【文档说明】山西省太原市第五中学2021届高三下学期第二次模拟考试 数学（理）答案.docx，共(9)页，268.326 KB，由小赞的店铺上传

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1.B2.D3.B4.D5.A【解析】()11113sincos2cos2cos333434fxxxxx=+=−=−，故选A.6.A7.D8.C9.B10.A【解析】因为正四棱锥𝑃

−𝐴𝐵𝐶𝐷，所以底面是正方形，结合高为2，𝐴𝐵=2√2，设底面对角线交点为M，所以𝐴𝐶=4，𝐴𝑀=2，故𝑃𝑀=𝐴𝑀=𝐶𝑀=2，所以△𝑃𝐴𝐶是等腰直角三角形．因为截面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1过PM的中点N，所以N为

截面正方形𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的中心，且𝑃𝑀⊥截面𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1．∴𝑃𝑁=𝑀𝑁=𝐴1𝑁=1，设球心为O，球的半径为R，则𝐴1𝑂=𝐴𝑂=𝑅．在直角三角形𝐴1𝑂𝑁中，𝑂𝑁=√𝐴1𝑂2−𝐴1𝑁2=√𝑅2−1，∴𝑂𝑀=1−𝑂

𝑁=1−√𝑅2−1．在直角三角形APM中，𝑂𝐴2=𝐴𝑀2+𝑂𝑀2，即𝑅2=4+(1−√𝑅2−1)2，解得𝑅2=5，故𝑆=4𝜋𝑅2=20𝜋．故选：A．11.D12.D【解析】有两种情况：（1）若A，B在y轴同侧，不妨设A在第一象限.

如图，设△OAB内切圆的圆心为M，则M在AOB的平分线Ox上，过点M分别作MNOA⊥于N，MTAB⊥于T，由FAOA⊥得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b得||FAb=，又||OFc=，所以||OAa=，又||||312NAMNa−

==，所以3|3|2NOa=−，所以||3tan3||bMNAOFaNO===，从而可得221(3)3bea=+=.（2）若A，B在y轴异侧，不妨设A在第一象限.如图，易知||FAb=，||OFc=，||OAa=，所以OAB△的内切圆半径为||||||

3122ABOAOBa+−−=，所以||||23OBABaa−=−，又因为222||||OBABa=+，所以||3,||2ABaOBa==，所以oo60,60BOAAOF==，则otan603ba==，从而可得21()2bea=+=.综上，双

曲线C的离心率为2323或.故选D.13.28yx=14.5,15.15870【解析】∵考试的成绩𝜉服从正态分布𝑁(98,100).∵𝜇=98，𝜎=10，∴𝑃(𝜉≥108)≈0.1587，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴100000×15.87%≈1

587016.2−2𝑙𝑛2【解析】解：作出𝑓(𝑥)的图象如图所示，因为𝑓(𝑥1)=𝑓(𝑥2)，所以2𝑥1=𝑙𝑛𝑥2，即𝑥1=12𝑙𝑛𝑥2，所以𝑥2−4𝑥1=𝑥2−2𝑙𝑛𝑥2，由图可

知1<𝑥2≤𝑒2，令𝑔(𝑡)=𝑡−2𝑙𝑛𝑡(1<𝑡≤𝑒2)，则𝑔′(𝑡)=1−2𝑡=𝑡−2𝑡，则函数𝑔(𝑡)在(1,2]上单调递减，在[2,𝑒2]上单调递增，所以𝑔(𝑡)𝑚𝑖𝑛=𝑔(2)=2−2𝑙𝑛2，故答案为：

2−2𝑙𝑛2．注意多变量化为单变量17．已知等差数列na的前n项和为nS，且11a=，39S=.数列nb满足121221nnnaaabbb+++=+.（1）求na和nb的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nT，求证163nT.【解

答】(1)设公差为d，由题可知：11111,213392naaanadd===−+==…………………………（2分）当1n=时，113ab=，113b=………………………………（3分）当2n时，1121(21)2nnnnnab−−=+−+=，1212nnnb

−−=……………………（5分）11,1321,22nnnbnn−==−………………………………（6分）（2）123nnTbbbb=++++21135213222nn−−=++++1126nT=213

2321222nnnn−−−++++………………………………（7分）2181212322nnnnT−−=−−………………………………（10分）1162316323nnnT−+=−………………………………（12分）18．叙述并证明两个平面垂直的性

质定理；并由此证明：三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.(1)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.………………………………（1分）已知,,,CDAB⊥=ABCD⊥于点B，求证：AB⊥.………………………………（2

分）na证明：在内引直线BECD⊥，则ABE是二面角CD−−的平面角。………………………………（4分）由⊥可知：ABBE⊥又,,,ABCDBECDBECDB⊥=AB⊥………………………………（6分）(2)已知,,,,,,abc

