【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第二册 第五章　5-3　5-3-2　第2课时　函数的最值含解析【高考】.doc，共(14)页，805.500 KB，由小赞的店铺上传

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1第2课时函数的最值课后训练巩固提升A组1.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e)内的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1.令f'(x)=0,解得x=1.当x∈(0,1)时,f'

(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(1,e)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.故x=1是函数f(x)的极大值点,也是最大值点.f(x)max=f(1)=-1.故选B.答案:B2.函数y=()A.有最大值2,无

最小值B.无最大值,有最小值-2C.最大值为2,最小值为-2D.无最值解析:y'=.令y'=0,解得x=1或x=-1,当-1<x<1时,y'>0,函数y在区间(-1,1)上单调递增;当x<-1或x>1时,y'<0,函数y在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减

.因此函数y在x=-1处取得极小值-2,在x=1处取得极大值2,且当x→-∞时,y→0,当x→+∞时,y→0.作出函数的大致图象(图略),结合图象可知y=的最大值为2,最小值为-2.故选C.2答案:C

3.函数y=xex的最小值是()A.-1B.-eC.-D.不存在解析:y'=ex+xex.令y'=0,解得x=-1,由函数的单调性,知x=-1是函数的唯一极小值点,即为最小值点.所以当x=-1时,ymin=-.故选C.答案:C4.下列关于函数f(x)=(2x-x2)ex的判断正确的是()①

f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-)是极小值,f()是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值.A.①③B.①②③C.②D.①②解析:由f(x)>0,得0<x<2,故①正确.f'(x)=(2-x2)ex.令f'(x)=0,解得x=±.由函数的单调性,

知当x=-时,f(x)取得极小值,当x=时,f(x)取得极大值,故②正确.当x→-∞时,f(x)→0;当x→+∞时,f(x)→-∞.结合函数的单调性与极值作出函数的大致图象如图所示.所以函数f(x)有最大值无最小值,故③不正确.答案:D5.已知函数f(x)=ax3+

c,且f'(1)=6,若函数在区间[1,2]上的最大值为20,则c的值为()3A.1B.4C.-1D.0解析:由题意得f'(x)=3ax2,f'(1)=3a=6,解得a=2.当x∈[1,2]时,f'(x)=6x2>0,故f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)max=f(2

)=2×23+c=20,解得c=4.答案:B6.(多选题)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列结论错误的是()A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的最小值点C.y=

f(x)在区间(-3,1)内单调递增D.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率小于0解析:由导函数图象可知,f'(-3)=0,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,当且仅当x=-1时,f'(x)=0,∴函数

y=f(x)在区间(-∞,-3)上单调递减,在区间(-3,1)内单调递增,从而-3是函数y=f(x)的极小值点,故C正确,A正确;∵f(x)在区间(-3,1)内单调递增,∴-1不是函数y=f(x)的最小值点,故B错误;∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,∴切线的斜率大于0,故D

错误;综上,选BD.答案:BD7.若函数f(x)=x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.4解析:∵f(x)=x2+x+1,∴f'(x)=x2-ax+1.若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点.由f'(x)

=x2-ax+1=0,得a=x+.设g(x)=x+,则函数g(x)在区间内单调递减,在区间(1,3)内单调递增,可得g(x)∈,即2≤a<.当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,此时函数f(x)单调递增,不符合.故a≠2.综上,2<a<.故选C.答案:C8.函

数f(x)=+x(x∈[1,3])的值域为.解析:因为f'(x)=-+1=,所以对x∈[1,3],f'(x)>0恒成立.故函数f(x)在区间[1,3]上单调递增.所以函数f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.5答案:9.已知函数f(x)=x3-x2,则f(x)

在区间[-1,1]上的最小值是.解析:由函数f(x)=x3-x2,得f'(x)=3x2-2x.令3x2-2x=0,解得x=0或x=.∵f(0)=0,f=-,f(1)=0,f(-1)=-2,∴函数f(x)=x3-x2在区间[-1,1]上的最小值为-2.答案:-

210.函数f(x)=x+cosx在区间上的最小值为.解析:f'(x)=-sinx.已知x∈,令f'(x)=0,可得x=.当x∈时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因此函数f

(x)在区间上先单调递增后单调递减,则f(x)的最小值在区间端点处取得.∵f(0)=1,f,∴f(x)min=f.6答案:11.已知函数f(x)=ax3+bx+c在x=2处取得极值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有极大值28,求f(x)在区间[-3,3]上的最小值.

解:(1)因为f(x)=ax3+bx+c,所以f'(x)=3ax2+b.由于函数f(x)在x=2处取得极值c-16,故有即解得(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f'(x)=0,解得x=-2或x=2.当x变化时,f'

(x),函数f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2处

取得极小值f(2)=c-16.由题意知16+c=28,得c=12.因为f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=c-16=-4,所以函数f(x)在区间[-3,3]上的最小值为f(2)=-4.12.已知函数f(x

)=lnx+,若函数f(x)在区间[1,e]上的最小值是,求a的值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=a.7当a≤1时,x∈[1,e],f'(x)≥0,函

数f(x)在区间[1,e]上单调递增,所以f(x)min=f(1)=ln1+a=,解得a=.由于a=∉(-∞,1],故舍去.当1<a<e时,可得函数f(x)在区间[1,a)内单调递减,在区间(a,e]上单调递增,所以f(x)min=

f(a)=lna+,解得a=.由于a=∈(1,e),故符合题意.当a≥e时,x∈[1,e],f'(x)≤0,函数f(x)在区间[1,e]上单调递减,所以f(x)min=f(e)=lne+,解得a=.由于

a=∉[e,+∞),故舍去.综上所述,a=.B组1.已知函数f(x),g(x)的导函数分别为f'(x),g'(x),且f'(x)<g'(x),则f(x)-g(x)在区间[a,b]上的最大值为()A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)

