【文档说明】《2022-2023学年六年级数学上学期考试满分全攻略(沪教版）》第01讲 整数和整除（3大考点）（解析版）.docx，共(22)页，421.862 KB，由envi的店铺上传

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第01讲整数和整除（3大考点）1.正整数自然数整数零负整数；2.整除：整数a除以整数b，若除得的商是整数且余数为零.即称：a能被b整除；或b能整除a.整除的条件：..除数、被除数都是整数；三整一零商是整数且余数为零整除与除尽的关系.

整除：被除数、除数、商整数，且余数为零；区别除尽：被除数、除数、商是整数，没有余数.联系：整除是除尽都是不一定的特殊形式3.因数与倍数：整数a能被整数b整除，a就叫b的倍数，b就叫a的因数（约数）.因数与倍数的特征：因数与倍数互相依存；一个整数的因数中最小因数为1，最大因数为它本身一

个整数的倍数中最小的倍数是它本身，无最大倍数.4.能被2整除的数2468.偶数(2n)；(否则是奇数(2n-1))特征：个位上是0，，，，，能5整除的数的特征：个位上数字是0，5；能同时被2、5整除的数：个位上数字是0.*能被3整除的数：一个整数的各个数位上数字之和能被3整除，这个整数就能被

3整除.*能同时被2、3和5整除的数：个位数是0，且各个数位上数字之和能被3整除.5.（拓展）能被9整除的数能被9整除的数的特征：各个数位上的数字和是9的倍数．考点一：整数和整除的意义一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）

已知m能整除73，那么m是（）A．146B．9C．1或73D．219【答案】C考点精讲考点考向【分析】根据整除的概念即可解答．【详解】∵73=73×1，∴73能被1和73整除，即1和73能整除73，∴m是1或73，故选：C．【点睛】本题考查了整除的

概念，理解整除的概念是解答的关键．2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）23÷4=5.75表示（）A．23能被4整除B．4能整除23C．23能被4除尽D．23不能被4除尽【答案】C【分析】整除是被除数、除数以及商都是整数，

而余数是零；除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．【详解】解：23÷4=5.75，商是有限小数，∴23能被4除尽；故选：C．【点睛】考查了有理数的除法，

本题重在区分整除和除尽的区别，整除要求被除数、除数以及商都是整数，整除是除尽的特殊情况．二、填空题3．（2021·上海·新中初级中学期中）把45、18、60、15四个数中，能同时被2、5整除的是______．【答案】60【分析】根据整除的

概念（若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除）求解即可得．【详解】解：45不能被2整除；18不能被5整除；60能被2和5同时整除；15不能被2整除；故答案为：60．【点睛】题目主要考查整除的定义，理解整除的定义是解题关键．4．（2020·上海市进才实验中

学期中）用一个正整数去除16，24，32正好都能整除，则这个数可能是__________．（写出所有符合条件的数）【答案】1，2，4，8【详解】解：16=2×2×2×2，24=2×2×2×3，32=2

×2×2×2×2，故用一个正整数去除16，24，32正好都能整除，则这个数可能是1，2，4，8故答案为：1，2，4，8．【点睛】此题考查了数字的约数，正确确定各数的约数是解题的关键．5．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）50以内能被6整除的正整数

的个数为____________．【答案】8【分析】直接利用50除以6，即可得到整除的个数．【详解】解：根据题意，则50÷6=8……2．∴50以内能被6整除的正整数的个数为8个；故答案为：8．【点睛】本题考查了整除的意义，解题的

关键是掌握整除的意义进行解题．6．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）__________、_________和_________统称为整数．【答案】负整数零正整数【分析】根据整数的意义和分类即可解答．【详解】因为整数分为负整数、零和正整数，故答案为：负整数，零，正整数．【点

睛】本题考查整数的分类，理解整数的意义，熟记整数的分类是解答的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）__________和___________统称为自然数．【答案】零正整数【分析】根据自然数的定义

填空．【详解】零和正整数统称为自然数．【点睛】本题考查自然数的定义，需要注意零是自然数．8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）最小的自然数是__________，小于3的自然数是____________．【答案】00、1、2【分析】根据自然数的意义（0和正整数）即可解答．【详解】根据自然

数的意义，最小的自然数是0，小于3的自然数是0、1、2，故答案为：0；0、1、2．【点睛】本题考查了自然数的意义，理解自然数的意义，知道自然数包括0和正整数是解答的关键．9．（2020·上海市静安区实

