山西省太原市第五中学2021届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)教师用卷

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【文档说明】山西省太原市第五中学2021届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)教师用卷.pdf,共(19)页,1.261 MB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

第1页,共19页太原五中高三数学(文)模拟试题阴瑞玲2021.05.30一、单选题(本大题共12小题,共60.0分)1.复数z满足�(1−�)=�(�为虚数单位),则z的虚部为()A.−12B.12C.12�D.−12�【答案】B【解析】【分析】求出

复数即可知其虚部。【解答】解:�(1−�)=�⇒�=�1−�=�(1+�)2=−12+12�.故虚部为12.故选B.2.设集合�=�,�={�|0<�<2},�={�|�<1},则图中阴影部分表示的集合为()A.{�|�≥1}B.{�|1≤�<

2}C.{�|0<�≤1}D.{�|�≤1}【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是韦恩图表示集合之间的运算关系的应用,由韦恩图知阴影部分为集合A与集合B的补集的交集,先求集合B的补集,再与A求交集即可.【解答】解:�=�,

�={�|�<1},则∁��={�|�≥1},阴影部分表示的集合为�⋂(∁��)={�|1≤�<2}.3.相传在17世纪末期,莱布尼兹在太极八卦图的启示下,发明了二进制的记数方法.他发现,如果把太极八卦图中“连续的长划”(阳爻:)看作是1,把“间断的短划”(阴爻:)看作是0,那么,用八卦就可以表示

出从0到7这八个整数.后来,他又作了进一步的研究,最终发明了二进制的记数方法.如图给出了部分八卦符号与二进制数的对应关系:第2页,共19页请根据上表判断,兑卦对应的八卦符号为()A.B.C.D.【答案

】C【解析】解:由题意兑卦对应的二进制数为011,因为“连续的长划”(阳爻:)看作是1,把“间断的短划”(阴爻:)看作是0,所以兑卦对应的八卦符号为.故选:C.由题意兑卦对应的二进制数为011,根据“连续的长划”(阳爻:)看作是1,“间断的短划”(阴

爻:)看作是0,即可得解.本题主要考查了新定义的应用,考查了对应思想,属于基础题.4.已知两定点�1(−1,0)、�2(1,0)和一动点P,若|�1�2|是|��1|与|��2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为()A.�216+�29=1B.

�24+�23=1C.�216−�29=1D.�24+�23=1【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了应用椭圆的定义以及等差中项的概念求椭圆方程,关键是求a,b的值,本题属于基础题.根据|�1�2|

是|��1|与|��2|的等差中项,得到2|�1�2|=|��1|+|��2|,即|��1|+|��2|=4,得到点P在以�1,�2为焦点的椭圆上,已知a,c的值,做出b的值,写出椭圆的方程.【解答】解:∵�1(−1,0)、�2(1,0),∴|�1�2|=2,∵

|�1�2|是|��1|与|��2|的等差中项,第3页,共19页∴2|�1�2|=|��1|+|��2|,即|��1|+|��2|=4,∴点P在以�1,�2为焦点的椭圆上,∵2�=4,�=2,�=1,∴�2=3,∴椭圆的方程是�24+�23=1.故选:B.

5.如图所示,△���中,�������=2�������,点E是线段AD的中点,则������=()A.34�������+12�������B.34�������+�������C.54�������+12�������D.54�������+�������【答案】C【解析】【分析】本题考查平

面向量基本定理的简单应用.利用三角形法则可解决此问题.【解答】解:根据题意得,������=�������+�������=�������+12�������,又∵�������=�������+�������,∴�

�����=�������+12�������=�������+12(�������+�������)=�������+12(�������+12�������)=54�������+12�������.故选C.6.已知等差

数列{��}的前n项和为��,�5=5,�8=36,则数列{1����+1}的前n项和为()A.1�+1B.��+1C.�−1�D.�−1�+1第4页,共19页【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的求法,

考查等差数列的性质、裂项求和法等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.利用等差数列通项公式和前n项和公式,列出方程组,求出�1=1,�=1,从而��=�,进而1����+1=1�(�+1)=1�−1�+1,由此利用裂项求和法能求出数列{1����+1}的前n项和.【解

