【文档说明】《九年级数学上册期末重点解答题针对训练（华师大版）》针对训练五 相似三角形有关的证明与计算（解析版）.doc，共(15)页，568.953 KB，由管理员店铺上传

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1华师版数学九上期末重点解答题针对训练五（相似三角形有关的证明与计算）说明：相似有关的证明与计算是华师版九上必考内容，通常先考一个难度不大的解答题，再在压轴题中考查。1、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF•的顶点都在边长为1

持小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=______；（2）判断：△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论；【答案】（1）∠DEF；22；（2）见解析。【解析】（1）解：∠DEF；22（2）证明：△ABC

∽△DEF，可算出DE=2，BC=22，AB=2，EF=2，∴EFBCDEAB==2，且∠ABC=∠DEF，∴△ABC∽△DEF．2、如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．（1）当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求

∠APB的度数．【答案】（1）CD=AC·DB；（2）∠APB=120°．【解析】（1）解：CD=AC·DB（2）解：当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠B，∠A=∠DPB．∵△PCD为等边三角形．∴∠PCD=∠PDC=60°．∴∠A+∠APC=60°，∴∠A+∠B=60°，∴∠APB=120°

．3、如图，已知△ABC中，D是AB上一点，∠B=∠ACD，求证：（1）ABADAC=2；（2）若AD=DB=2，求AC的长.2【答案】（1）见解析；（2）22【解析】（1）证明：∵∠B=∠ACD，∠A=∠A

∴△ACD∽△ABC∴ABACACAD=∴ABADAC=2（2）解：∵AD=DB=2，∴AB=4∴ABADAC=2=2×4=8∵AC＞0∴AC=224、已知，如图，AA/，BB/，CC/相交于O点，且OCCOOBBOOAAO/

//==，求证：△ABC∽△A/B/C/.【答案】见解析；【解析】证明：在△AOB和△A/OB/中，∵OBBOOAAO//=，∠AOB=∠A/OB/∴△AOB∽△A/OB/∴OAAOBAAB///=同理OCCOCBBC///=，OCCOCAAC///=

又OAAO/OCCO/=，∴=//BAAB=//CBBC//CAAC∴△ABC∽△A/B/C/.35、已知，如图△ABC中，D是BC上一点，EG//BC，分别交AB、AD、AC于E，F、G，求证：EF·DC＝FG·BDAE

FGBDC【答案】见解析，【解析】证明：在△AEF和△ABD中∵EF//BD∴△AEF∽△ABD∴ADAFBDEF=同理ADAFDCFG=∴=BDEFDCFG∴EF·DC＝FG·BD6、已知，如图△ABC中，AB＝AC，延长

AB到D，使BD＝AB，E是AB中点，求证：CDCE21=。AEBCD【答案】见解析。【解析】证明：∵AB=AC=BD，AE=EB∴21==ADACACAE又∵∠EAC＝∠DAC∴△AEC∽△ACD∴21==CDECACAE即CDCE21=7、已知，如图平行

四边形ABCD中，E是CB延长线上一点，DE交AB于F，求证：BC·CD＝AF·CE4DCABEF【答案】见解析。【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝BC，∠A＝∠C，AD//CE∴∠ADF＝∠E∴△ADF∽△CED∴CDAF

CEAD=∴CDAFCEBC=∴BC·CD＝AF·CE8、已知，如图AB、CD交于O点，AC//BD，E是AC中点，EO的延长线交BD于F点，求证：F是BD中点.【答案】见解析。【解析】证明：∵AC//BD∴△AOE∽△BOF∴FOEOBFAE=同理FOEODFCE=∴=BFAEDFCE∵A

E＝CE∴BF＝DF即F是BD中点。9、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，•F•分别是AB，BC的中点，EF与BD交于M．（1）求证：△EDM∽△FBM;（2）若DB=9，求BM．5【答案】（1）见解析；（

2）3。【解析】（1）证明：∵E为AB中点，∴AB=2EB，∵AB=2CD，∴CD=EB，又AB∥CD，•∴四边形CEBD为平行四边形，∴CB∥ED，∴==FBMEDMBFMDEM，∴△EDM∽△FBM．（2）∵△E

DM∽△FBM，∴BFDEBMDM=，∵F为BC中点，∴DE=2BF，∴DM=2BM，∴BM=31DB=3．10、如图，小明在时测得某树的影长为3米，时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直。求树的高度.【答案】6米【解析】解：如图，∵∠CDF=∠

FDE=90°，∴∠CFD+∠DFE=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∴∠DFE=∠DCF∴△DFE∽△DCF∴DFDEDCDF=∴362==DCDEDF∴DF=6米11、已知线段OA⊥OB，C为OB的中点，D为AO上一点，连接AC