验中学课时练习）最小的正整数是________，最大的负整数是________．【答案】1-1试题解析：根据大于零的整数是正整数，小于零的整数是负整数，可得有理数中，最小的正整数是1，最大的负整数是-1.10．（2021·上海·九年级专题练习）既不是正数也不是负数的数是

_____【答案】0【详解】因为要以0为标准，超出的部分记为正数，不足的部分记为负数，所以0既不是正数也不是负数．故答案为0三、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）从下列数中选择适当的数填入相应的圈

内．-200、17、-6、0、1.23、67、2006、-19.6、9、38【答案】-200、-6；17、0、2006、9；-200、17、-6、0、2006、9．【分析】根据整数、负整数、自然数的概念进行分

类即可．【详解】负整数：-200、-6；自然数：17、0、2006、9；整数：-200、17、-6、0、2006、9．【点睛】本题考查了整数、自然数、负整数的概念，解答的关键是明确整数、负整数和自然数的意义，要注意0是整数也是自然数，但0不是正数也负数．考点二：因数

和倍数一、单选题1．（2020·上海·阶段练习）a÷b＝5（a，b都是非0自然数），a是b的（），b是a的（）．①倍数②因数③积A．①②B．②①C．③①【答案】A【分析】a÷b＝5，a、b、5三个数字都是非0自然数，所以被除数a是除数b的倍数，除数b是被除数a的因数，由此求解．【详解】解：因为

a÷b＝5，所以：a是b的倍数，b是a的因数．故选A【点睛】一个整数能够被另一整数整除，被除数就是除数的倍数，除数就是被除数的因数．2．（2021·上海市彭浦初级中学期中）下列说法中正确的是（）A．任何正整数的因数至少有两个B．1是所有正整数的因数C．一

个数的倍数总比它的因数大D．3的因数只有它本身【答案】B【分析】根据因数与倍数的概念直接进行解答即可．【详解】A、任何正整数的因数至少有两个是错误的，例如：1的因数只有1；B、1是所有正整数的因数，故正确；C

、一个数的倍数总比它的因数大是错误的，例如：4的其中一个倍数是4，一个因数是4，这两个相等；D、3的因数有1和3，故错误；故选B．【点睛】本题主要考查因数与倍数，熟练掌握因数与倍数的概念是解题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中正确的是（）A．任何正整数的

因数至少有两个B．3的因数只有它本身C．一个数的倍数总比它的因数大D．1是所有正整数的因数【答案】D【分析】根据因数和倍数的概念分别判断即可．【详解】1只有一个因数，故A错误；3的因数有1和本身，故B错误；一个数的最大

因数和最小倍数是本身，故C错误；1是所有正整数的因数，故D正确．故选D．【点睛】本题主要考查了因数和倍数的概念，熟练掌握倍数和因数的相关概念是解题的关键．二、填空题4．（2021·上海·青教院附中阶段练习）在5、10、15、20、25中，_

_____是100的因数．【答案】5；10；20；25【详解】100520=，1001010=，10015610=，100205=，100254=故答案为：5；10；20；25【点睛】本题考查了

因数，理解因数的定义是解题的关键．两个正整数相乘，那么这两个数都叫做积的因数．5．（2021·上海虹口·期中）如果一个正整数恰好有8个因数，请写出一个符合条件的数：____________．【答案】30（答案不唯一）【

分析】由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到．【详解】解：由题意可知该数由三个不同的质数相乘得到，比如2×3×5＝30，故答案为：30．（答案不唯一）【点睛】本题考查因数的概念．掌握其定义是解答本题的

关键．6．（2021·上海·期中）若a既是20的因数，又是20的倍数，那么a＝___．【答案】20【分析】根据找一个数的因数的方法：一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身，最小的因数是1；根据找一个数的倍

数的方法，一个数的倍数是无限的，最小的一个倍数是它本身，可见一个数的本身既是其最大约数又是其最小倍数．【详解】解：根据题干分析可得：一个数既是20的因数，又是20的倍数，这个数是20．故答案为：20．【点睛】本题主要考查了因数和倍数，解答的关键是明确题意，理解因数和倍数的意义．7

．（2021·上海·期中）18的因数有___．【答案】1、2、3、6、9、18．【分析】先写出18的因数：18=1×18，2×9，3×6因此18的因数有1，2，3，6，9，18解答即可．【详解】解：18的因数有：1、2、3、6、9、18．故答案为：1、2、3、6、9、18．【点睛】本题考查了有理