答】解:∵等差数列{��}的前n项和为��,�5=5,�8=36,∴�1+4�=58�1+8×72�=36,解得�1=1,�=1,∴��=1+(�−1)×1=�,∴1����+1=1�(�+1)=1�−1�+1,∴数列{1����+1}的前n项和为:�

�=1−12+12−13+…+1�−1�+1=1−1�+1=��+1.故选:B.7.已知函数�(�)的定义域为D,其导函数为�′(�),函数�=����⋅�′(�)(�∈�)的图象如图所示,则�(�)()A.有极小值�(2),

极大值�(�)B.有极大值�(2),极小值�(0)C.有极大值�(2),无极小值D.有极小值�(2),无极大值【答案】D【解析】解:当�∈(0,�)时,����>0,当�∈(−�,0)∪(�,2�)时,����<0,由图象可得

当�∈(−�,2)时,�′(�)≤0,当�∈(2,2�)时,�′(�)≥0,第5页,共19页故函数�(�)在(−�,2)上单调递减,在(2,2�)上单调递增,所以�(�)在定义域D上,先减后增,有极小值�(2),无极大值.故选:D.由图象可知导函数的符号,从而可判断函

数的单调性,得函数的极值即可.本题主要考查导函数图象与原函数单调性之间的关系,考查函数在某点取得极值的条件,考查学生识图用图的能力,属于基础题.8.如图是某几何体的三视图,其侧视图为等边三角形,则该几何体(含表面)内任意两点间的最大距离为()A.22B.10C.23D.

13【答案】C【解析】解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组成的组合体;如图所示:所以:最大距离为��=(1+2)2+(3)2=23.故选:C.首先把三视图转换为几何体的直观图,进一步利

用勾股定理的应用求出结果.本题考查的知识要点:三视图和几何体的直观图之间的转换,勾股定理的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.第6页,共19页9.A、B两个物理兴趣小组在实验室研究某粒子运动轨迹.共同记录到粒子的13个位置的

坐标信息如表:x−0.93−0.82−0.77−0.61−0.55−0.33−0.270.100.420.580.640.670.76y−0.26−0.41−0.45−0.45−0.60−0.67−0.68−0.710.640.550.55

0.530.46A小组根据表中数据,直接对y,x作线性回归分析,得到:回归方程为��=0.5993�+0.005,相关指数�2=0.4472;B小组先将数据依变换�=�2,�=�2进行整理,再对v,u作线性回归分析,得到:回归方程为��=−0.5006�+0.4922,相关指数�2=0.9375.

根据统计学知识,下列方程中,最有可能是该粒子运动轨迹方程的是()A.0.5993�−�+0.005=0B.0.5006�+�−0.4922=0C.0.5006�20.4922+�20.4922=1D.�20.4922+0.5006�20.4922=1【答案】C【解析】解:由统计学

知识可知,�2越大,拟合效果越好,又A小组的相关指数�2=0.4472,B小组的相关指数�2=0.9375,∴�组的拟合效果好,则回归方程为��=−0.5006�+0.4922,又�=�2,�=�2,∴�2=−0.5006�2+0.4922,即0.5006�20.49

22+�20.4922=1.故选:C.由统计学知识可知,�2越大,拟合效果越好,由此可得回归方程,整理得结论.本题考查回归方程的求法与相关指数的应用,考查统计学中的基础知识,是中档题.10.若实数x,y满足约束条件2�−3�+6≥0�≥2|�−1|,则�=3�+

�的最小值为()A.13B.3C.2D.1【答案】C【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图所示,∵�=3�+�,∴�=−3�+�,平移直线�=−3�+�,由图可知,当直线�=−3�+�经过点A时,在y轴上的截距最小,联立2�−3�+6=0�=2(1−�),解得�=0,�=2

,∴�(0,2),第7页,共19页此时����=3×0+2=2.故选:C.作出不等式组对应的平面区域,由�=3�+�,知�=−3�+�,再利用数形结合,即可得解.本题考查线性规划的应用,理解z的几何意义是解题的关键,考查学生的数形结合思想和

运算求解能力,属于基础题.11.已知双曲线E:�2�2−�2�2=1(�>0,�>0)的左、右焦点分别为�1,�2,过�2作以�1为圆心、|��1|为半径的圆的切线切点为�.延长�2�交E的左支于P点,若M为线段��2的中点

