【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第一册同步试题 3.1 不等式的基本性质 Word版含解析.docx，共(10)页，635.266 KB，由小赞的店铺上传

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3.1不等式的基本性质一、单选题1．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位m/s），若ab¹，则（）A．甲先到达终点B．乙先到达终点C．甲乙同时到达终点D．无法确定谁先

到达终点【答案】B【解析】设马拉松全程为x，所以甲用的时间为12xxab骣琪+琪桫，乙用的时间为22xxabab=++，因为ab¹，所以()()()()()2412022bxabaxababxabxxxxabababababab骣+++--琪+-==>琪+++桫，所以122xxxabab骣

琪+>琪+桫，则乙先到达终点.故选：B.2．已知p：0abq：2211ab，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0ab时，220ab，所以2211ab，所以充分性

满足，当2211ab时，取2,1ab=−=，此时0ab不满足，所以必要性不满足，所以p是q的充分不必要条件，故选：A.3．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于

24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）A．3枝康乃馨价格高B．2枝玫瑰花价格高C．价格相同D．不确定【答案】B【解析】设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别,xy元，由题意可得：63244522xyxy+

+，令23(63)(45)(64)(35)xymxynxymnxmny−=+++=+++，则642353mnmn+=+=−，解得：11943mn==−11411423(63)(45)242209393xyxyxy−=+−+−=，因此23x

y.所以2枝玫瑰的价格高.故选：B4．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用

一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A．大

于10gB．小于10gC．大于等于10gD．小于等于10g【答案】A【解析】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设ab），先称得的黄金的实际质量为1m，后称得的黄金的实际质量为2m.由杠

杆的平衡原理：15bma=，25amb=．解得15amb=，25bma=，则1255bammab+=+.下面比较12mm+与10的大小：（作差比较法）因为()()2125551010babammabab−+−=

+−=，因为ab¹，所以()250baab−，即1210mm+.所以这样可知称出的黄金质量大于10g.故选：A5．已知11xy−+，13xy−，则32xy−的取值范围是（）A．28,B．3,8C．2,7D．5,10【答案】A【解析】设()()()()

32xymxynxymnxmny−=+−−=−++，所以32mnmn−=+=−，解得：1252mn==−，()()153222xyxyxy−=++−，因为11xy−+，13xy−，所以()()

15322,822xyxyxy−=++−，故选：A.6．设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（）A．22abB．ac<bcC．|a|>－bD．ab−−【答案】B【解析】对于A，因为a<b<0，所以20ab，对a<b同乘以2ab，则有2

2ab，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得ab−−，则选项D成立.故选：B7．《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：

勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色

的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为ab+，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC⊥于点F，则下列推理正确的是（）A．由图1和图2面积相等得2

abdab=+B．由AEAF可得2222abab++C．由ADAE可得222112abab++D．由ADAF可得222abab+【答案】C【解析】对于A，由图1和图2面积相等得()ababd=+，所以abdab=+，故A错误；对于B，

因为AFBC⊥，所以221122ababAF=+，所以22abAFab=+，22abAEdab==+，因为AEAF，所以222abababab++，整理得2222abab++，故B错误；对于C，因为D为斜边BC

的中点，所以222abAD+=，因为ADAE，所以2222ababab++，整理得222112abab++，故C正确；对于D，因为ADAF，所以22222ababab++，整理得222abab+，故D错误．故选：C．8．若实数2是不等式34

0xa−−的一个解，则a可取的最小正整数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵实数2是不等式340xa−−的一个解，∴代入得：640a−−，解得2a，∴a可取的最小整数是3，故选：C．二、多选题9．

已知两个不为零的实数x，y满足xy，则下列说法中正确的有（）A．31xy−B．2xyyC．xxyyD．11xy【答案】AC【解析】对于A：因为两个不为零的实数x，y满足xy，所以0xy−，而=3xy为增函数，所以033=1xy−，即31xy−；故A正确；对于B：可以取2,1xy=

−=−，则有22,1xyy==，所以2xyy；故B不正确；对于C：若0xy时，则有0,0,xyxy−−根据同向不等式相乘得：xxyy−−，即xxyy成立；若0xy时，有0xxyy，故xxyy成立；若0xy时，则有2=xxx，2=yyy，因为0xy，

所以22yx，即xxyy成立；故C正确；对于D：可以取2,1xy=−=，则有111,12xy=−=，所以11xy；故D不正确；故选：AC10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为

等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，Rc，则下列命题正确的是（）A．若0ab，则11abB．若,,abR，则22323abab+C．若0ab，0c

，则0acbc−D．若ab，则ab【答案】ABC【解析】对于A，因为0ab，所以110baabab−−=，故A正确；对于B，()22232330ababab+−=−，故B正确；对于C，若0ab，0c，则acbc，即0acbc−，故C正确；对于D，当2a=−，1b

=时，满足ab，但ab，故D不正确．故选：ABC．11．设实数a、b、c满足2643bcaa+=−+，244cbaa−=−+，则下列不等式成立的是（）A．cbB．1bC．baD．ac【答案】BD【解析】∵2264344bcaa

cbaa+=−+−=−+，两式相减得2222ba=+，即21ba=+，∴1b．又22131024baaaa−=+−=−+，∴ba．而()224420cbaaa−=−+=−．∴cb，从

