【文档说明】福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期周练（3）数学试题 含答案.docx，共(16)页，571.804 KB，由小赞的店铺上传

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新世纪学校高一年（下）数学周练（3）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若1e，2e是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的

基底的是（）A．12ee−，21ee−B．122ee−，1212ee−C．2123ee−，1264ee−D．12ee+，12ee−2．已知菱形ABCD的边长为2，2,120ECBEABC==，则A

EBD的值为（）A．43B．43−C．23D．23−3．向量()2,1a=r，()3,4b=−，()31,12cmm=−−，若()2cba+⊥，则实数m等于（）A．1B．54C．74D．24．ABC中，点M为AC上的点，且12AMMC=，若BMBABC=+，则−的

值是（）A．1B．12C．13D．235．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则()()DADBDADC++的取值范围是（）A．4,8B．8,24C．2,18D．4,206．一质点在力1F＝(﹣3，5)，

2F＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(-4，0)，则1F，2F的合力F对该质点所做的功为（）A．24B．﹣24C．110D．﹣1107．ABC中，ABAC⊥，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且2ABAC==，则O

AOBOAOC+的最小值为（）A．-2B．2C．-1D．18．已知点P是ABC内的一点，()13APABAC=+，则ABC的面积与PBC的面积之比为（）A．2B．3C．32D．6二、多选题9．已知向量(2,1)a=，(cos,si

n)(0)b=剟，则下列命题正确的是（）A．若ab⊥rr，则tan2=B．若b在a上的投影为12−，则向量a与b的夹角为23C．存在，使得||||||abab+=+D．ab的最大值为310．下列说法中错误的为（）A．已知(1,2)a=，(1,

1)b=，且a与ab+的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3−+B．向量1(2,3)e=−，213,24e=−不能作为平面内所有向量的一组基底C．若//ab，则a在b方向上的投影为||aD．非零向量a和b满足||||||abab==−，则a与ab+的夹角为60°

三、填空题11．与向量()3,4a−＝平行的单位向量是________.12．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________.13．如图所示，直角坐标系中网格小正方形的边长为1，若向量a，b，c满足()0atbc+=r

rr，则t=___________.14．如图，已知ABC为边长为2的等边三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若APABAC=+，则2+的最小值为_______．四、解答题15．在ABC中，3AB=，6AC=，23BAC=，D为边BC的中点，M为中线

AD的中点.（1）求中线AD的长；（2）求BM与AD的夹角的余弦值.16．在ABC中，设BCCACAAB=.（1）求证：ABC为等腰三角形；（2）若2BABC+=uuruuur且2,33B，求BABC的取值范围.参考答案1．D【分

析】根据不共线的向量作为基底即可得出选项.【详解】对于A，由12ee−=()21ee−−，所以两向量共线，故A不能选；对于B，由1222ee−=1212ee−，所以两向量共线，故B不能选；对

于C，由2123ee−()121642ee=−−，所以两向量共线，故C不能选；对于D，12ee+与12ee−不共线，故D选.故选：D2．B【分析】用,BABC作为基底表示,AEBD，然后利用数量积运算求解.【详解】因为2ECBE=，所以13BEBC=，因为13AEABBEB

ABC=+=−+，BDBAADBABC=+=+，所以()13AEBDBABCBABC=−++，222133BABABCBC=−−+，2221222cos120233=−−+，43=−，故选：B3．B【

分析】求出2cb+的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数m的等式，进而可解得实数m的值.【详解】由已知可得()237,92cbmm+=−−，()2cba+⊥，所以，()()223792450cbammm+=−+−=−=

，解得54m=.故选：B.4．C【分析】首先利用向量加，减，数乘运算，求得BM=2133BABC=+，计算−的值.【详解】由12AMMC=可知，13AMAC=，则有BMBAAC=+13BAAC=+()13BABCBA=+−2133BABC=+