数的乘法，掌握找一个数因数的方法是解题的关键．8．（2020·上海·青教院附中期中）16的因数有______．【答案】1、2、4、8、16【分析】由16=1×16=2×8=4×4，即可求得16的所有因数．【详解】因为

16=1×16=2×8=4×4，则16的因数分别为1与16，2与8，4即16的因数有：1、2、4、8、16故答案为：1、2、4、8、16【点睛】本题考查了求一个整数的因数，求一个数的因数的方法：1.除法：用从1开始

的每一个整数去除这个数，则可得到这个数的所有因数；2.乘法：写出所有两个数的乘积等于这个数的算式，则每个因数便是这个数因数．9．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）按要求把下列各数填入圈中：1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．【答案】1、2、3

、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36【分析】根据题意及因数的求法可把1、2、3、4、6、8、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36依次填入圈内．【详解】第一个圈：1、2、3、4、6、8、9、12

、18、24、36第二个圈：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36．故答案为：1、2、3、4、6、8、9、18、24、36；3、6、9、12、15、18、21、24、27、30

、33、36．【点睛】本题主要考查因数与倍数的求法，关键是结合题意及方法得出即可．10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）如果一个数既是19的因数，又是19的倍数，那么这个数是____________________．【答案】19【分析】一个数既是它本身的因数，也是它

本身的倍数，可根据此来求解．【详解】∵ａ既是ａ的因数，又是ａ的倍数，∴如果一个数既是19的因数，又是19的倍数，那么这个数是19．故答案为：19．【点睛】本题主要考查了因数和倍数，熟练掌握因数和倍数的求法是解题的关键．11．（2020·上海市静安

区实验中学课时练习）一个整数的最大因数和它的最小倍数比差，结果是______________【答案】0【分析】根据一个数的最大因数和最小倍数都是它本身进行解答即可．【详解】解：一个整数，它最大的因数和最小的倍数都是它本身，差为0；故答案为：0．

【点睛】此题主要考查因数与倍数的意义，利用一个数的倍数最小是它的本身，一个数的因数最大是它本身，解决问题．12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）既是30的因数，又是3的倍数的数有________________________________．【答案】3，6，15，30【分析】首先列出

30的因数，再结合3的倍数逐个筛选，从而得到答案．【详解】30的因数为：1，30，2，15，3，10，5，6；同时是3的倍数的是：3，6，15，30；故答案为：3，6，15，30．【点睛】本题考察了倍数和因数的知识；求解的关键是准确掌握倍数和

因数的定义，即可求得答案．13．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个整数_____________最大的倍数（填“有”或“无”），而最小的倍数是___________．【答案】无本身【分析】根据

倍数的概念填空即可．【详解】一个整数无最大的倍数，而最小的倍数是本身．故答案为：无；本身．【点睛】本题主要考查了整数的倍数问题，熟练掌握倍数的概念是解题的关键．14．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）一个数的因数中最小

的是________________，最大的是__________________．【答案】1它本身【分析】根据一个数的因数的概念可直接得出．【详解】一个数的因数最小的是1，最大的是它本身．故答案为：1；它本身．【点睛】本题主要考查因数的

概念，熟练掌握概念即可．15．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）50以内13的倍数有___________________________．【答案】13，26，39【分析】根据求一个数的倍数的求法可直接得到答案．【详解】因为

倍数从1倍写起，所以50以内13的倍数有：13，26，39．故答案为：13，26，39．【点睛】本题主要考查倍数的求法，熟练掌握方法是解题的关键．16．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）15的因数有__________________，100以内15的倍数有

_________________________．【答案】1，15，3，515，30，45，60，75，90【分析】根据题意及因数与倍数的求法可直接得到答案．【详解】因数可以一组一组写，不能重复，倍数从1倍写起．故答案为：15的因

数有1，3，5，15；100以内15的倍数有15，30，45，60，75，90．【点睛】本题主要考查求一个数的因数与倍数，熟练掌握方法是解题的关键．17．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）a能被b整除，a就叫做b的____________，b就叫做a的__

___________．【答案】倍数因数【分析】根据因数倍数的概念可直接得答案．【详解】因数和倍数是互相依存的；故答案为：倍数；因数．【点睛】本题主要考查因数与倍数的概念，关键是根据题意及概念得出答案．18．（2017·上海市玉华中学期中）写

出30以内的正整数中，7所有的倍数_____________.【答案】7，14，21，28.试题解析：717=，7214=，7321=，7428=，753530=，所以30以内的正整数中，7所有的倍数为7,14,21,28.三、解答题19．（2020·上海市静安区实验中学课时练习