，BD交于P点．（1）如图①，当OA=OB且D为AO中点时，求PCAP的值；第10题图A时B时A时B时第10题答图CDEF6（2）如图②，当OA=OB，41=AOAD时，求tan∠BPC.【答案】（1

）2；（2）21【解析】解：（1）过点C作CE∥OA交BD于点E，则△BCE∽△BOD.又C为OB的中点，所以BC=OC,所以CE=ADOD2121=.再由CE∥OA得△ECP∽△DAP，所以2==CEADPCAP.（2）过点C作CE∥OA交BD于点E

，设AD=x，则OA=OB=4x，OD=3x.由△BCE∽△BOD，得CE=xOD2321=.再由△ECP∽△DAP，得32==CEADPEPD.由勾股定理可知BD=5x，DE=x25，则32=−PDDEPD，可得PD=x=

AD，则∠BPC=∠DPA=∠A，所以tan∠BPC=tan∠A=21=AOCO.12、如图，矩形ABCD中，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F。（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）当AE=2EF时，判断

FG与EF有何数量关系？并证明你的结论。【答案】（1）见解析；（2）FG=3EF.【解析】（1）证明：∵∠AED=∠CED∴∠AEB=∠CEB又∵∠BAE=∠BCE,BE=BE∴△AEB≌△CEB∴AB=CB又∵四边

形ABCD为矩形∴矩形ABCD为正方形第11题图②ODAPBC①ODAPBC7（2）解：FG与EF有数量关系，为3FGEF=，证明如下：∵AB∥CD∴AB∥FD∴EFAEFDAB=又∵AE=2EF∴212==FDAB即AB=2FD∴CD

=2FD即CF=FD∵BG∥AD∴FDCFAFFG=∴FG=AF又∵AF=3EF∴FG=3EF.13、如图，小华家（点A处）和公路（l）•之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE），广告牌挡住了小华的视线，•请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路记为BC．一辆以

60km/h•匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．【答案】133m．【解析】解：连结AD、AE并延长交公路L于B，C，则BC=50m．易得:△ADE∽△ABC

设小华家到公路的距离为x，则有xx405035−=，∴x≈133m，∴小华家到公路距离为133m．14、有一批形状大小相同的不锈钢钢片，呈直角三角形，如左图，已知：在△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，分别采取图（1），（2）•所示的两种方法截取

一个正方形不锈钢片，且使正方形的面积较大，试比较说明哪种截法更好些．【答案】方法（1）较更好．【解析】解：设方法（1）中正方形边长为x1，有△ADE∽△EFB．8∴111134xxxx−=−解得7121=x．设方法（2）中的正方形边长

为x2，则有AB=5．AB边上高为2.4，△DCE∽△ACB．∴4.24.2522xx−=解得37602=x．∵712＞3760，∴方法（1）的面积较大，则方法（1）较更好．15、如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，点D、E在直线BC上运动，设BD＝x，C

E＝y。（1）如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由。【答案】（1）xy1=；（2）β－2＝90°【解析】解：在△ABC中，A

B＝AC＝1，∠BAC＝30°，∠ABC＝•∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°。又∠DAB＋•∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB

∽△EAC，∴ACBDECAB=即11xy=，∴xy1=当α，β满足β－2＝90°，xy1=仍成立，此时∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α，∴∠CAE＝∠ADB。又∵∠ABD＝∠ACE，∴△A

DB∽△EAC，∴xy1=16、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱

，当支点A移到跷跷板PQ的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？9【答案】（1）狮子能将公鸡送到吊环上；（2）3.6米【解析】解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上．当狮子将跷跷板P端按到底时可得到Rt△PHQ，AB＝1.2（米）.∴QH＝2.4＞2（米）．（2）支点

A移到跷跷板PQ的三分之一处（PA＝31PQ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上，如图，△PAB∽△PQH，31==PQPAQHAB∴QH＝3AH＝3.6（米）17、某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木（如图所示），

他们想在BMCAMD和地带种植单价为10元/米2的太阳花，当AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由.【答案】资金不够用.【解

析】解：梯形ABCD中AD//BCAMD∽BMD，AD=10，BC=20，41)2010(2==BMCAMDSS.∵22200)(5010500mSmSBMCAMD===，还需要资金200×10=2000（元），而剩余资金为2000－500=1500＜

2000，所以资金不够用.18、一条河的两岸可以看做平行，在河的这岸每隔4m有一棵树，•在河的对岸每隔50m有一根电线杆，在离这岸20m处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且这两棵树之间还有4棵树，求河宽．【答案】

30m．【解析】解：根据题意画出图形．AF=20m，BC=20m，DE=50m．∵△ABC∽△ADE，10∴BCAFDEAG=，∴AG=50m，∴河宽GF=30m．19、一易拉罐中还有部分饮料未喝完，小明为了知道还