,且|��|+|��|=2�,则E的离心率为()A.2B.2C.3D.5【答案】C【解析】解:由题意,得|��|=12|��1|,|��2|=12|��2|,|��2|=|�1�2|2−|�1�|2=(2�)2−�2=3�,|��|=|��2|−|��2|=3�−12|��2|,|��|+|

��|=12|��1|+(3�−12|��2|)=3�+12(|��1|−|��2|)=3�−�=2�,第8页,共19页解得�=3.故选:C.由已知把|��|,|��|用|��1|,|��2|表示,再由勾股定理求得|��2|,然后结合|��|+|��|=2�列式求解双曲线的离心率.本题考查

双曲线的几何性质,考查数形结合思想,考查运算求解能力,是中档题.12.定义在R上的奇函数�(�),当�≥0时,�(�)=log12(�+1),�∈[0,1)1−|�−3|,�∈[1,+∞),则关于x的函数�(�)=�(�)−�(0<�<1)的所有零点之和为.A.2�−1B.2−�−1C.

1−2−�D.1−2�【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性、零点问题;利用数形结合解答即可.函数�(�)=�(�)−�(0<�<1)的零点转化为:在同一坐标系内�=�(�),�=�的图象交点的横坐标.作出两函数图象,

考查交点个数,结合方程思想,及零点的对称性,为计算提供简便.【解答】解:∵�≥0时,�(�)=log12(�+1),�∈[0,1)1−|�−3|,�∈[1,+∞),即�∈[0,1)时,�∈[1,3]时,�(�)=�−2∈[−1,1];�∈(3,+∞)时,�(�)=4−�∈(

−∞,−1);画出�≥0时�=�(�)的图象,再利用奇函数的对称性,画出�<0时�=�(�)的图像,如图所示:直线�=�与�=�(�)共有5个交点,则方程�(�)−�=0共有五个实根,最左边两根之和为−6,最右边两根之和为6,∵�∈(−1,0)时

,−�∈(0,1),第9页,共19页,又�(−�)=−�(�),,∴中间的一个根满足,即1−�=2�,得�=1−2�,∴所有根的和为1−2�.故选D.二、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的体积为_____【答案】3�

3【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图,圆锥的结构特征,圆锥的体积计算,属于基础题.依据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长,求出圆锥的高,得出体积.【解答】解:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,则�=22�=2��,解得�=1,�=2.∴圆锥的高ℎ=�2−�2=3.∴

圆锥的体积�=13��2ℎ=3�3.故答案为3�3.14.在区间[0,�]上随机取一个数x,则事件发生的概率为_____________【答案】712【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率求法,关键是明确几何测度为

区间的长度.由题意,首先求出事件对应的区间长度,利用长度比求概率.【解答】第10页,共19页解:sin�+cos�=2sin(�+�4),由�∈[0,�],得�+�4∈[�4,5�4],∴当�+�4∈

[�4,5�6],即�∈[0,7�12]时,有sin�+cos�≥22,∴在区间[0,�]上随机取一个数x,则事件”发生的概率为712��=712.故答案为712.15.已知数列{��}的前n项和为��,且满足�1=1,����+1=2�,则�2021=_____

_.【答案】21012−3【解析】解:因为�1=1,����+1=2�,所以�2=2,当�≥2时,��−1��=2�−1,∴��+1��−1=2�2�−1=2,所以数列{��}的奇数项和偶数项分别是等比数列,所以�2021=1−210111−2+2(

1−21010)1−2=21012−3.故答案为:21012−3.利用数列的递推关系式推出数列{��}的奇数项和偶数项分别是等比数列,然后求解数列的和即可.本题考查数列的递推关系式的应用,数列求和的方法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.

