【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第一册同步试题 7.3三角函数的图像和性质 Word版含解析.docx，共(18)页，974.379 KB，由小赞的店铺上传

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第7章7.3三角函数的图像和性质（练习）考试时间：120分钟试卷总分：150分班级姓名：一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.要得到函

数xy2cos=的图象，只需将函数+=42cosxy的图象()A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移8个单位长度D.向右平移8个单位长度【答案】D【解析】因为+=+=82cos42cosxxy，所

以+=42cosxy的图象向右平移8个单位长度可得到函数xy2cos=的图象，故选D.2．函数()()sin0fxx=在区间0,3上是增函数，在区间,32上是减函数，则的最小值为（）A．32B．

23C．2D．3【答案】A【解析】由题意，知当3x=时，函数()fx取得最大值，则sin13=，所以()232kk=+Z，所以36,2kk=+Z，又0，所以min32=，故选：A.3.已知()()πsin

04fxx=+的最小正周期为π，则π24f=（）A．32−B．12−C．32D．12【答案】C【解析】因为最小正周期为，，故2=，故2=，所以()sin(2)4fxx=+，所以π3sin()

sin2432412f=+==，故选：C.4．函数()sin()(0)3fxx=+的图象的相邻两条对称轴间的距离是2．若将函数()fx的图象向右平移6个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到(

)gx，则()gx的解析式为（）A．()sin(4)6gxx=+B．()sin(8)3gxx=−C．()sin()6gxx=+D．()sin4gxx=【答案】D【解析】函数()sin()(0)3fxx=+的图象的相

邻两条对称轴间的距离是2.即函数()fx的最小正周期为.则2=T=,即2=若将函数()fx的图象向右平移6个单位，可得sin[2()]sin263yxx=−+=的图象，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的一半，得到g()sin4xx=的图象，故选：D5.函数()

()sin0fxx=在区间0,3上是增函数，在区间,32上是减函数，则的最小值为（）A．32B．23C．2D．3【答案】A【解析】由题意，知当3x=时，函数()fx取得最大值，则sin13=，所以()232kk

=+Z，所以36,2kk=+Z，又0，所以min32=，故选：A.6．将函数()sin26fxx=+的图象向右平移(0)个单位后，关于y轴对称，则的可取值为（）A．6B．4C．3

D．2【答案】C【解析】函数()sin26fxx=+的图象向右平移(0)个单位后得到()sin2sin2266yxx=−+=−+，sin226yx=−+的图象关于y轴对称，

所以2,6226kk−+=+=−+（kZ），当1k=−时，3=.故选：C7.已知函数()cos([0,])fxxx=的图像与函数2()tan2gxx=的图像交于M，N两点，则OMN的面积为

（）A．26B．24C．23D．22【答案】B【解析】由2costan2xx=得2sincos2cosxxx=即22cossinxx=，2222sincossinsin12xxxx+=+=即2

2sinsin20xx+−=，解得2sin2x=或sin2x=−，由[0,]x可得2sin2x=，4x=或34x=，2(,)42M，32(,)42N−，显然MN与x轴交于点(,0)2P，12224SOP==.故选：B.8.一半径为

4.8m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2.4m，已知水轮每60s逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点0P）开始计时，则（）A．点P第一次到达最高点需要10sB．在水轮转动的一圈内，点P距离水面的高度不低于4

.8m共有10s的时间C．点P距离水面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）的函数解析式为4.8sin2.4306ht=−+D．当水轮转动50s时，点P在水面下方，距离水面1.2m【答案】C【解析】设点P距离水面的高度h（米）

与t（秒）的函数解析式为f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|2＜）依题意可知f（t）的最大值为7.2，最小为﹣2.4，∴A+B＝7.2，﹣A+B＝﹣2，解得A＝4.8，B＝2.4．2=60

，解得ω30=．∴f（t）＝4.8sin（30t+φ）+2.4，当t＝0时，f（t）＝0，得sinφ12=−，|φ|2＜，φ6=−，故所求的函数关系式为f（t）＝4.8sin（30t6−）+2.4，C对，令4.8s

in（30t6−）+2.4＝7.2，可得：sin（30t6−）＝1，∴30t62−=，解得t＝20．点P第一次到达最高点要20s时间．A错，4.8sin（30t6−）+2.4≥4.8⇒sin（30t6−）12⇒630

t566−⇒10≤t≤30；∴在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P距离水面的高度不低于4.8米；B错t＝50时，f（t）＝4.8sin（30t6−）+2.4＝4.8sin（30506−）+2.4＝4.8sin