-g(b)D.f(b)-g(a)解析:设F(x)=f(x)-g(x).∵F'(x)=f'(x)-g'(x)<0,∴F(x)在区间[a,b]上是减函数.∴F(x)在区间[a,b]上的最大值为F(a)=f(a)-g(a).故选A.答案:A82.设直线x=t与函数f(x)=x

2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为()A.1B.C.D.解析:因为函数f(x)的图象始终在函数g(x)图象的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx.设h(x)=x2-lnx,则h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=2x-.令h'(x)

==0,解得x=.因为h(x)在区间内单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时有极小值也是最小值,故t=.故选D.答案:D3.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是()A.[-5,0)B.(-5,0)

C.[-3,0)D.(-3,0)解析:f'(x)=x2+2x=x(x+2).令f'(x)=0,解得x=0或x=-2.可得f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在区间(-2,0)内单调递减,故f(x)在x

=-2处取得极大值f(-2)=,在x=0处取得极小值f(0)=-.作出函数f(x)的大致图象如图所示.9令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,由题意和图象得解得-3≤a<0,即a∈[-3,0).故选C.答案:C4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为[-

1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下列关于函数f(x)的结论正确的是()x-1045f(x)1221A.函数f(x)的极大值点有2个B.函数f(x)在区间[0,2]上单调递减C.若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t的最大值为4D.当1<a<2

时,函数y=f(x)-a有4个零点解析:由f'(x)的图象知,当-1≤x<0或2<x<4时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当0<x<2或4<x≤5时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.故当x=0时,

函数f(x)取得极大值,当x=4时,函数f(x)取得极大值,即函数f(x)有两个极大值点,故A正确;函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,故B正确,作出f(x)的大致图象如图①所示.10①若x∈[-1,t],f(x)的最大值是2,则t满足0≤t≤5,即t的最大值是5,故

C错误,由y=f(x)-a=0,得f(x)=a.函数f(x)在x=2处取得极小值f(2).若f(2)≤1,当1<a<2时,f(x)=a有四个根,如图②所示.②若1<f(2)<2,当1<a<2时,f(x)=a不一定有四个根,有

可能是2个,如图③所示.③故函数y=f(x)-a有4个零点不一定正确,故D错误.故选AB.答案:AB5.若函数f(x)=2x3-6x2+m在区间[-2,2]上有最大值3,则f(x)在区间[-2,2]上的最小值为.解析:f

'(x)=6x2-12x.令f'(x)=0,解得x=0或x=2.∵f(-2)=m-40,f(0)=m,f(2)=m-8,∴f(0)=m为最大值.由题意知m=3,函数f(x)的最小值为f(-2)=-37.答案:-376.函数y=x3-x2-3x+1

,x∈[-2,4]的最大值为.11解析:已知函数y=x3-x2-3x+1,x∈[-2,4],则y'=x2-2x-3=(x-3)(x+1),x∈[-2,4].由函数y的单调性可知,当x=-1时,函数取得极大值;当x=3时,函数取得极小值.由于f(-1)=--1+3+1=,f(4

)=-16-12+1=-,故函数在区间[-2,4]上的最大值为.答案:7.已知函数f(x)=lnx-ax,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1,则a=.解析:令f'(x)=-a=0,解得x=.因为a>,所以0<<2.当0<x<时,f'(x)>0,f(x)在区间上单调递增;当<x<2时,f'

(x)<0,f(x)在区间上单调递减.所以f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1.因为a=1>,所以a=1符合.答案:18.设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)当a

=1时,求f(x)的单调区间;12(2)若f(x)在区间(0,1]上的最大值为,求a的值.解:函数f(x)的定义域为(0,2),f'(x)=+a.(1)当a=1时,f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=.当x∈(0,)时,f'(x

)>0;当x∈(,2)时,f'(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2).(2)当x∈(0,1]时,f'(x)=+a>0,则函数f(x)在区间(0,1]内单调递增,故函数f(x)在区间(0,1]内的最大值为f(1)=a,因此a=.9.已知

函数f(x)=ax3-x2+b(x∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;(2)若a>0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.解:(1)f'(x)=3ax2-3x.由题意得f'(2)=6,f

(2)=4,解得a=1,b=2.(2)f(x)=ax3-x2+2,a>0.f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).13令f'(x)=0,解得x=0或x=.分以下两种情况讨论:①若>1,即0<a<1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(

-1,0)0(0,1)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减因为f(-1)=-a,f(1)=a+,所以f(x)min=f(-1)=-a.②若0<<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0f'

(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为f(-1)=-a,f=2-,f-f(-1)=2-+a->0,所以f(x)min=f(-1)=-a.综上,f(x)min=f(-1)=-a.10.设a,b∈R,函数f(x)=x3+ax2+bx在区间(0,

1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.(1)若a=-2,求b的值;(2)求函数f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).14解:(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx,∴f'(x)=x2+2ax+b.∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,

∴f'(1)=1+2a+b=0.∵a=-2,∴b=3.(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.∴f(x)=x3-x2+bx.∴f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1

,+∞)上恒成立,此时,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,与题意不符.当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,b)b(b,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵函数f(x)在区间(1,2)上单调递减

,∴b≥2.当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(b)=-b3+b2;当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=-4b.综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-b3+b2;当b≥4时,f(x)在区间[1,4

]上的最小值为.