）36名学生参加科技活动，若他们想分成人数相等的几个小组，你认为可以怎样分？【答案】可以分为2，3，4，6，9，12，18，36【分析】根据题意可知此题是求解36的因数，故直接可得出答案．【详解】因为要把36名学生分成若干组，所以只要找36的因数（1除外）即可，故36的因

数有2,3,4,6,9,12,18,36．故答案为：可以分为2，3，4，6，9，12，18，36．【点睛】本题主要考查因数的求法，熟练掌握方法是解题的关键．考点三：能被2，5整除的数一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列说法中错误的是（）A．任何一个偶数加上1之后，得到的都是

一个奇数B．一个正整数，不是奇数就是偶数C．能被5整除的数一定能被10整除D．能被10整除的数一定能被5整除．【答案】C【分析】根据数的倍数的特征，奇数与偶数的性质依次判断即可.【详解】A、任何一个偶数加上1之后，得到的都是一个奇数；B、一个正整数，不是奇数就是偶数；C、能被5整除的数不一定能

被10整除；D、能被10整除的数一定能被5整除．故选：C.【点睛】此题考查数的倍数的特征，奇数与偶数的性质，正确理解并运算解题是关键.2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）四位数2A3B能同时被2，5整除，则B等于（）A．2B．5C．0D．7【答案】C【分析】根据被

2，5整除的数的特征，可知个位上的数是0，由此即可判定．【详解】个位上是0的整数能同时被2、5整除．故选：C．【点睛】本题考查了数的整除问题，解题的关键是记住被2，5整除的数的特征，所以基础题．3．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）两个连续的自然数的和是（）A．奇数B．偶数C．奇数或偶数

D．既不是奇数也不是偶数．【答案】A【分析】根据自然数的排列规律：偶数、奇数、偶数、奇数…；再根据偶数和奇数的性质，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，据此判断即可．【详解】两个连续的自然数，一个是奇数，另一个是偶数，奇

数+偶数=奇数．故选A．【点睛】此题考查的目的是掌握自然数的排列规律、偶数和奇数的性质．4．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）要把一个奇数变成偶数，下列说法中错误的是（）A．加上1B．减去1C．乘以2D．除以2【答案】D【分析】根据奇数和偶数的定义逐项判断即得答案．【

详解】解：A、一个奇数加上1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；B、一个奇数减去1可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；C、一个奇数乘以2可以变成偶数，故本选项说法正确，不符合题意；D、奇数不能被2整除，所以一个奇数除

以2不能变成偶数，故本选项说法错误，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了奇数和偶数的定义，属于基础概念题型，熟知二者的概念是关键．5．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）既能被2整除又能被5整除的最小的三位数是（）A．102B．105C．110D．100【答案】D【分析】根据2、5

的倍数特征解答即可.【详解】能被2和5整除的数个位上是0，则最小的三位数是100故选：D.【点睛】此题考查了2和5的倍数的特征数，熟记并熟练运用特征解题是关键.二、填空题6．（2021·上海浦东新·期末）能同时被2和5整除的最小两位数是_______．【答案】10【分

析】根据能同时被2和5整除的数是个位是0的数，所以可直接得出答案．【详解】能同时被2和5整除的最小两位数是10；故答案为10．【点睛】本题主要考查因数与倍数，关键是熟记能同时被2和5整除的数的特征即可．7．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）两个奇数的积一定是___

_____，两个偶数的积一定是_____，一个奇数与一个偶数的积一定是____．（填“奇数”或“偶数”）．【答案】奇数偶数偶数【分析】根据数的乘法运算法则进行解答.【详解】奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，故答案为：奇数、偶数、偶数.【点睛】

此题考查数的乘法运算法则，乘积的奇偶性由两个乘数的奇偶决定：奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数，正确理解即可正确解决问题.8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）个位上是_____

_____的整数是奇数．【答案】1，3，5，7，9【分析】不是2的倍数的整数，叫做奇数，所以奇数的个位上的数字一定是1、3、5、7、9；据此解答．【详解】解：∵不能被2整除的整数叫做奇数，∴个位上是单数的整数是奇数，即奇数的个位上一定是数字1、3、5、7、9．故答案为：1，3，5，7，

9．【点睛】此题考查奇数的意义，明确不是2的倍数的整数叫做奇数是解答本题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）整数2009至少加上________才能同时被2、5整除．【答案】1【分析】由同时被2,5整除的数的特点可得整数的个位数是0

