【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：3.3.2 第二课时　抛物线的方程及性质的应用（习题课）含解析.docx，共(9)页，99.886 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(三十三)抛物线的方程及性质的应用(习题课)[A级基础巩固]1．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则圆C的圆心轨迹为()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆解析：选A设圆

C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r，由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r＋1，所以点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹是抛物线．2．已知点(x，y)在抛物线y2＝4x上，则z＝x2＋12y2＋3的最小值是()A．2B．3C．4D．

0解析：选B因为点(x，y)在抛物线y2＝4x上，所以x≥0，因为z＝x2＋12y2＋3＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，所以当x＝0时，z最小，最小值为3.3．(多选)已知抛物线C：y＝x28的焦点为F，A(x0，

y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，则x0等于()A．2B．－2C．－4D．4解析：选CD∵抛物线C：y＝x28，∴x2＝8y，∴焦点F(0，2)，准线方程为y＝－2.∵A(x0，y0)是C上一点，且|AF|＝2y0，由抛物线的定义

，得y0＋2＝2y0，∴y0＝2，∴x20＝16，∴x0＝±4.4．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3x

D．y2＝x解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，作AM，BN分别垂直于准线于点M，N，则|BN|＝|BF|，|AM|＝|AF|.又|BC|＝2|BF|，可得|BC|＝2|BN|，所以∠ACM＝30°，

则|AC|＝2|AM|＝6.设|BF|＝x，则2x＋x＋3＝6，解得x＝1.又|AF|＝x1＋p2＝3，|BF|＝x2＋p2＝1，且x1x2＝p24，所以3－p21－p2＝p24，解得p＝32，所以抛物线的

方程为y2＝3x.故选C.5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(2，0)且与C交于A，B两点，|BF|＝32.若|AM|＝λ|BM|，则实数λ＝()A.32B．2C．4D．6解析：选C由题意得抛物线的

焦点为F(1，0)，准线为x＝－1，由|BF|＝32及抛物线的定义知点B的横坐标为12，代入抛物线方程得B12，±2.根据抛物线的对称性，不妨取B12，－2，则直线l的方程为y＝223(x－2)，联立y＝223（x－2），y2＝4x，得A(8，42)，于是λ＝

|AM||BM|＝4.故选C.6．若抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．解析：双曲线x2－y2＝1的左焦点为(－2，0)，所以－p2＝－2，故p＝22.

答案：227．已知A，B为抛物线y2＝2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝4，∵A，B在抛物线上，∴y21＝2x1，y22＝2x

2，相减得y21－y22＝2(x1－x2)，即y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝24＝12.答案：128．已知抛物线C：y2＝2x，直线l的斜率为k，过定点M(x0，0)，直线l交抛物线C于A，B两点，且A，B位于x轴两侧

，OA―→·OB―→＝3(O为坐标原点)，则x0＝________．解析：设直线l的方程为y＝k(x－x0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，与抛物线方程联立可得y2＝2x，y＝k（x－x0），消y并

整理可得，k2x2－(2k2x0＋2)x＋k2x20＝0，由根与系数的关系可得，x1x2＝x20，则y1y2＝－4x1x2＝－2x0，∵OA―→·OB―→＝3，∴x1x2＋y1y2＝3，即x20－2x0＝3，解得x

0＝3.答案：39．设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．解：(1)直线l：y＝x＋m与抛物线W联立得x2＋

(2m－4)x＋m2＝0，∴Δ＝(2m－4)2－4m2＞0，解得m＜1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，则点Q的纵坐标为y1＋y22＝x1＋m＋x2＋m2＝2.∴点Q的纵坐标为定值2.10.如图，已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦

点为F(0，1)．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．解：(1)由题意可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，则p2＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.(2)设点A

