【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第二册 第五章　习题课——函数的单调性的应用含解析【高考】.doc，共(10)页，518.500 KB，由小赞的店铺上传

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1习题课——函数的单调性的应用课后训练巩固提升A组1.若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析:由单调性可知函数的导数在R上恒非负或恒非正,且不恒等于0.当y'=3x2+2x

+m≥0时,对所有x∈R成立,此时应满足Δ=4-4×3m≤0,解得m≥.因为3>0,所以抛物线y'=3x2+2x+m开口向上,所以y'≤0不可能恒成立.因此满足条件的m的取值范围是.答案:C2.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在

R上单调递增”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:f'(x)=x2+a,当a>0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以当a>0时,函数f(x)在R上单调递增.若函数f(x)在R上单调递增,则f'(x)=x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-x2恒成立,

从而a≥0.故“a>0”是“函数f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.2答案:A3.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[

1,+∞)解析:因为f(x)=kx-lnx,所以函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=k-.因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以当x>1时,f'(x)=k-≥0恒成立,即k≥在区间(1,+∞)上恒成立.因为x>

1,所以0<<1,所以k≥1.故选D.答案:D4.已知函数f(x)在定义域R上可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f,c=f(3),则()A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a解析:由题意得,当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,1)上单调递增.由题意得f(3)=f(-1),且-1<0<<1,因此f(-1)<f(0)<f,即f(3)<f(0)<f,所以c<a<b.答案:C5.若函数f(x)=x3+

bx2+cx+d的单调递增区间为(-∞,-1)和(2,+∞),则b=,c=.解析:f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知x<-1或x>2是不等式3x2+2bx+c>0的解集,即-1,2是方程3x2+2bx+c=0的两个根,则-1+2=

-,-1×2=,解得b=-,c=-6.答案:--636.若函数f(x)=x++lnx在区间[1,2]上单调递增,则实数k的取值范围是.解析:∵函数f(x)=x++lnx在区间[1,2]上单调递增,∴f'(

x)=≥0在区间[1,2]上恒成立,∴k≥-x2-x+3对x∈[1,2]恒成立.∵g(x)=-x2-x+3的对称轴为直线x=-2,∴g(x)=-x2-x+3在区间[1,2]上单调递减.∴g(x)max=--1+3=.∴k≥.答案:7.若函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)内不单调,则实数k

的取值范围是.解析:f'(x)=3x2-k,当k≤0时,对x∈R,不等式f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不符合题意,所以k>0.令f'(x)=0,得x=±.因为函数在(-3,-1)上不单调,所以-3<-<-1,

即3<k<27.答案:(3,27)8.已知函数f(x)=ax3+x在R上有三个单调区间,则a的取值范围是.解析:f(x)的导数f'(x)=3ax2+1.若a>0,则f'(x)>0对x∈R恒成立,此时,f(x)只有一个单调区间,与已知矛盾;4若a=0,则f(x)=x,此时,

f(x)也只有一个单调区间,亦与已知矛盾;若a<0,则f'(x)=3a··,f(x)有三个单调区间.故a<0.答案:(-∞,0)9.已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.解:

f'(x)=2x-.若函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,即2x3-a≥0当x∈[2,+∞)时恒成立,∴a≤2x3当x∈[2,+∞)时恒成立,即a≤(2

x3)min,其中x∈[2,+∞).∵y=2x3在区间[2,+∞)上单调递增,∴(2x3)min=16.∴a≤16.当a=16时,只有f'(2)=0.∴a的取值范围是(-∞,16].10.已知函数f(x)=x3-ax-1

.(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(-1,1)内单调递减?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)由已知得f'(x)=3x2-a.∵函数f(x)在(-

∞,+∞)上单调递增,∴f'(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴a≤0.∴实数a的取值范围是(-∞,0].(2)存在.证明如下:若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,则对x∈(-1,1),不等式f'(x

)=3x2-a≤0恒成立,即a≥3x2对x∈(-1,1)恒成立.当x∈(-1,1)时,3x2<3,∴a≥3.∴存在实数a,使函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,实数a的取值范围是[3,+∞).5B组1.若函数f(x)=x3-ax2-x+6在区间(0

,1)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.a≥1B.a=1C.a≤1D.0<a<1解析:f'(x)=3x2-2ax-1,∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,∴不等式f'(x)=3x2-2ax-1

<0对x∈(0,1)恒成立.∴f'(0)≤0,且f'(1)≤0,解得a≥1.故选A.答案:A2.设函数f(x)的导函数为f'(x),且当x∈时,f'(x)cosx+f(x)sinx<0,f(0)=0,则下列判断正

确的是()A.f>2fB.fC.f(ln2)>0D.f解析:设g(x)=,则g'(x)=<0,∴g(x)在区间上单调递减.∴g(ln2)<g(ln1)=g(0)=0.∵0<,∴0>,即0>>2f.6∴f.∵f<

