答案】（1）4824ˆyx=−.（2）312万辆，380万辆【解析】【分析】（1）根据表中数据和参考数据，

得出x，y，()()61iiixxyy=−−，()21niixx=−的值，运用最小二乘法求回归直线方程即可；（2）根据回归方程，代入x的值即可求出预测值.【小问1详解】由表中数据得，1234563.56x+++++==，144y=，()()61841iiixxyy=−−=，()()()()

()()()22222221234561niixxxxxxxxxxxxxx=−=−+−+−+−+−+−()()()()()()22222213.523.533.543.553.563.5=−+−+−+−+−+−17.5=，()()

()121841ˆ4817.5niiiniixxyyxxb==−−=−=，ˆˆ144483.524abyx=−=−=−，y关于x的线性回归方程为：4824ˆyx=−；【小问2详解】由（1）知，y关于x的线性回归方程为：4824ˆyx=−，当7x=时，20

22年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：487ˆ24312y=−=（万辆）；对于回归方程0.3337.71exy=，当7x=时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：0.3373.632.315.9437.71eeee380y==

==（万辆）．21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的焦距为4，5(2,)5P是椭圆C上的点.（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，()11,Axy，()22,Bxy是椭圆C上不关于坐标轴对称的两点（即12xx且120xx+），若ODOAO

B=+，证明：直线AB的斜率与直线OD的斜率的乘积为定值.【答案】（1）2215xy+=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得224ba=−，再将点P的坐标代入方程求出2a作答.（2）设出直线AB的

方程，与椭圆方程联立，结合斜率坐标公式计算作答.【小问1详解】椭圆C的焦距为4，则椭圆C的方程为222214xyaa+=−，又点5(2,)5P在椭圆C上，即()2241154aa+=−，而24a，解得25a=，所以椭圆C的方程为2215xy+=.【小问2详解】因为椭圆C上的点

()11,Axy，()22,Bxy关于坐标轴不对称，则直线AB的斜率存在且不为0，即12xx且120xx+，设直线AB的方程为ykxm=+，由2255ykxmxy=++=消去y并整理得222(51)10550kxkmxm+++−=，22221

0020(51)(1)0kmkm=−+−，即22510km+−，1221051kmxxk−+=+，显然0km，1212,)(OOxxyyDAOB=++=+，即点()1212,Dxxyy++，1212()2yykxxm+=++，显然直线AB的斜

率为k，直线OD的斜率1212122ODyymkkxxxx+==+++，于是2212222110551ODkmkmkkkkkmxxk=+=+=−−++，所以直线AB的斜率与直线OD的斜率的乘积为定值15−.【点

睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数321()e1(0)32−=−−+xaxaxf

xxx有两个极值点()1212,xxxx．（1）求a的取值范围．（2）证明：122xx+．【答案】（1）(1,)+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得函数1()e(0)−=−xhxaxx在(0,)+上存在

两个零点，利用导数研究函数的性质，进而可得(ln1)ln0+=−haaa，即得；（2）由题可得12121lnlnxxxx−=−，进而可知即证221121112lnxxxxxx+−，通过换元，构造函数ln1(

)(1)21−=−+ttFttt，利用导数即得.【小问1详解】由321()e1(0)32−=−−+xaxaxfxxx，得()1()(1)e−+=−xfxxax．记1()e(0)−=−xhxaxx，由题意知，()hx在(0,)+上存在两个零点，则1()e−=−xh

xa，当0a时，()0,()hxhx在(0,)+上单调递增，不符合题意，故0a，令()0hx=，解得ln1xa=+，则()hx在(0,ln1)+a上单调递减，()hx在(ln1,)++a上单调递增，所以(ln1)ln0+=−ha

aa，则1a，所以a的取值范围为(1,)+．【小问2详解】由（1）可知121112e0e0xxaxax−−−=−=，则11221lnln,1lnln,xaxxax−=+−=+两式相减可得12121lnlnxxxx−=−．要证122xx+，即证1221212lnlnxxxxxx+

−−．即221121112lnxxxxxx+−．令21(1)xttx=，即ln1(1)21tttt−+，设ln1()(1)21−=−+ttFttt．则222111(1)()02(1)2(1)+−+−=−=++tttFttttt，所以()Ft在区间(

1,)+上单调递增，则()(1)0FtF=，即ln1(1)21tttt−+，故122xx+成立．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com