而cba．故选：BD．12．若0ab，则下列不等式成立的是（）A．abB．2211abC．22acbcD．11abab−−【答案】AD【解析】对于A：由0ab可得ab，故选项A正确；对于B：由0ab可得220ab

，所以2211ab，故选项B不正确；对于C：当0c=时，由0ab可得22acbc=，故选项C不正确；对于D：由0ab可得11ab，所以11ab−−，所以11abab−−，故选项D正确；故选：AD.三、填空题13．已知正数x，y满足x2+2xy+4y

2＝1，则x+y的取值范围是____.【答案】（12，1）【解析】∵正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，可得4y2＜1，即有0＜y12＜，∴x2+2xy+y2＝1﹣3y21(,1)4，即14＜（x+y）2＜1，解得12＜x+y＜1故x+

y的取值范围为（12，1）故答案为：（12，1）14．已知14,24xyxy−+−，则32xy+的取值范围是_____．【答案】3(,12)2−【解析】设,xymxyn+=−=，因此得：,22mnmnxy+−==，14,24mn−，532322222m

nmnmnxy+−+=+=+，因为14,24mn−，所以5510,12222mn−，因此3512222mn−+，所以332122xy−+.故答案为：3(,12)2−15．已知a＞0，b＞

0，则p＝2ba﹣a与q＝b﹣2ab的大小关系是_____．【答案】pq…【解析】因为0a，0b，2bpaa=−与2aqbb=−，所以2222222()()()()0babababababapqababba−−−−−+−=−==…，ba=时取等号，所以pq…．故答案

为：pq…．16．已知,,abc均为正实数，且111,,232425abbccaabbcca+++厖?，那么111abc++的最大值为__________．【答案】4【解析】因为,,abc均为正实数，所以由题可得：22203,04,05abbcacbbcaca+++，即1203ba+

，1204cb+，1205ac+，三式相加得：1110312abc++，所以11104abc++所以111abc++的最大值为4故答案为：4四、解答题17．现有A，B，C，D四个

长方体容器，A，B的底面积均为2a，高分别为a和b，C，D的底面积均为2b，高分别为a和b（其中ab¹）．现规定一种游戏规则：甲、乙两人每人一次从四个容器中取两个且不放回，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【解析】

（1）若先取A、B，后者只能取C、D，因为3223222()()()()()()aababbaabbababab+−+=+−+=+−，显然2()0ab+，而a，b的大小不定，所以2()()abab+−正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握；（2）若先取A、C，后者只能取B、D，因为32

23222222()()()()()()abababaabbababab+−+=+−+=+−，显然220ab+，而a，b的大小不定，所以22()()abab+−正负不确定，所以这种取法没有必胜的把握；（3）若先取A、D

，后者只能取B、C，因为3322222()()()()()()()ababababaabbabababab+−+=+−+−+=+−，又ab¹，0a，0b，所以2()()0abab+−，即3322ababab++，故先取A、D是唯一必胜的方案．18．已知1

5ab+，13ab−−，求32ab−的取值范围.【解析】设()()32abmabnab−=++−，则有：32mnmn+=−=−，解得：1252mn==，所以()()153222ababab−=++−.因为15ab+，所

以()115222ab+，因为13ab−−，所以()5515222ab−−，所以()()1521022abab−++−，即23210ab−−，所以32ab−的取值范围为.19．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.【答案】2,10−【解析】令4a-

2b=x(a+b)+y(a-b)，所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.所以4-2xyxy+==−，，解得13.xy==，因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，所以-33()6ab−所以-2≤4a-2b≤10.20．（1）设0ba，0m，证明：aa

mbbm++；（2）设0x，0y，0z，证明：12xyzxyyzzx+++++.【解析】证明：（1）因为0ba，0m，所以0ab−，0bm+。所以()()()()()0abmbamabmaambbmbbmbbm+−+−+−==+++，故得证；（

2）由不等式的性质知，,,xxyyzzxyxyzyzxyzzxxyz+++++++++，所以1xyzxyzxyyzzxxyzxyzxyz++++=+++++++++，又因为根据（1）的结论可知，,,xxzyxyzyzxyxyzyzxyzzxxyz++++++++++++，所

以2xyzxzxyyzxyyzzxxyzxyzxyz+++++++=+++++++++.所以12xyzxyyzzx+++++.21．已知-2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．（1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b．【解析】（

1）因-2<a≤3，则当-2<a<0时，|a|=-a∈(0，2)，当0≤a≤3时，|a|=a∈[0，3]，所以|a|∈[0，3]；（2）因-2<a≤3，1≤b<2，由不等式加法法则知，-1<a+b<5，所以-1<a+b<5；（3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2<a≤3

，由不等式加法法则知，-4<a-b≤2，所以-4<a-b≤2；（4）由-2<a≤3得-4<2a≤6，由1≤b<2得-6<-3b≤-3，将两个不等式相加得，-10<2a-3b≤3，所以-10<2a-3b≤3.22．已知0ab，0cd.证明：（1）acbd；（2

）aaacbc−−.【解析】解：证明：（1）∵0ab，0c，∴0acbc，又0cdQ，0b，∴0bcbd，故acbd；（2）由0c，得0c−，又0ab，∴0acbc−−，即110acbc−−，又0a，∴aaacbc−−

.