,从而可得答案．【详解】解：因为个位上是0的整数能同时被2、5整除，所以整数2009至少加上1才能同时被2、5整除．故答案为：1.【点睛】本题考查的是能被2,5整除的数的特点，掌握以上整数是解题的关键．10．（

2020·上海市静安区实验中学课时练习）______________的数能被3整除．【答案】各个位上的数字之和是3的整数倍【分析】能被3整除的数的各数位上的数字之和为3的整数倍，据此解答问题.【详解】各个位上的数字之和是3的整数倍的数能

被3整除.故答案为：各个位上的数字之和是3的整数倍.【点睛】此题考查3的倍数的特点，熟记并熟练运用倍数的特点解题是关键.11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）123至少加上____才能被2整除，至少加上____

____才能被5整除．【答案】12【分析】个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除，个位上是0或者5的整数都能被5整除，据此解答．【详解】123要想被2整除，个位数字要变成偶数，需要加1；要想被5整除，个位数需

变成5，则要加2；故填：1；2．【点睛】本题考查被2和5整除的数的规律，熟悉掌握基础知识是关键．12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）自然数中最小的奇数是_______，最小的偶数是___．【答案】10【分析】由自然数包含0和正整数，结合奇数与偶数的特点可得答案．【详解】解

：因为：自然数包含0和正整数，.又因为：能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数，所以：自然数中最小的奇数是1，最小的偶数是0.故答案为：1,0．【点睛】本题考查的是自然数，奇数，偶数的定义，掌握以上知识是解题的关键．13．（20

20·上海市静安区实验中学课时练习）个位上是_______的整数，一定能被5整除．【答案】0或者5【分析】能被5整除的数的个位上是0或5，由此得到答案.【详解】个位上是0或者5的整数都能被5整除.故答

案为：0或5.【点睛】此题考查能被5整除的数的特点，正确理解并掌握其特点是解题的关键.14．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）个位上是______的整数，一定能被2整除．【答案】0，2，4，6，8【分析】由能被

2整除的数的特点：这样的数是偶数，从而可得答案．【详解】解：个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除．故答案为：0,2,4,6,8．【点睛】本题考查的是能被2整除的数，即偶数的特点，掌握以上知识是解题的关键．15．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）在20、30、126这

些数中，______既是3的倍数，又是5的倍数【答案】30【分析】既是3的倍数，又是5的倍数的数满足：个位上是0或者5，且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可．【详解】解：在20、30、126这些数中，30既是3的倍数，又是5的倍数．

故答案为：30．【点睛】本题考查了2、3、5倍数的数的特征，属于基本题型，熟练掌握解答的方法是关键．16．（2020·上海·青教院附中期中）能同时被2、5整除的最大两位数是______．【答案】90【分析】同时能被2、5整除的整数个位上的数字为

0，最大的整数即十位为9，由此得到答案.【详解】个位上是0的整数能同时被2、5整除，最大的两位数是90，故答案为：90.【点睛】此题考查有理数的除法计算，掌握能被2和5整除的数的特点是解题的关键.17．（2020·上海市静安区实

验中学课时练习）能被2整除的整数叫做_____数，不能被2整除的整数叫做_____数．【答案】偶奇【分析】根据偶数、奇数的定义解答即可．【详解】解：能被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．故答案为：偶，奇．【点睛】本题考查了偶数与奇数的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键．1

8．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下面各数哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被3整除？哪些能被10整数？205、44、75、1、115、1000、60、128、495、1500、106、2000、478能被2整除的数：能被5整除的数：能被10整除的数：能被3整除的数：【答案】

44，1000，60，128，1500，106，2000，478；205，75，115，1000，60，495，1500，2000；1000，60，1500，2000；75，60，495，1500，106【分析】根据能被2、5、10、3整除的数的特点解答.【详解】解：能被2

整除的数有：44，1000，60，128，1500，106，2000，478；能被5整除的数有：205，75，115，1000，60，495，1500，2000；能被10整除的数有：1000，60，1500，2000；能被3整除的数有：75，60，

495，1500，106，故答案为：44，1000，60，128，1500，106，2000，478；205，75，115，1000，60，495，1500，2000；1000，60，1500，2000；75，60，