32+2.4＝﹣2.4，D错．故选：C．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．已知π()2cos23gxx=+，则下列

说法中正确的是（）A．函数()gx的最小正周期为πB．函数()gx在ππ,612−上单调递增C．函数()gx的图象可以由函数π2cos6yx=+图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的

12得到D．7π,012是函数()gx图象的一个对称中心【答案】AD【解析】2ππ2T==，所以A正确.ππππππ,2,026123632xxx−−+，所以函数()gx在ππ,612−上单调递减，所以B错误.函数π2cos6yx=+

图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12得到π2cos26yx=+，所以C错误.7π7ππ3π2cos2cos012632g=+==，所以D正确.故选：AD10．下列四种变换方式，其中能将sinyx=的图象变为sin24yx=+

的图象的是（）A．向左平移4，再将横坐标缩短为原来的12；B．横坐标缩短为原来的12，再向左平移8；C．横坐标缩短为原来的12，再向左平移4；D．向左平移8，再将横坐标缩短为原来的12.【答案】AB【解析】将sinyx=的图像向左平移4，可得

函数sin4yx=+，再将横坐标缩短为原来的12，可得sin24yx=+的图像，故A正确；或者将sinyx=的图像横坐标缩短为原来的12，可得sin2yx=的图像，再向左平移8个单位，可

得sin24yx=+的图像，故B正确；对于C，sinyx=横坐标缩短为原来的12可得sin2yx=，再向左平移4可得sin2cos24yxx=+=；故C错误；对于D，sinyx=向左平移8可得sin8yx=+，

再将横坐标缩短为原来的12可得sin28yx=+，故D错误；故选：AB11.将函数()xxf2sin=的图象向右平移4个单位长度后得到函数()xg的图象，则()xg具有的性质是()A.在4,0上单调递增，为偶函数B.最大值为1，图象关

于直线23=x对称C.在−8,83上单调递增，为奇函数D.最小正周期为，图象关于点0,43对称【答案】ABD将函数()xxf2sin=的图象向右平移4个单位长度后得到函数()xxg2cos−=的图象，()xg为偶函数，且在4,0上单调递增，所以

A正确，C错误.()1max=xg，13cos23=−=g，所以B正确.023cos43=−=g，最小正周期为，所以D正确.故选ABD.12．已知函数()sin2cos2(0

)fxxx=+，若()()1222fxfx−=，且12xx−的最小值为2，则下列说法正确的是（）A．2=B．函数()fx在,46−上单调递增C．将函数()fx的图象向右平移38个单位长度后得到的图象关于y轴对称D．对xR，都有88fxfx

+=−【答案】CD【解析】()sin2cos22sin2(0)4fxxxx=+=+，由相邻最高点与最低点的水平距离为2，得22T=，即T=，所以22T==，解得1=，所

以()2sin24fxx=+.A：1=，所以选项A错误；B：由,46x−，得72,4412tx=+−，因为函数2sinyt=在,42−单调递增，在7,212单调递减，所以选项B错误

；C：将()fx的图象向右平移38个单位长度后得到的函数解析式为3()2sin22sin22cos2842gxxxx=−+=−=−，因为函数()2cos2gxx=−是偶函数，所以函数()gx的图象关于y轴对称；D：因为2sin282f==

，所以直线8x=是函数()fx的一条对称轴，所以对xR，都有88fxfx+=−，故正确答案为CD.故选：CD.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()2

sin3fxx=+（其中0）的单调递增区间为()522,1833kkkZ−++，则=_________.【答案】18【解析】由于函数()2sin3fxx=+（其中0）的单调递

增区间为()522,1833kkkZ−++，则该函数的最小正周期为23，即223=，得3=.()2sin33fxx=+，解不等式()232232kxkkZ−+++，得()522183183kxkkZ

−++，所以，函数()2sin33fxx=+的单调递增区间为()522,183183kkkZ−++.因此，18=.故答案为：18.14.函数的图像关于直线对称，则的最小值为．【答案】.32解法1：根据余弦函数的图像及性质，令

kx=−3，Zk得kx+=3，令23=+k得k232+=，Zk，又因为0，所以当0=k时取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(=f，即1)32cos(=−，则

k=−32，Zk，解得k232+=，Zk，又因为0，所以当0=k时取得最小值为.3215．已知()()()sin0,0fxx=+，满足()03fxfx+−−=，()23fxfx+=

−，且()fx在()0,上有且仅有5个零点，则此函数解析式为()fx=_____________．【答案】5sin56x+【解析】因为()()03fxfx−+−=，令6tx=−，则()()66ftft−=−−−，即()()66fxfx−=−−−，所

