【文档说明】《一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册（人教A版）》4.2.1 等差数列的概念（精讲）（解析版）.docx，共(10)页，1013.820 KB，由管理员店铺上传

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14.2.1等差数列的概念考点一判断是否为等差数列思维导图常见考法2【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（）A．1，4，7，10B．lg2,lg4,lg8,lg16C．54322,2,2,2

D．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A中，满足13nnaa+−=（常数），所以是等差数列；B中，lg4lg2lg8lg4lg16lg8lg2−−−=−=（常数），所以是等差数列；

C中，因为453423222222−−−，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足12nnaa+−=−（常数），所以是等差数列.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若na是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是

()A．2naB．1naC．3naD．na【答案】C【解析】A:22n+1na-a=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列．B:n+1n11-aa=n+1n-daa=11-da+nda+n-1d（

）（）与n有关系，因此不是等差数列.C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；D:当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（）①4，5，6，7，8，…

②3，0，-3，0，-6，…③0，0，0，0，…④1234,,,,10101010…A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可3差数列.第四个是公差

为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C.3．（2020·全国课时练习）已知数列{}na，c为常数，那么下列说法正确的是（）A．若{}na是等差数列时，不一定是等差数列B．若{}na不是等差数列时，一定不是等差数列C．若是等差数列时，{}na一定是等差数列D．

若不是等差数列时，{}na一定不是等差数列【答案】D【解析】当{}na是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A错；对于数列{}na：1，2，4，5，令，则为等差数列，B错；当c为0时，0，0，0，0是等差数列，但{}na不是等差数列

，C错．故选D．考点二求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由1a=4，3d=确定的等差数列na，当an=28时，序号n等于（）A．9B．10C．11D．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列na中，若3

1a=，2434aa=，则1a=（）A．1−B．12−C．0D．12【答案】（1）A（2）C【解析】（1）因为14a=，3d=，所以()1131naandn=+−=+，所以3128nan=+=，解得9n=故选：A（2）因为na是等差数列，所以3121aad=+=，()

()11334adad++=，解得：12d=，10a=故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列na中，37158aaa++=，83a=，则9a=（）4A．2B．5C．11D．13【答案】A【解析】因为37158aaa++=，得13228ad+=①，又83a=，

得173ad+=②，由①②得：1101ad==−，故9181082aad=+=−=.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列{}na中，1a=2，12nnaa+−=，则51a的值为（）A．96B．98C．100D．102【答案】D【解析】因为1a=2，1

2nnaa+−=，所以数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2nan=，所以51251102a==故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列na中，15a=，13nnaa+=+，那么这个数列的通项公式是（）A．31n−B．32n+C．32n−

D．31n+【答案】B【解析】因为13nnaa+−=，所以数列na是以5为首项，3为公差的等差数列，则()*53132,nannnN=+−=+.故选：B考点三等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知132a=+，132b=

−则a,b的等差中项为（）A．3B．2C．13D．12（2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知0,0ab，并且111,,2ab成等差数列，则9ab+的最小值为_________.【

答案】（1）A（2）16【解析】（1）13232a==−+，13232b==+−，5,ab的等差中项为111223232abA+==−+−()1323232=−++=，故选A.（2）由题可得：111ab+=，故1199(9)()1916abababa

bba+=++=+++【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列na中，若288aa+=，则()2375aaa+−=___________．【答案】60；【解析】在等差数列na中，288aa+=，2

8528aaa+==，解得54a=，2237555()(2)64460aaaaa+−=−=−=．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列{}na为等差数列，若2533aaa+=，且4a与72a的等差中项为6，则5a=（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析

】设{}na的公差为d.数列{}na为等差数列，2533aaa+=，且4a与72a的等差中项为6，1111143(2)32(6)12adadadadad+++=++++=，解得11a=−，1d=，5143a=−+=．故选：D．3．（2019·兴

安县第三中学期中）已知等差数列na的前三项为1,1,23aaa−++，则此数列的首项1a=______．【答案】1−【解析】依题意可得()()()12321aaa−++=+，解得0a=，故等差数列na的前三项为1,1,3−，所以11a=−故答案为：1