(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋1.由y＝kx＋1，x2＝4y消去y，整理得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，从而|x1－x2|＝4k2＋1.由

y＝y1x1x，y＝x－2，解得点M的横坐标xM＝2x1x1－y1＝2x1x1－x214＝84－x1.同理可得点N的横坐标xN＝84－x2.所以|MN|＝2|xM－xN|＝284－x1－84－x2＝82x1－x2x1x2－4（x1＋x2）＋16＝82k2＋1|4k－3

|.令4k－3＝t，t≠0，则k＝t＋34.当t>0时，|MN|＝2225t2＋6t＋1>22.当t<0时，|MN|＝225t＋352＋1625≥825.综上所述，当t＝－253，即k＝－43时，|MN|取得最小值，最小值是825.[B级综合运用]11．已知直线l与

抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝3，则直线l恒过定点()A．(－63，0)B．(－33，0)C．(－23，0)D．(－3，0)解析：选C设直线l为x＝my＋n，联立x＝my＋n，y2＝6x，消去x可得y2－6

my－6n＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n，因为k1·k2＝3，即y1x1·y2x2＝3，所以y1y2y216·y226＝36y1y2＝36－6n＝3，所以n＝－23，所以x＝my－23，所以直线l一定过点(－2

3，0)．12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，过点E(4，0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AF|＋2|BF|的最小值为()A．3＋22B．3＋82C.178D．9解析：选B因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2，所以p

＝2，抛物线C的方程为y2＝4x.设直线l的方程为x＝my＋4，将此方程代入y2＝4x，整理得y2－4my－16＝0.设Ay214，y1，By224，y2，则y1y2＝－16，所以|AF|＋2|BF|＝y214＋1＋2y224＋1＝y214＋y222＋3

≥2y21y228＋3＝82＋3，当且仅当y214＝y222，即y21＝2y22时等号成立．故选B.13．已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)．过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，则直线l的斜率的取值范围是__

______．解析：因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)．由y2＝4x，

y＝kx＋1得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2)，从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)．答案

：(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1)14．已知动圆E经过定点D(1，0)，且与直线x＝－1相切，设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设过点P(1，2)的直线l1，l2分别与曲线C交于A，B两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值．解：

(1)由已知，动点E到定点D(1，0)的距离等于E到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义知圆心E的轨迹是以D(1，0)为焦点，以x＝－1为准线的抛物线，故曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：由题意可知直线l1，

l2的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l1的方程为y＝k(x－1)＋2，k≠0.直线l2的方程为y＝－k(x－1)＋2，由y＝k（x－1）＋2，y2＝4x得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)

2＝0，已知此方程一个根为1，∴x1×1＝（k－2）2k2＝k2－4k＋4k2，即x1＝k2－4k＋4k2，同理x2＝（－k）2－4（－k）＋4（－k）2＝k2＋4k＋4k2，∴x1＋x2＝2k2＋8k2，x1－x2＝－8kk2＝－8k，∴y1－y2＝[k(x1－1)

＋2]－[－k(x2－1)＋2]＝k(x1＋x2)－2k＝k·2k2＋8k2－2k＝8k，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝8k－8k＝－1，所以直线AB的斜率为定值－1.[C级拓展探究]15．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10，0)，点C的坐标为(0，10)

，分别将线段OA和AB十等分，等分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*，1≤i≤9)．(1)求证：点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过

点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的两积比为4∶1，求直线l的方程．解：(1)证明：法一：依题意，过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝i10x.设Pi的坐标为(x，

y)，由x＝i，y＝i10x，得y＝110x2，即x2＝10y.所以点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.法二：点Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在抛物线E：x

2＝10y上．证明如下：过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i.Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝i10x.由x＝i，y＝i10x，解得Pi的坐标为i，i210.因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，所以点Pi(i∈N*，1≤

i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.由y＝kx＋10，x2＝10y，得x2－10kx－100＝0，此时Δ＝100k2＋400>0，则直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x

1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝10k，①x1·x2＝－100，②因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，分别代入①和②，得－3x2＝

10k，－4x22＝－100，解得k＝±32.所以直线l的方程为y＝±32x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com