16.抛物线C:�2=2��(�>0)的焦点为F,其准线与x轴的交点为A,如果在直线�+�+4=0上存在点M,使得∠���=90°,则实数p的取值范围是______.【答案】[42,+∞)【解析】解:由题意可得�(�2,0),�(−�2,0),∵�在直线�+�+4=0

上,设点�(�,−�−4),∴�������=(�+�2,−�−4),�������=(�−�2,−�−4),又∠���=90°,∴�������⋅�������=(�+�2)(�−�2)+(−�−4)2=0,第11页,共19页即2�2+8�+16−�24=0,∴△=82−4

×2×(16−�24)=2�2−64≥0,解得�≤−42或�≥42,又�>0,∴�的取值范围是[42,+∞).故答案为:[42,+∞).根据向量的数量积以及判别式即可求出p的范围.本题考查了直线和抛物线的位置关系,考查了运算求解能力,转

化与化归能力,属于中档题.三、解答题(本大题共7小题,共80.0分)17.某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查,并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).(1)根据茎叶图,帮助

这位同学说明这30位亲属的饮食习惯.(2)根据以上数据完成如下2×2列联表.主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下50岁及以上总计(3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关?附表:第12页,共19页�(�2≥�)0.150.100.050.0250

.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式:�2=�(��−��)2(�+�)(�+�)(�+�)(�+�),其中�=�+�+�+�)【答案】解:

(1)由茎叶图,可知30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主,50岁以下的人饮食以肉类为主................3分(2)2×2列联表如下所示:主食为蔬菜主食为肉类总计50岁以下481250岁及以上16218总计201030...............7分(3)

由题意,知随机变量�2的观测值�=30×(4×2−16×8)212×18×20×10=10>6.635,故有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关...............12分【解析】本题考查独立性检验和茎叶图,

属于基础题.(1)由茎叶图,可知30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主,50岁以下的人饮食以肉类为主;(2)根据茎叶图填写2×2列联表即可;(3)由题意知随机变量�2的观测值�=30×(4×2−16×8)212×18×20×10=10>6.635,即可判断.18.如图,在直角梯形ABCD

中,��//��,∠���=�2,��=��=12��=�,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△���沿BE折起到如图2中△�1��的位置,得到四棱锥�1−����.第13页,共19页(Ⅰ)证明:��⊥平面�1��;(Ⅱ)当

平面�1��⊥平面BCDE时,四棱锥�1−����的体积为362,求a的值.【答案】解:(Ⅰ)在图1中,因为��=��=12��=�,E是AD的中点,∠���=�2,所以��⊥��,.............1分即在图2中,��⊥�1�,��⊥��

,�1�、OC为平面�1��内两条相交直线,从而��⊥平面�1��,.............3分又��=//��,所以EDCB是平行四边形,所以��//��,所以��⊥平面�1��,............5分(Ⅱ)因为平面�1��⊥平面BCDE,平面�1��∩平面���

�=��,�1�⊥��,所以�1�⊥平面BCDE,即�1�是四棱锥�1−����的高,............7分根据图1得出��=�1�=22��=22�,∴平行四边形BCDE的面积�=��⋅��=�2

,�=13×�×�1�=13×�2×22�=26�3,由26�3=362,得出�=6.............12分【解析】本题考查了平面立体转化的问题,运用好折叠之前,之后的图形对应关系是解题关键,考查了空间线面垂直的判定,棱锥

体积的应用,属中档题.(Ⅰ)运用E是AD的中点,判断得出��⊥��,��⊥平面�1��,考虑��//��,即可判断��⊥平面�1��.(Ⅱ)�1�是四棱锥�1−����的高,平行四边形BCDE的面积�=��

⋅��=�2,运用体第14页,共19页积公式求解即可得出a的值.19.如图,为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”,现准备在河岸一侧建造一个观景台P,已知射线AB,AC为两边夹角为120∘的公路(长度均超过3千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客上下点M,N,从观景台P到M,N

建造两条观光线路PM,PN,测得��=3千米,��=3千米.(1)求线段MN的长度;.(2)若∠���=60∘,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【答案】解:(1)在△���中,由余弦定理得,��2=��2+��2−2��⋅��cos120∘=3+

3−2×3×3×−12=9,��=3,所以线段MN的长度为3千米............4分(2)设∠���=�,因为∠���=60∘,所以∠���=120∘−�,在△���中,由正弦定理得,��sin∠���=��sin120∘−�=��

sin�=3sin60∘=23.所以��=23sin120∘−�,��=23sin�,...........7分因此��+��=23sin120∘−�+23sin�=2332cos�+12sin�+23sin�

=33sin�+3cos�=6sin�+30∘,因为0∘<�<120∘,所以30∘<�+30∘<150∘.所以当�+30∘=90∘,即�=60∘时,��+��取到最大值6.答:两条观光线路PM与PN之和的最大值为

6千米............12分【解析】本题考查正、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,尤其是辅助角公式要熟练应用,属于中档题.(1)根据��=3,��=3,,用余弦定理即可求出MN;第15页,共19页(2)设∠���=�,∠���

=120∘−�,用正弦定理求出��=23sin120∘−�,��=23sin�,则��+��=6sin�+30∘,由�的取值范围,即可求解.20.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x−1)2+y2=9

,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.【答案】解:由已知得圆M的圆心为M(−1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P

(x,y),半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2−R)=r1+r2=4,由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为�24+�23=1(x≠−2);........