495，1500，106.【点睛】此题考查2、5、10、3的倍数的特征：个位上是0，2，4，6，8的整数都能被2整除，个位上是0或者5的整数都能被5整除，个位上是0的整数能被10整除，各个位上的数字之和是3的整数倍的数能被3整除，熟记特征并运用解题是关键.19．（2021·上海市复旦初级中学期中

）能同时被2、3、5整除的最大的三位数是____________．【答案】990．试题分析：同时是2、3、5的倍数的最大的三位数，只要个位是0，百位是最大的自然数9，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，这样的数有：0、3、6、9，其中0是最小的，9是最大的，据此求出最大的三位

数是990．三、解答题20．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）从3、0、5、8中任取不同的几个数字，组成能被2整除的最大三位数是多少？能被5整除的最小四位数是多少？【答案】850，3085【分析】（1）能被2整除，则个位应为0或8，组成一

个最大的三位数，最高位应为8，十位为5，个位为0；（2）能被5整除的数，个位上是0或5，因为要找最小的数，所以3在最高位，0在百位，8在十位，5在个位．【详解】解：由题意得，满足条件的最大三位数：8在百位，5在十位，0在个位，即850；满足条件的

最小四位数：3在千位（0不能在首位），0在百位，8在十位，5在个位，即3085．【点睛】此题重点考查能被2、5整除的数的特征及其运用，求组成的最大的数，该数从最高位到最低位，数字选择由大到小；求组成的最小的数，该数从最高位到最低位，数字选择由小到大，但最高位上的数字不能为0．21．（2

020·上海市静安区实验中学课时练习）如果a是一个奇数，那么与a相邻的两个偶数是多少？【答案】1,1aa−+【分析】由相邻的两个偶数相差2,相邻的两个整数相差1，从而可得答案．【详解】解：因为：相邻两个整数相差1，所以：a是一个奇数，那么与a相邻的

两个偶数是1,1.aa−+故答案为：1,1.aa−+【点睛】本题考查的是相邻的两个整数相差1的特点，掌握以上知识是解题的关键．22．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）填空，使所得的三位数能满足题目要求（1）3□2能被3整除，则□

中可填入（2）32□既能被3整除，又能被2整除，则□中可填入（3）□3□能同时被2，3，5整除，则这个三位数可能是【答案】（1）1或4或7；（2）4；（3）330或630或930【分析】（1）根据各个数位上的数字之和是3的整数倍解答即可；（2）既能被3整除，又能被2整

除，则这个数是偶数且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可；（3）能同时被2，3，5整除，则这个三位数的个位数是0，且各个数位上的数字之和是3的整数倍，据此解答即可．【详解】解：（1）3□2能被

3整除，则□中可填入1或4或7；故答案为：1或4或7；（2）32□既能被3整除，又能被2整除，则□中可填入4；故答案为：4；（3）□3□能同时被2，3，5整除，则这个三位数可能是330或630或930．故答案为：330或630或930．【点睛】本题考查了数的整除和2、3、5倍

数的数的特征，正确理解题意、熟练掌握基本知识是关键．拓展：能被9整除的数1.已知一个三位数abc，试证明：若abc++能被9整除，则abc能被9整除．【难度】★★★【解析】因为abc++能被9整除，则可得mcba9=++（m为正整数），又abc=10010abc++

()()999ababc=++++，因为ba999+能被9整除，也abc++能被9整除，所以abc能被9整除．【总结】本题一方面考查三位数的表示方法，另一方面考查整除的运用．一、选择题1.（2019闵行实验西校10月考1）下面各组数中，第一个数能整除第二个数的是（）A．14

和7；B.2.5和5；C.9和18；D.0.4和8.【答案】C;【解析】解：A、14能被7整除，不符合题意；B、2.5不是整数，不符合题意；C、9能整除18，符合题意，故C正确；D、0.4不是整数，故D不符合题意；

因此答案选C.2.（2019上南中学10月考1）下列关于“1”的叙述不正确的是（）A.1是最小的自然数；B.1既不是素数，也不是合数；C.1是奇数；D.1能整除任何一个正整数.【答案】A；【解析】解：A、最小的自然数为0，故A错误；B、1既不是素数，也不是

合数，故B正确；C、1是奇数，巩固提升故C正确；D、1能整除任何一个正整数，故D正确；因此答案选A.3.（浦东南片2019期中2）36的全部因数的个数有（）A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】D；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6

、9、12、18、36，一共9个；因此答案选D.4.（2019浦东四署10月考1）在下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A.254；B.0.60.3；C.33；D.48.【答案】C；【解析】解：A、25不能被4整除，