⊥⊥⊥===，求证,,abacbc⊥⊥⊥.………………………………（7分）证明：在内任取一点(,)PPbPc，过P在内作PAc⊥于A，PBb⊥于B由上述定理可知：,,PAPBPAaPBaaa⊥⊥⊥⊥,

,PAPBPAPBP=a⊥………………（10分）,acab⊥⊥………………（11分）同理可得bc⊥.………………（12分）19．团结协作、顽强拼搏的女排精神代代相传，极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在实现中华民族伟大复兴的新征程上奋勇前进提供了强

大的精神力量．最近，某研究性学习小组就是否观过电影《夺冠（中国女排）》对影迷们随机进行了一次抽样调查，调数据如表（单位：人）．是否合计青年401050中年302050合计7030100（1）是否有95%的把握认为看此电影与年龄有关？（2）现从样本中年人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随

机抽取3人，求其中至少有2人观看过电影《夺冠（中国女排）》的概率：（3）将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人记其中观过电影《夺冠（中国女排）》的人数为ξ，求随机变量ξ的数学期望及方差．【解答】解：（1）()221008003004.7623.84170305050

K−==…………………（2分）所以有95%的把握认为看此电影与年龄有关.………………………（3分）（2）依题意，从样本的中年人中按分层抽样方法取出的5人中，观看过电影的有5×3050=3（人），没观看过的有2人，…………………………（4分）记抽取的3人

中有i人观看过电影为事件Ai（i＝1，2，3）．则𝑃(𝐴2)=𝐶32⋅𝐶21𝐶53=3×210=35，𝑃(𝐴3)=𝐶33𝐶53=110，…………………………（6分）从这5人中随机抽取3人，其中至少有2人看过该电影

的概率为：𝑃=𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐴3)=35+110=710．………………………………（8分）（3）由题意知，观看过该电影的频率为710，将频率视为概率，…………………（9分）则随机变量ξ服从二项分布𝐵(10，710)，所以随机变量ξ的数学期望为𝐸(𝜉)=10×

710=7，………………………………（11分）方差为𝐷(𝜉)=10×710×(1−710)=2.1．………………………………（12分）20．已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的离心率为√63，其长轴的两个端点分别为A（﹣3，0），B（3，0）．（Ⅰ）求椭圆

C的标准方程；（Ⅱ）点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积

之比是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，a＝3，又e=𝑐𝑎=√63，∴c=√6，…………………（2分）则b=√𝑎2−𝑐2=√3．…………………………（3分）∴椭圆C的方程为𝑥29+𝑦23=1………………………………（

4分）（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），则𝑥029+𝑦023=1．∴直线AP的方程为𝑦=𝑦0𝑥0+3(𝑥+3)，取x＝4，可得点E（4，7𝑦0𝑥0+3），………………………………（5分）∵直线BE的斜率为7𝑦0𝑥0+34−3=7𝑦

0𝑥0+3，∴直线l的方程为𝑦=−𝑥0+37𝑦0𝑥，………………………………（6分）又直线PB的方程为𝑦=𝑦0𝑥0−3(𝑥−3)，联立直线l与PB的方程，消去y得−𝑥0+37𝑦0=𝑦0𝑥0−3(𝑥−3)，∴7�

�02+𝑥02−97𝑦0(𝑥0−3)⋅𝑥=3𝑦0𝑥0−3，①……………………………（8分）∵𝑥029+𝑦023=1，∴𝑥02−9=−3𝑦02，………………………………（9分）代入①解得点N的横坐标𝑥𝑁=214，即N点轨迹方程为：x=214……………（10分）

∴𝑆△𝐵𝑀𝑂𝑆△𝑁𝑀𝑂=12|𝑂𝑀|⋅|𝑥𝐵|12|𝑂𝑀|⋅|𝑥𝑁|=|𝑥𝐵||𝑥𝑁|=3214=47．故△BMO与△NMO的面积之比为4：7．………………………………（12分）21．已知函数f（x）＝x﹣aex+𝑎24（a∈R）．（1）讨论函数

f（x）的单调性；（2）设g（x）＝f（x）+12𝑒2x+（a﹣1）x，若g（x）有两个不同的极值点x1，x2，且g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2）恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解（1）因为数f（x）＝x﹣aex+𝑎24（a

∈R），所以f′（x）＝1﹣aex．…（1分）当a≤0时，因为ex＞0，所以f′（x）＞0，此时函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…………（2分）当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝ln1𝑎．当x＜𝑙𝑛1𝑎时，f′（x）＞0，当x＞𝑙𝑛1𝑎时，f′