以(0)6−，是()fx图像的对称中心，又2()()3fxfx+=−，令3tx=+，则()()33ftft+=−，即()()33fxfx+=-pp，所以3x=是()fx图像的对称轴，()cos()(0)3fxx=−2x=所以112

2632kkZkkZ−+=+=+，，，得21()22kk=−+，令21kkk=−，则kZ，所以21k=+，因为()fx在(0)，上有且只有5个零点，所以23TT，又20T=，，即4

6，所以46，得=5，代入上式，得156k−+=，又0，所以56=，所以5()sin(5)6fxx=+.故答案为：5sin56x+16．以下关于函数()()sin2R4fxxx=−的结论：①函数()fx的图象关于直线8x=−

对称；②函数()fx的最小正周期是；③若()()12fxfx=，则124xxk+=−；④函数()fx在0,10上的零点个数为20．其中所有正确结论的编号为______．【答案】①②④【解析】对于①，当8x=−时，()sin214

fxx=−=−，故函数()fx的图象关于直线8x=−对称，①正确；对于②，函数()()sin2R4fxxx=−的最小正周期是，②正确；对于③，()()12fxfx=，即12sin2sin244xx−=−，∴12222,Z44x

kxk−=+−，或12222,Z44xkxk−=+−+，∴12,Zxxkk−=，或123,Z4xxkk+=+，如120xx==时()()12fxfx=，1204xxk+=−，③错误；对于④，由0,10x得，792[,]444

x−−，则由()sin204fxx=−=可得，2,019,Z4xkkk−=，所以函数()fx在0,10上的零点个数为20，④正确.故答案为：①②④.四、解答题：（本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数2()2sincos2cos()fxxxxx=+R．（1）求()fx的最小正周期，并求()fx的最小值及取得最小值时x的集合；（2）令()18gxfx=+−，若()2gxa−对于,63x

−恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）最小正周期是，最小值为12−．x的集合为3|()8xxkk=−Z；（2）(22,)++.【解析】（1）由题意，函数()sin2cos

212sin214fxxxx=++=++，可得其最小正周期是22T==，当sin214x+=−，可得22,()42xkk+=−+Z，即3()8xkk=−Z时，函数()fx的最小值为12−．此

时x的集合为3|()8xxkk=−Z．（2）由()12sin22cos2844gxfxxx=+−=++=因为,63x−，得22,33x−，则1cos2,12x−，所以2(

)2cos2,22gxx=−，若()2gxa−对于,63x−恒成立，则max2()2agx−=，所以22a+，即求实数a的取值范围(22,)++．18.设函数()()πtan0,02fxx=+

，已知函数()yfx=的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M−对称.(1)求()fx的单调区间；(2)求不等式()13fx−的解集.【答案】见解析【解析】(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝2，即2

=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，因为函数y＝f(x)的图象关于点M,08−对称，所以2×8−＋φ＝2k，k∈Z，即φ＝2k＋4，k∈Z.因为0<φ<

2，所以φ＝4，故f(x)＝tan24x+.令－2＋kπ<2x＋4<2＋kπ，k∈Z，得3244kxkkZ−++，，即38282kkxkZ−++，所以函数的单调递增区间为3,8282kk−++

，k∈Z，无单调递减区间．(2)由（1）知，f(x)＝tan24x+.由－1≤tan24x+≤3，得2443kxkk−+++，Z，即42242kkxk−++，Z所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为42242kkxxk−

++Z∣，.19．已知函数()22sin233fxx=++（1）求函数()fx在11,66−上的所有零点之和；（2）求()()125log3gxfx=−的单调递减区间.【答案】（1）133（2）(),1212k

kkZ−+【解析】（1）()22sin233fxx=++令()1110sin2,3366fxxx=+=−−，令23ux=+，11,66x−，∴20,43x

+，∴0,4u.作sinyu=在0,4上图象知13y=−与()sin0,4yuu=有四个交点，记其横坐标从小到大依次为1u，2u，3u，4u，则123232uu+==，347272uu+==，所以24

132222103333xxxx+++++++=，所以1234313xxxx+++=（2）解：令()52502sin23333fxx−++1sin232x+，所以()5222636kxk

kZ+++解得()124kxkkZ−+，即函数的定义域为(),124kkkZ−+由()2232xkkZ+=+解得()12xkkZ=+，令()53tfx=−，当(),Z1212xkkk−+