故A错误；B、0.6与0.3不是整数，故B错误；C、3能被3整除，故C正确；D、4不能被8整除，故D错误；因此答案选C.5.（2019上南中学10月考3）下列说法正确的是（）A.任何整数的因数至少有2个；B.一个数的因数都比这

个数的倍数小；C.连续两个自然数相加的和一定是奇数；D.8是因数，12是倍数.【答案】C；【解析】解：A、1只有一个因数，故A错误；B、一个数的最大因数与这个数的最小倍数相等，故B错误；C、连续两个自然数相加的和一定是奇数，故C正确；

D、因数与倍数是指两个数之间的关系，如：8是16的一个因数，16是4的倍数等；故D错误；因此答案选C.6.（2019浦东四署10月考3）下列各组数中能同时被2和3整除的一组数是（）A.10和35；B.42和2

4；C.15和16；D.22和20.【答案】B；【解析】解：能同时被2和3整除的数一定能被6整除，故42和24都能被6整除，故答案选B.7.（2019建平西校10月考1）下列算式中被除数能被除数整除的是（）A.15÷4B.5÷2.5;C.10÷3;D.8÷4.【答案】D；【解析】解

：A、15不能被4整除，故A错误；B、2.5是小数，故B错误；C、10不能被3整除，故C错误；D、8能被4整除，故D正确；因此答案选D.8.（华师大附中2019期中1）如果M能被15整除，那么M是（）A、15B、30C、15的倍数D、15的因数【答案】C；【解析】解：如果M能被

15整除，则M是15的倍数，因此答案选C.9.（2019进才北12月考1）下列说法正确的是（）A.一个整数不是正整数就是负整数B.一个正整数不是素数就是合数C.一个正整数不是奇数就是偶数D.一个正整数的最大因数不是它的最小倍数.【答

案】C；【解析】解：A、整数包括正整数、负整数和零，故A错误；B、正整数包括素数、合数与1，故B错误；C、正整数包括奇数和偶数，故C正确；D、一个正整数的最大因数是它的最小倍数，故D错误；因此答案选C.10.（2019闵行实验西校10月考5）下列语

句错误的是（）①2.5能被5整除；②因为4÷2=2，所以4是倍数，2是因数；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素；④两个整数的公倍数一定能被这两个数整除；A.1个；B.2个；C.3个；D.4个.【答案】B；【解析】解：2.5不是整数，故①错误

；因为4÷2=2，所以4是2的倍数，2是4的因数，故②错误；A=2×3×5×B,B>1,则B一定是A的因素，但不一定是A的素因数，故③正确；两个整数的公倍数一定能被这两个数整除，故④正确；因此错误语句有两个，答案选B.11.（2019徐教

院附中10月考3）在下列说法中，正确的是（）A.合数都是偶数B.2的倍数都是合数C.2的倍数都是偶数D.5的倍数都是奇数【答案】C；【解析】解：A、合数不一定是偶数，如15是合数但不是偶数，故A错误；B、2的倍数不一定是合数，如2不是合数，故B错误；C、2的倍

数是偶数，故C正确；D、5的倍数不一定是奇数，如5的偶数倍是偶数，故D错误；因此答案选C.12.（2019晋元附校测试15）用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是（）A.2B.4C.14D.28【

答案】D；【解析】解：用一个数去除28和56都能整除，这个数最大是28，故答案选D.二、填空题13.(2019南模初中10月考1)最小的自然数是.【答案】0；【解析】解：最小的自然数为0.14.（2019大同初中10月考7）4.8÷3＝1.6，填“能”或“不能”)说3能整除4.8【答案】不能；

【解析】解：因为4.8，1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除4.8.15.（2019晋元附校测试10）有一个数，它既是a的倍数，又是a的因数，这个数是__________.【答案】a；【解析】解：既是a的倍数，又是a的因数，则这个数就是它本身a.16.（2019松江九亭

10月考1）写出既能被2整除又能被5整除的最小的两位__________.【答案】10；【解析】解：既能被2整除又能被5整除的数，个位数为0，因此最小的两位数为10.17.（华理附中2019期中8）在75,50,42,40,66中，既是2的倍数又能被5整除的数有.【答案】50、40；【解析

】解：既是2的倍数又能被5整除的数，个位数为0，因此在上述数中有：50、40.18.（2019中国中学10月考6）三位数75□能同时被2、3整除，那么□可以是。【答案】756；【解析】解：被2整除，则个位数为0、2、4、6、8，同时又能被3整除，则各位