，所以，23=，13=，13−=.故选：C5．B【分析】先利用三角形对称性建立坐标系，利用坐标运算得到()()248DADBDADCx++=+，再结合范围求二次函数值域，即得结果.【详解】以BC中点为原点，且令A在y轴正半轴上，建立如图坐标系，则(

2,0)B−，(2,0)C，()0,23A，设(,0)Dx，(22)x−，则(),23DAx=−，(2,0)DBx=−−，(2,0)DCx=−，所以()()()()222,2322,234412DADBDADCxxx++=−−−=

−+248x=+，由22x−知，2488,24x+，故()()DADBDADC++的取值范围是8,24.故选：B.6．A【分析】先求出1F，2F的合力F的坐标、AB的坐标，再求出由共点力平衡得合力F对该质点所做的功.【详解】由题意可知，1F，2F

的合力F=1F+2F=(﹣3，5)+(2，﹣3)=(﹣1，2)，()()410,0514,5AB=−−+=−，则由共点力平衡得合力F对该质点所做的功为()()1214524FAB=−−=,,.故选：A.7．C【分析】根据向量求和的平行四边形法则可以得出2OAOBOAOCOAOM+=

uuruuuruuruuuruuruuur，再利用向量的数量积的运算可以得到22OAOMOAOM=−uuruuuruuruuur，因为2OAOM+=uuruuur，代入计算可求出最小值.【详解】解：在直角三角形ABC中，2ABAC==，则22BC=，因为M为BC的中点，所以

2AM=.设OAx=，()02x()2OAOBOAOCOAOBOCOAOM+=+=uuruuuruuruuuruuruuuruuuruuruuur()()222222OAOMxxxx=−=−−=−uuruuu

r22212x=−−所以当22x=，即22OA=uur时，原式取得最小值为1−.故选：C.8．B【分析】取BC中点为D，根据向量之间关系，得到13PDAD=，过点P作PMBC⊥于点M，过点A作ANBC⊥于点N，得出13PMAN=，进而可得三角形面积之比.【详解】取BC中点为D

，则()12ADABAC=+，因为()13APABAC=+，所以23APAD=uuuruuur，则13PDAD=uuuruuur，因此13PDAD=，过点P作PMBC⊥于点M，过点A作ANBC⊥于点N，则易知RtPDMRtADNV:V，因此13PM

PDANAD==，所以ABC的面积与PBC的面积之比为12312ABCPBCANBCANSSPMPMBC===.故选：B.9．BCD【分析】若ab⊥rr，则tan2=−，故A错误；若b在a上的投影为12−，且||1b=，则2πcos,3ab=，故B正确；若b在a上的投影为1

2−，且||1b=，故当a,b0=，|||||abab=+|+，故C正确；2cossinab+==3sin()+，ab的最大值为3，故D正确.【详解】若ab⊥rr，则2cossin0ab+==，则tan2=−，故A错误；若b在a上的投影为12−，且||1b=，则1||cos

2bab=−，，2πcos,3ab=，故B正确；若2()2ababab=+22++，222(||||)||||2||||ababab+=++，若|||||abab=+|+，则||||cos||||abababab=，=，即cos,

1ab=，故a,b0=，|||||abab=+|+，故C正确；2cossinab+==3sin()+，因为0π，π02，则当π2+=时，ab的最大值为3，故D正确，故选：BCD．10．ACD【分

析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解.【详解】对于A，∵(1,2)a=，(1,1)b=，a与ab+的夹角为锐角，∴()(1,2)(1,2)aab+=++142350=++

+=+，且0(0=时a与ab+的夹角为0)，所以53−且0，故A错误；对于B，向量12(2,3)4ee=−=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于C，若//ab，则a在b方向上的正射影的数量为||a，故C错误；对于D

，因为|||aab=−∣，两边平方得||2bab=，则223()||||2aabaaba+=+=，222||()||2||3||ababaabba+=+=++=，故23||()32cos,2||||3||aaabaabaabaa+