...5分(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|−|PN|=2R−2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x−2)2+y2=4............6分若l的倾斜角为90°,则l与y

轴重合,可得|AB|=23,...........7分若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则����=��1,可求得Q(−4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得3�1+

�2=1,解得k=±24,当k=24时,将�=24�+2代入�24+�23=1,并整理得7x2+8x−8=0,解得x1,2=−4±627,所以|此时|��|=1+�2�1−�2=187,当k=−24时,由图形的对称性可知|AB|=187.综上,|AB|=23或|AB|=1

87............12分【解析】本题考查椭圆的定义、弦长公式、直线的方程,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力,属于中档题.(1)根据椭圆的定义求出方程;(2)先确定当圆P的半径最长时,其方程为(x−2)2+y2=4,再对直线l进行分类讨论

第16页,共19页求弦长|��|即可.21.已知函数�(�)=�2�−(�+2)��+��(�>0),其中�≈2.71828是自然对数的底数.(1)求函数�(�)的单调区间;(2)设�(�)=�(�)+(

�+2)��−��(1+�)在(0,+∞)上存在极大值M,证明:�<�4.【答案】解:(1)由题意,函数�(�)=)=�2�−(�+2)��+��(�>0),则�′(�)=2�2�−(�+2)��+�=(2��−�)(��−1),..........

.2分当�=2时,令�′(�)=2(��−1)2≥0,�(�)单调递增,..........3分当�>2时,令�′(�)>0,解得:�>ln�2或�<0,令�′(�)<0,解得:0<�<ln�2,故�(�)在(−∞,0)递增,在(0,ln�2)递减,在(

ln�2,+∞)递增,..........4分当0<�<2时,令�′(�)>0,解得:�>0或�<ln�2,令�′(�)<0,解得:ln�2<�<0,故�(�)在(−∞,ln�2)递增,在(ln�2,0)递减,在(0,+∞)递增,.

.........5分综上:当�>2时,�(�)在(−∞,0)递增,在(0,ln�2)递减,在(ln�2,+∞)递增,当�=2时,�(�)在R上单调递增,0<�<2时,�(�)在(−∞,ln�2)递增,在(ln�2,0)递减,在

(0,+∞)递增;........6分(2)证明:由函数�(�)=�2�−��2,则�′(�)=2(�2�−��),令�(�)=�2�−��,可得�′(�)=2�2�−�,令�′(�)=0,解得:�=12

ln�2,..7分当0<�≤2时,�′(�)>0,�(�)在(0,+∞)递增,此时�(�)>�(0)=0,故�′(�)>0,函数�(�)在(0,+∞)上单调递增,此时不存在极大值,..8分当�>2时,令�′(�)>0,解得:�>12

ln�2,令�′(�)<0,解得:�<12ln�2,故�′(�)在(0,12ln�2)上单调递减,在(12ln�2,+∞)上单调递增,∵�(�)在(0,+∞)上存在极大值,故�′(12ln�2)=�−����2<0,解得:�>2�,∵�′(0)=2>0,�′

(12)=2�−�<0,�′(���)=2�(�−���)>0,12<12ln�2<���,易证�−���>0,存在�1∈(0,12),�′(�1)=2�2�1−2��1=0,存在�2∈(12ln�2,���),使得�′(�2)=0,故�(�)在(0,�1)上单调递增,在(�1,�

2)上单调递减,..10分故当�=�1时,函数�(�)取得极大值M,即�=�2�1−��12,0<�1<12,第17页,共19页由2�2�1−2��1=0,�2�1=��1,故�=�2�1−��12=−�(

�1−12)2+�4<�4...12分【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的极大值M,证明结论成立即可.本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,考查

转化思想,分类讨论思想,是难题.22.平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为�=cos��=���2�+1(�为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2����(�−�4)=2.(Ⅰ)写出曲线C

的普通方程和直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与曲线C交于P,Q两点,点�(0,2),求1|��|+1|��|的值.【答案】解:(Ⅰ)曲线C的参数方程为�=cos��=���2�+1,消去参数�得曲线C的普通方程�=2�2...2分∵2����(�−�4)=2,∴�����+�����−2=0.