0,∴f>2f.∵f<0,∴f,即f.故选A.答案:A3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f'(x)<,则不等式f(x)<的解集为()A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1}解析:设g(x)=f(x)-,则g'(

x)=f'(x)-<0,故g(x)在R上为减函数,∵g(1)=f(1)-=0,∴g(x)=f(x)-<0的解集为{x|x>1}.故选D.答案:D4.(多选题)若函数exf(x)(e=2.718…,e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有

M性质.给出下列函数,不具有M性质的为()A.f(x)=lnxB.f(x)=x2+1C.f(x)=sinxD.f(x)=x3解析:对于A,f(x)=lnx,令g(x)=exlnx,则g'(x)=ex,令h(x)=lnx+,则h'(x)=,则h(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上

单调递增,故7h(x)≥h(1)=1,所以g'(x)>0,从而g(x)在f(x)的定义域(0,+∞)上单调递增,故f(x)=lnx具有M性质;对于B,f(x)=x2+1,令g(x)=exf(x)=ex(x2+1),则g'(x)=ex(x2+1)+2xex=e

x(x+1)2≥0在R上恒成立,因此g(x)=exf(x)在f(x)的定义域R上单调递增,则f(x)=x2+1具有M性质;对于C,f(x)=sinx,令g(x)=exsinx,则g'(x)=ex(sin

x+cosx)=exsin,显然g(x)在f(x)的定义域R上不单调,故f(x)=sinx不具有M性质;对于D,f(x)=x3,令g(x)=exf(x)=exx3,则g'(x)=exx3+3exx2=exx2(x+3),当x<-3时,g'(x)<0,因此g(x)=exf(x)在

f(x)的定义域R上先单调递减后单调递增,故f(x)=x3不具有M性质.故选CD.答案:CD5.已知函数f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.(1)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),则a的取值集合为;(2)若f(x)在区间(-1,1)

内单调递减,则a的取值集合为.解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+1)(3x+2a-3).(1)∵函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),∴-1和1是方程f'(x)=0的两根,将x=1代入3x+2a-3=0,解得a=0,∴a的取

值集合为{0}.(2)∵f(x)在区间(-1,1)内单调递减,∴f'(x)<0对x∈(-1,1)恒成立.又二次函数y=f'(x)的图象开口向上,一根为-1,∴≥1,解得a≤0.∴a的取值集合为{a|a≤0}.答案

:(1){0}(2){a|a≤0}6.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.解析:∵f(x)(x∈R)为奇函数,且f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0.当x≠0时,令g(x

)=,则g(x)为偶函数,g(1)=g(-1)=0.8∵当x>0时,g'(x)='=<0,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减,在区间(-∞,0)上单调递增.∴在区间(0,+∞)上,当0<x<1时,g(x)>g(1)=0,即>0,即

f(x)>0;在区间(-∞,0)上,当x<-1时,g(x)<g(-1)=0,即<0,即f(x)>0.综上,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).答案:(-∞,-1)∪(0,1)7.若函数f(x

)=x2-alnx在其定义域内的一个子区间(a-2,a+2)上不单调,则实数a的取值范围是.解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞),故a-2≥0,解得a≥2,而f'(x)=x-,令x-=0,解得x=.由题意得a-2<<a+2,解得1<a<4.因此,a∈[2,4).答案:

[2,4)8.已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1],a>0,若f(x)在区间(0,1]上是增函数,则a的取值范围是.解析:由题意知f'(x)=2a-3x2≥0对x∈(0,1]恒成立,所以a≥x2对x∈

(0,1]恒成立.因为x∈(0,1],所以x2∈.所以a≥.故a的取值范围是.答案:9.已知函数f(x)=-2x2+lnx(a≠0)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.9解:函数f(x)的导数f'(x)=-4x+.若函数f(x)在区间[1,2]

上为单调函数,则当x∈[1,2]时,f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0,即≥4x-≤4x-对x∈[1,2]恒成立.设h(x)=4x-,则h'(x)=4+.因为h'(x)=4+>0对x∈[1,2]恒成立,所以函数h

(x)在区间[1,2]上单调递增.所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,解得a<0或0<a≤或a≥1.故a的取值范围是(-∞,0)∪∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2+2x(a≠0).(1)若函数h(x)=f(x)-

g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[1,4]上单调递减,求a的取值范围.解:(1)h(x)=lnx-ax2-2x,则定义域为(0,+∞),h'(x)=-ax-2.因为h(x)在定义域(0,+∞)上存在单调递

减区间,所以h'(x)<0在区间(0,+∞)上有解,即ax2+2x-1>0在区间(0,+∞)上有解.当a>0时,显然不等式有解;当a<0时,因为抛物线的对称轴x=->0,所以只需满足Δ=4+4a>0,得a>-1.因此a的取值范围为

(-1,0)∪(0,+∞).10(2)因为h(x)在区间[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥恒成立.设φ(x)=-1.因为x∈[1,4],所以.所以当时,φ(x)max=φ(4)=-.所以a

≥-.又因为a≠0,所以a的取值范围是∪(0,+∞).