−考点四证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{an}满足当n＞1时，an＝1114nnaa−−+，且a1＝15.6(1)求证：数列1na为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项

；如果不是，请说明理由．【答案】(1)见证明；(2)a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a1＝15及递推关系an≠0.因为an＝1114nnaa−−+.取倒数得111nnaa−=＋4，即111nnaa−−＝4(n＞1)，所以数列1na

是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得1na＝5＋4(n－1)＝4n＋1，141nan=+.又121111594541aan===+，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．【一隅三

反】1．（2020·全国高一课时练习）已知2()2xfxx=+，在数列na中，113a=，1()nnafa−=*2,nnN。（1）证明：1na是等差数列。（2）求95a的值。【答案】

（1）见解析；（2）95150a=【解析】（1）证明：当2n时，因为()1nnafa−=，所以1122nnnaaa−−=+，即1122nnnnaaaa−−+=。易知0na，所以11221nnnnaaaa−−−=，即111

12nnaa−−=。所以1na是首项为113a=，公差为12的等差数列。（2）由（1）知()1153122nnna+=+−=，所以25nan=+，所以952195550a==+。72．（2019·全国课时练习）已知数列中，

，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列中的最大项和最小项．【答案】（1）证明见解析；（2）最小项为且，最大项为且．【解析】（1）因为，，所以又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知，则．设，则在区间和上为减函数．所以当时，取得最小值为－1

，当时，取得最大值为3．故数列中的最小项为且，最大项为且．3．（2020·全国高一课时练习）已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝11na−.(1)证明：数列{bn}是等

差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【答案】(1)见证明；(2)an＝52nn++.【解析】(1)证明：()()()()1111311nnnnaaaa++−−=−−−，8∴1111113nnaa+−=−−，即bn＋1－bn＝13，∴{

bn}是等差数列．(2)∵b1＝1，∴123,1332nnbnan=+−=+∴an＝52nn++.考点五等差数列的单调性【例5】（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中高二期末（理））设na是等差数列，则“123aaa”是“数列na是递增数列”的（）A．充分

而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在na是等差数列，若123aaa，可得21320daaaa=−=−，所以数列na是递增数列，即充分性成立；若数列na是递增数列，则必有123aaa，即必要性成立，所以“123aaa

”是“数列na是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【一隅三反】1．（2020·全国高二）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A．d>3B．d72C．3≤d72D．3<d72【答案】D【解析】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为

正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d72．故选：D．2．（2020·北京怀柔·高二期末）已知数列na为等差数列，则下面不一定成立的是（）A．若21aa，则31aaB．若21aa，则32aaC．若31aa，则21aa

D．若21aa，则121aaa+【答案】D【解析】利用等差数列的单调性可得：若21aa，所以公差0d，所以等差数列na是递增数列，9所以3120daa−=，320daa−=成立，∴A，B正确；则121aaa

+不一定成立，例如10a时不一定成立，∴D不一定成立；若31aa，则3120daa−=，所以210daa−=成立，∴C正确.故选：D3．（2020·上海市实验学校高三月考）已知等差数列{𝑎𝑛}是递增数列，且𝑎1+𝑎2+

𝑎3≤3，𝑎7−3𝑎3≤8，则𝑎4的取值范围为___________.【答案】(−4,11]【解析】∵等差数列{𝑎𝑛}是递增数列，且𝑎1+𝑎2+𝑎3≤3，∴𝑎2≤1,𝑑>0又∵𝑎7−3𝑎3≤8=𝑎1+

6𝑑−3(𝑎1+2𝑑)=−2𝑎1≤8，∴𝑎1≥−4，0<𝑑=𝑎2−𝑎1≤5，𝑎4=𝑎1+3𝑑>−4，𝑎4=𝑎2+2𝑑≤1+10=11，即𝑎4的取值范围为(−4,11]，故答案为(−4,11].10获得更多资源

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