又�����=�,�����=�∴直线l的直角坐标方程为�+�−2=0...5分(Ⅱ)法一:设直线l的参数方程为�=−22��=2+22�(�为参数,将其代入曲线C的直角坐标方程化简得�2−22�−2=0,..7分∴�1+�2=22£¬�1�2=−2...8分∴1|

��|+1|��|=|��|+|��||��|⋅|��|=|�1−�2||�1⋅�2|=(�1+�2)2−4�1�2|�1⋅�2|=12+82=344...10分法二:由�=2�2�+�−2=0,化简得2�2+�−2=0,则��=−1+174,��=−1−174...7分从而|��|=2⋅

−1+174,|��|=2⋅1+174..8分第18页,共19页∴1|��|+1|��|=42(117−1+117+1)=42⋅21716=344...10分【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系,在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;(Ⅱ)(法一)利用一元二次方程根和系数关系

式的应用求出结果.(法二)利用方程组的解法和两点间的距离公式的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,极径的应用,主要考查学生的运算能力和数学

思维能力,属于基础题.23.已知函数�(�)=|�+1|+2|�−1|.(Ⅰ)解不等式�(�)≤2�+2;(Ⅱ)设函数�(�)的最小值为t,若�>0,�>0,且�+�=�,证明:�2�+1+�2�+1≥1.【答案】(Ⅰ)解:不等式等价于�≤−1−3�+1≤2�+2或

−1<�<1−�+3≤2�+2或�≥13�−1≤2�+2,解得�∈⌀或13≤�<1或1≤�≤3.…………………(4分)所以不等式�(�)≤2�+2的解集为{�|13≤�≤3}.…………………(5分)(Ⅱ)证明:法一:由�(�)=−3�+2,�≤−1−�+3,−1<�<13�−1,�≥1知

,当�=1时,�(�)���=�(1)=2,即�+�=2.………………………(7分)法二:�(�)=|�+1|+2|�−1|=(|�+1|+|�−1|)+|�−1|≥|�+1−�+1|+|1−1|=2,当

且仅当�=1时,取得等号,则�(�)的最小值为2,即�+�=2.………………………(7分)法一:�2�+1+�2�+1=�2(�+1)+�2(�+1)(�+1)(�+1)=��(�+�)+�2+�2��+(�+�)+1=(�+�

)2��+3=4��+3≥4(�+�2)2+3=1当且仅当�=�=1,不等式取得等号,所以�2�+1+�2�+1≥1.………………………(10分)法二:所以�2�+1+�2�+1=[(�+1)−1]2�+1+[(�+1)−1]2�+1=�+1−2+1�+1+�+

1−2+1�+1=第19页,共19页14[(�+1)+(�+1)](1�+1+1�+1)=14(2+�+1�+1+�+1�+1)≥14(2+2)=1,当且仅当�=�=1,不等式取得等号,所以�2�+1+�2�+1≥1.………………………(10分)法三:由柯西不等式

可得:�2�+1+�2�+1=�+1+�+14(�2�+1+�2�+1)≥14(�+�)2=1.当且仅当�=�=1,不等式取得等号,所以�2�+1+�2�+1≥1.………………………(10分)【解析】(Ⅰ)去掉绝对值符号,转化求解不等式

的解集即可.(Ⅱ)证明�+�=2,法一:化简函数的解析式,求解�(�)���=2,推出�+�=2.法二:利用绝对值的几何意义,推出�+�=2.证明法一:通过通分,化简所求表达式,利用重要不等式证明即可.法二:化简�2�+1+�2�+1,利用配凑法推出�+1−2+1�+1+�

+1−2+1�+1转化利用基本不等式证明即可.法三:由柯西不等式转化证明即可.本题考查绝对值不等式的解法,不等式的证明,考查转化思想以及计算能力,是中档题.

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