+===+∣，而向量的夹角范围为0,180，得a与ab+的夹角为30°，故D项错误.故错误的选项为ACD故选：ACD11．34,55−或34,55−【分析】设所求单位向量的坐标为(),xy，由与向量()3,4−平行可得340yx−−=，又由其为单位向

量，则221xy+=，联立即可求出答案．【详解】解：设所求单位向量的坐标为(),xy，由与向量()3,4−平行可得340yx−−=，又由其为单位向量，则221xy+=，∴224301xyxy+=+=得：3545xy==−或3545xy=−=

，∴故答案为：34,55−或34,55−12．165【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.【详解】因为A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以(5,4),(4,),ABACa→→==因为A，B，C三点共线，所以//

ABAC→→，故5a－16＝0，所以a＝165.故答案为：165.13．34−【分析】由向量的基本定理，由图知122aee=+，123bee=+，1244cee=+，结合已知条件及向量的运算性质即可求t的值.【详

解】若设x轴、y轴方向上单位向量分别为12,ee，∴由图知：122aee=+，123bee=+，1244cee=+，又∵()0atbc+=rrr，得12124[(13)(2)]()4(34)0teteeet++++=+=，∴34t=−.故答案为：34−.14．1【分

析】如图建系，设P点坐标(cos,sin)，则可得,,APABAC的坐标，根据题意，可得,的表达式，代入所求，根据的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin603O

A==，所以(0,3),(1,0),(1,0)ABC−，如图以BC为直径的半圆方程为：221(0)xyy+=，设(cos,sin)P，因为sin0，所以[,2]，则(cos,sin3)AP=−，(1,3),(1,3)ABA

C=−−=−，因为APABAC=+，所以cossin333=−+−=−−，整理可得113cossin226131sincos262=+−=−−，所以131113322(sincos)cossinsin()2622

2626+=−−++−=−+，因为[,2]，所以713[,]666+，当1366+=时，sin()6+取最大值12，所以2+的最小值为31122−=，故答案为：115．（1）332；（2）5719.【分析】（1）由于()12ADABAC=+，进而根据

向量的模的计算求解即可；（2）由于3144BMABAC=−+，()12ADABAC=+，进而根据向量数量积得278BMAD=，故57cos19BMADBMAD==.【详解】解:（1）由已知，236cos93A

BAC==−，又()12ADABAC=+，所以()222124ADABABACAC=++()1279183644=−+=，所以332AD=.（2）由（1）知，()131444BMAMABABACABABAC=−=+−=−+，所以()29311

7199361681616BM=−−+=，从而3194BM=.()311442BMADABACABAC=−++=()3212799368888−−−+=，所以274257cos81931933BMADBMAD===.解法2：

（1）以点A为原点，AB为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建系，则()0,0A，()3,0B，()3,33C−，因为D为边BC的中点，所以330,2D，330,2AD=，所以332AD=.（2）因为M为中线AD的中点，由（1）知

，330,4M，所以333,4BM=−，所以273199164BM=+=，278BMAD=，所以274257cos81931933BMADBMAD===.16．（1）证

明见解析；（2）22,3−.【分析】（1）BCCACAAB=，知()0CABCAB−=，由0ABBCCA++=，知()CAABBC=−+，所以220ABBC−=，即可证明ABC为等腰三角形；（2）由2,33B，知11cos

,22B−，设ABBCa==，由2BABC+=uuruuur，知2222cos4aaaB++=，所以221cosaB=+，由此能够求出BABC的取值范围.【详解】（1）因为BCCACAAB=，所以()0CABCAB−=，因为0ABBCCA++=，所

以()CAABBC=−+，所以()ABBC−+()0BCAB−=，所以220ABBC−=，所以ABBC=，故ABC为等腰三角形，（2）因为2,33B，所以11cos,22−，设ABBCa==，因为2BABC+=uuruuur，所以24BABC+=，

所以2222cos4aaaB++=，所以221cosaB=+，又因为2cosBABCBABCBa==2cos2cos21cos1cosBBBB==−++，11cos22B−，22221cos3B−−+

，即22,3BABC−.