有多少饮料，•他把一根长18cm的吸管插入罐内，一端与底面边缘相接触，这时量得露在罐外的吸管长为6cm，吸管被饮料浸湿的部分长为6cm，易拉罐的高度为12cm，求罐中所剩饮料的高度．【答案】6cm．【解析】解：12．如图，过D作DM∥

AB交EF于N，交BC于M．∵△DNF∽△DMC，∴DNDFDMDC=，∴DF=6，∴FC=6cm．∴所剩饮料的高度为6cm．20、如图，在一个长40m，宽30m的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地，

当他出发4s后，张华有东西需要交给他，•就从A地出发沿王刚走的路线追赶．当张华跑到距B地38m的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A•处有一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上．（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长

）?（2）求张华追赶王刚的速度是多少（精确到0.1m/s）?【答案】(1)310；(2)3.7【解析】解：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC，∴∠BDE=∠BAC，∠BED=∠BCA，∴△BDE∽△BAC，∴DEACBDAB=．∵AC=223040+=50（m），BD=38（m），AB=40（

m）．∴DE=310（m）．11（2）BE=22DEBD−=2．王刚到达E点所用时间为4023+=14（s），张华到达D点所用时间为14-4=10（s），张华追赶王刚的速度为（40-38）÷10≈3.7（m/s）．21、如图，某一时刻太阳光从教室窗户射入室内，与地面的夹角

∠BPC为30°，窗户的一部分在教室地面所形成的影长PE为3.5米，窗户的高度AF为2.5米，求窗外遮阳篷外端一点D到窗户上椽的距离AD（结果精确到0.1米）【答案】0.8（米）．【解析】解：解：设AD=x

，则AB=33x，CE=y，CF=33y．∴BC=2.5+33y-33x，PC=3.5+y，∵AD∥PE，∴Rt△DAB∽Rt△PCB．∴3332.5333,3.5xyxABCBADPCxy+−==+，∴x≈0.8（米

）．22、如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会儿抬头一看：“怎么看不到水塔了”？心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别为20m和30m，它们之间的距离为30m，小张身高为

1.6m，•小张要想看到水塔，他与教学楼的距离至少应有多少米？【答案】55.2米．【解析】解：设小张与教学楼的距离至少应有x米，则201.630301.6xx−=+−，解之得x=55.2．∴小张与教学楼的距离至少应有55.2米．23、（2020·四川广元?中考真题）已知□ABCD，O为对角线A

C的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．12（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE:AD=1:2，△AOE的面积为2，求□ABCD的面积．【答案】（1）见解析；（2）16.【解析】解：（1）∵四边

形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，EAOFCOOAOCAOECOF===，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵AE:AD=1:2，O为对角线AC的中点，∴AO:AC=1:2，

∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE的面积为2，∴△ADC的面积为8，∴□ABCD的面积为16.24、（2020·江苏苏州中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6

，BC=4，求DF的长．【答案】（1）见解析；（2）5106=DF【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC．∴∠AEB＝∠DAF，13∵DF⊥AE，∴∠DAF=90°．∴∠B=∠DAF，∴△

ABE∽△DFA．（2）解：∵△ABE∽△DFA．∴ADAEDFAB=．∵BC=4，E是BC的中点，∴BE=21BC=21×4=2．∴在Rt△ABE中，102262222=+=+=BEABAE．又∵AD=BC

=4，∴41026=DF，∴5106=DF．25、（2020·四川攀枝花中考真题）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是△ABC的重心．求证：3ADGD=．【答案】见解析【解析】证明：过点D作DH∥AB，交C

E于点H，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，14∴2==DHAEDGAG，∴AG=2GD，即AD=3GD

.26、（2020·山东济宁中考真题）如图,在△ABC中,AB=AC，点P在BC上．(1)求作:△PCD,使点D在AC上，且△PCD∽△ABP；(要求:尺规作图，保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC，求证:PD//AB．【答案】（1）见解析；（

2）见解析【解析】（1）解：∵△PCD∽△ABP，∴∠CPD=∠BAP，故作∠CPD=∠BAP即可，如图，即为所作图形，（2）证明：∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC，∴∠BAP=∠ABC，∴∠BAP=∠CPD=∠ABC，即∠CPD=∠ABC，∴PD∥AB.27、

（2020·浙江杭州中考真题）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．15（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设21=FCAF，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△E

FC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴21==FCAFEC

BE，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴2112=−BEBE，解得：BE＝4；②∵21=FCAF，∴32=ACFC，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴94)32()(22===ACFCSSABCBF

C，∴S△ABC＝49S△EFC＝49×20＝45．