数字之和能被3整除，故这个三位数可以是756.19.（2019曹杨二附10月考1）在515,5.6,87,9,5−−−+中，是非负正整数的是.【答案】+5，155；【解析】解：因为15=35，所以在上述数中，非负正整数的是+5，155.20.（2019松江九亭10月考11）18的因数有__

________，18的素因数有__________。【答案】1、2、3、6、9、18；2、3、3;【解析】解：18的因数有1、2、3、6、9、18；又因为18=2×3×3，故18的素因数为2、3、3.21.（2019建平西校10月考8

）12的因数有___________.【答案】1、2、3、4、6、12；【解析】解：12的因数为1、2、3、4、6、12.22.（2019徐教院附中10月考13）36的因数：___________________，50以内9的倍数：___

_________.【答案】1、2、3、4、6、9、12、18、36；9、18、27、36、45；【解析】解：36的因数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36；50以内9的倍数有：9、18、27、36、45.23.（浦东四

署2019期中11）一个三位数，百位是最小的合数，十位是最小的素数，且能被2和5整除，这个数是.【答案】420；【解析】解:一个三位数，百位是最小的合数为4，十位是最小的素数2，又能被2和5整除，故个位数为0，因此这个三位数为420.24.（2019

晋元附校测试7）能被15整除的数，至少有__________个因数.【答案】4；【解析】解：能被15整除的数中最小的数为15，而15=3×5，故15有2×2=4个因数.25.（奉贤2019期中19）规定一个新运算：对于不小于3的正整数

n，（n）表示不是n的因数的最小正整数，如5的因数是1和5，所以（5）=2；再如8的因数是1、2、4和8，所以（8）=3等等，请你在理解这种新运算的基础上，求（6）+（24）=.【答案】9；【解析】解:因为6的因数为1、

2、3、6，故（6）=4，因为24的因数为1、2、3、4、6、8、12、24，故（24）=5，故（6）+（24）=9.三、解答题26.（2019浦东四署10月考19）把下列各数填入指定的圈内（每个数只能使用一次）.1，2，4，5，12

，24，30，40，52，60，100【答案与解析】解：因为在上述数中，其中4的倍数有：4，12，24，40，52，60，100；60的因数有：1，2，4，5，12，30，60；既是4的倍数又是60的因

数有：4，12，60；故三个指定的圈内填写为：4的倍数有：24，40，52，100；60的因数有：1，2，5，30；既是4的倍数又是60的因数有：4，12，60.27.（2019大同初中10月考21）把下列各数填在适当的内:9，0，0.23,-53,55

9,26,-1正整数负整数自然数【答案】9，26；-53，-1；9，0，26；【解析】解：在9，0，0.23,-53,559,26,-1中，其中正整数有：9，26；负整数有：-53，-1；自然数有9，0，26.28.（2019徐教院附中10月考24）我们设n为大于

5的正奇数，那么紧邻它而比它小的两个奇数可以表示为2−n和4−n，紧邻它而比它大的奇数可以表示为2+n和4+n，因为()()()()nnnnnn52424=++++−+−+，所以我们可以说五个连续的奇数之和一定能被5整除.试用上面的方法说明“五个连

续的正整数之和能被5整除”.【答案与解析】解：设n为大于2的正整数，那么紧邻它而比它小的两个正整数可以表示为n-1,n-2，紧邻它而比它大的两个正整数为n+1，n+2，因为(2)(1)(1)(2)5nnnnnn−+−++++

+=，所以五个连续的正整数之和能被5整除.29.（2019晋元附校测试23）一次活动中，我方侦查员截获了敌方的密码，从左边开始，第一个数字是10以内的最大素数；第二个数字既有因数2，又是6的倍数；第三个数字既不是素数也不是合数；第四

个数字既是素数又是偶数；第五个数字是最小的奇数与最小的合数的积；第六个数字是所有能被3整除的数的最大公因数。谁能破译密码，并说明你是怎么破译的?【答案】761243;【解析】解：从左边开始，第一个数字为10以内最大的素数，故第一个数字为7；第二个数字既有因数2

，又是6的倍数，故第二个数字为6；既不是素数也不是合数的数为1，故第三个数字为1；既是素数又是偶数的数为2，故第四个数字为2；最小的奇数为1，最小的合数为4，最小的奇数与最小的合数的积为4，故第五个数字为4；所有能被3整除的数的最大公因数为3；所以这

个数是761243.因此这个密码为：761243.