时，t关于x单调递增；12logyt=在(0,1上单调递减，∴()gx在(),1212kkkZ−+上单调递减.故所求函数的单调递减区间为(),1212kkkZ−+.20．如图是函数()()sinfxAx=+（0A，0

，02）的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是这部分图象的最高点且横坐标为4，点()0,1F是线段DM的中点．（1）求函数()fx的解析式及其在(),2上的单调递增区间；（2）当5,1212x−

时，函数()()21yfxafx=−+的最小值为12，求实数a的值．【答案】（1）()2sin4fxx=+，5,24（2）32a=【解析】（1）∵点()0,1F是线段DM的中点，∴,24D，,04M−．∵函数(

)()sin0,0,02fxAxA=+，∴2A=．周期244442T=−−==，解得1=．∵2sin244f=+=，

∴2,42kk+=+Z，解得2,4kk=+Z，又02，∴4=．∴()2sin4fxx=+．令22,242kxkk−++Z，解得322,44kxkk−+Z，当1k=时，5944x，∴函数()fx在(),2上的

单调递增区间为5,24．（2）∵5,1212x−，∴2,463x+，∴()2sin1,24fxx=+．令()tfx=，则1,2t，∴21,1,2ytatt=−+．设()21gttat

=−+，则函数()gt图象的对称轴为直线2at=．当12a，即2a时，()()min11112gtga==−+=，解得32a=；当122a，即24a时，()2min11242aagtg==−+=，解得

2a=（舍去）；当22a，即4a时，()()min124212gtga==−+=，解得94a=（舍去）．综上，32a=．21．已知函数()2sin()0,||2fxx=+，其图象中相邻的两个对称中心的距离为2，且函数()fx的图象关于直线3x

=−对称；(1)求出()fx的解析式；(2)将()fx的图象向左平移12个单位长度，得到曲线()ygx=，若方程()gxa=在2,63上有两根，（），求+的值及a的取值范围.【答案】见解析【解析】（1）因为函数()2sin()

fxx=+的图象相邻的对称中心之间的距离为2，所以22T=，即周期T=，所以22T==，所以()2sin(2)fxx=+，又因为函数()fx的图象关于直线3x=−轴对称，所以232k−+=+，Zk，即76

k=+，Zk，因为||2，所以6=，所以函数()yfx=的解析式为()2sin26fxx=+；（2）将()fx的图象向左平移12个单位长度，得到曲线()ygx=，所以()2sin23gxx=+

，当2,63x时，252,333x+，22sin233x−+,当3232x+=时，()gx有最小值2−且关于712x=对称，因为方程()gxa=在2,63上有两根，（），所以

772126+==，23a−−，即a的取值范围(23−−，.22．已知函数()()()sin0,0πfxxb=+−的图像两相邻对称轴之间的距离是π2.若将()fx的图像先向右平移π6个单位长度，再向

上平移3个单位长度，图像对应的函数()gx为奇函数.（1）求()fx的解析式；（2）求()fx图像的对称轴及()fx的单调区间；（3）若对任意0,3x，()()()2220fxmfxm−+++恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）

()πsin233fxx=+−（2）对称轴为直线ππ122kx=+，Zk，增区间为()5πππ,πZ1212kkk−++，减区间为()π7ππ,πZ1212kkk++（3）133,2−−−【解析】（1）解：因为2ππ22

=，所以2=，所以()()sin2fxxb=+−.又因为()πsin236gxxb=−+−+为奇函数，且0π，所以()π+32kkZ−+=且30b−+=，又0π，所以π3=，3b=

，所以()πsin233fxx=+−.（2）解：令ππ2π32xk+=+，Zk，得ππ,Z122kxk=+；令πππ2π22π232kxk−+++，Zk，得5ππππ,Z1212kxkk−++；令ππ3π2π22π232kxk+++，Zk，得π7πππ1212kx

k++，Zk.所以函数()fx图像的对称轴为直线ππ122kx=+，Zk.函数()fx的增区间为()5πππ,πZ1212kkk−++，减区间为()π7ππ,πZ1212kkk++.（3）解：因为π0,3x

，所以π233x+，所以π0sin213x+，所以()133fx−−，所以()1313fx−−−−.要使()()()2220fxmfxm−+++恒成立，即()()1

11mfxfx+−−恒成立.令()1tfx=−，1ytt=+，则1ytt=+在()1−−，上单调递增，又()1313fx−−−−，得()()()111+13131133fxfx−−+−−−−

−−，即()()1331431213fxfx−−+−−−，所以1332m−−，即m的取值范围是133,2−−−.