（x）＜0．…………………………（4分）此时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，𝑙𝑛1𝑎），f（x）的单调递减区间为（ln1𝑎，+∞）．综上所述：当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，𝑙𝑛1𝑎），

f（x）的单调递减区间为（ln1𝑎，+∞）．………………………………（5分）（2）因为g（x）＝f（x）+12𝑒2x+（a﹣1）x=12𝑒2𝑥−𝑎𝑒𝑥+𝑎𝑥+𝑎24，所以g′（x）＝e2x﹣aex+a．………………………………（6分）依题意，{𝑎＞0𝑎2−4𝑎＞0

，解得a＞4．………………………………（7分）因为x1和x2是g（x）的极值点，所以𝑒𝑥1+𝑒𝑥2=𝑒𝑥1⋅𝑒𝑥2=𝑎，则x1+x2＝lna．………………………………（8分）所以g（

x1）+g（x2）＝（12𝑒2𝑥1−𝑎𝑒𝑥1+𝑎𝑥1+𝑎24）+（12𝑒2𝑥2−𝑎𝑒𝑥2+𝑎𝑥2+𝑎24），=12(𝑎2−2𝑎)−𝑎2+𝑎𝑙𝑛𝑎+𝑎22，＝alna﹣

a．所以，由g（x1）+g（x2）＞λ（x1+x2），可得alna﹣a＞λlna①，因为a＞4，lna＞0，所以①等价于𝜆＜𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑎．………………………………（10分）令φ（x）＝x−𝑥�

�𝑛𝑥，则φ′（x）=(𝑙𝑛𝑥)2−𝑙𝑛𝑥+1(𝑙𝑛𝑥)2，（x∈（4，+∞）），由于(𝑙𝑛𝑥)2−𝑙𝑛𝑥+1=(𝑙𝑛𝑥−12)2+34＞0，………………………………（11分）所以φ′（x）＞0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，且φ（4）＝4−2𝑙

𝑛2．所以，φ（a）=𝑎−𝑎𝑙𝑛𝑎∈(4−2𝑙𝑛2，+∞)．所以λ的取值范围是2,4ln2−−．………………………………（12分）22．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{𝑥=−√22𝑡𝑦=1+√22𝑡（t为参数），以O为极点，x轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是：𝜌2=123𝑐𝑜𝑠2𝜃+4𝑠𝑖𝑛2𝜃．（Ⅰ）求C的直角坐标方程和l的普通方程；（Ⅱ）设P（0，1），l与C交于A、B两点，M为AB的中点，求|PM|．【解答】解：（Ⅰ）直线l的

参数方程为{𝑥=−√22𝑡𝑦=1+√22𝑡（t为参数），转换为直线的普通方程为x+y﹣1＝0．………………………………（2分）曲线C的极坐标方程是：𝜌2=123𝑐𝑜𝑠2𝜃+4𝑠𝑖𝑛2𝜃，根据{𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝜌𝑠�

�𝑛𝜃𝑥2+𝑦2=𝜌2，转换为直角坐标方程为𝑥24+𝑦23=1．………………………………（5分）（Ⅱ）P（0，1）在直线l上，把直线的参数方程为{𝑥=−√22𝑡𝑦=1+√22𝑡（t为参数）代入𝑥2

4+𝑦23=1，得到7𝑡2+8√2𝑡−16=0，………………………………（8分）所以|𝑃𝑀|=|𝑡1+𝑡22|=4√27．………………………………（10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|（a∈R）．（1

）当a＝4时，解不等式f（x）＜8；（2）记关于x的不等式f（x）≤2|x﹣3|的解集为M，若[﹣4，﹣1]⊆M，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝4时，f（x）＝|x﹣4|+2|x+1|，不等式可转化为𝑓(𝑥

)={2−3𝑥，𝑥＜−16+𝑥，−1≤𝑥≤43𝑥−2，𝑥＞4，………………………………（2分）若f（x）＜8，1238xx−−或1468xx−+或4328xx−………………………………（3分）解得：﹣2＜x＜﹣1或﹣1≤x＜

2或x∈∅，………………………………（4分）综上，不等式的解集是（﹣2，2）．………………………………（5分）（2）若[﹣4，﹣1]⊆M，f（x）≤2|x﹣3|，即当x∈[﹣4，﹣1]时，|x﹣a|+2|x+1|≤2|x﹣3|恒成立，………………………………（6分

）∵在[﹣4，﹣1]上，x+1≤0，x﹣3≤0，∴|x+1|＝﹣x﹣1，|x﹣3|＝3﹣x，∴f（x）≤2|x﹣3|等价于|x﹣a|≤8，即﹣8≤x﹣a≤8，………………………………（8分）∵当x∈[﹣4，﹣1]时该不等式恒成立，∴{−1−𝑎≤8−4−𝑎≥−8，………………………………（9分）

解得﹣9≤a≤4．即a的范围是[﹣9，4]．………………………………（10分）