【文档说明】福建省福州市平潭县新世纪学校2021届高三下学期百盛冲刺班数学练习（55）含答案.docx，共(11)页，654.864 KB，由小赞的店铺上传

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百盛高三冲刺班数学练习（55)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，已知圆锥CO的正视图是正三角形，AB是底面圆O的直径，

点D在AB上，且2AODBOD=∠∠，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（）A．34B．12C．14D．342．在直三棱柱111ABCABC−中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，90ACB=，12CC=，若点M为11AB的中点，则直线AM与平面1ABC所成的角为（）A．6B．4C．3

D．123．已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，－1，1)，则两平面的夹角为（）A．45°B．135°C．45°或135°D．90°4．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为

（）A．255B．55C．510D．35105．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（）A．36B．34C．33D．233二、填空题6．正方体1111ABCD

ABCD−的棱长为2，点M和N分别是11BD和11BC的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为__________．7．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为_______.8．如图所示，在长方体1111ABC

DABCD−中11ADAA==，3AB=，点E是棱AB的中点，则点E到平面1ACD的距离为__________．三、解答题9．如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD是菱形，3BAD=，M是棱PB上的点，O是AD中点，且PO⊥底面ABCD，3OPOA=.（1）求证：BC⊥OM；（2

）若35PMPB=，求二面角BOMC−−的余弦值.参考答案1．A【分析】连接CO，以点O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设圆O的半径为2，利用空间向量法可求得异面直线AD与BC所成角的

余弦值.【详解】2AODBOD=，且AODBOD+=∠∠，所以，3BOD=∠，连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设圆O的半径为2，则()0,2,0A−、()0,2,0B、()0,0,23C、()3,1,

0D，()3,3,0AD=，()0,2,23BC=−，63cos,4234ADBCADBCADBC−===−，因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为34.故选：A.2．A【分析】可以建立空间直角坐标系，用向量求解.【详

解】如图，建立空间直角坐标系Cxyz−，则()2,0,0A,()0,2,0B,()10,0,2C,()1,1,2M()1,1,2AM=−，()2,2,0BA=−,()10,2,2BC=−设平面1ABC的法向量为(),,nxyz=，由100nBAnBC=

=可取得一个法向量()1,1,2n=设直线AM与平面1ABC所成的角为则21sincos,222AMnAMnAMn====故直线AM与平面1ABC所成的角为6故选:A.3．A【分析】利用空间平面间的夹角求解即可【详解】cos

〈m,n〉＝12212mnmn−==−urrgurr，即〈m,n〉＝135°，∴两平面的夹角为180°－135°＝45°．故选：A4．A【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，

利用空间向量可求得结果.【详解】以D为原点，1,,DADCDD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，(0,2,0)C,1(0,2,2)C,1(1,2,2)ED=−−，1(0,0,2)CC=，(1,0,0)CE=,设u=(x，

y，z)，1uCC⊥,1uED⊥，则1uCC=(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，1uED＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝220xyz−−+=，∴y＝-12x，令x＝1，则y＝-12，∴u＝(1,

-12,0)，∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝||||uCEu12551104==++，∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝255.故选：A.5．D【分析】设AC∩BD＝O，连接OF，

以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.【详解】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝3，3113(,

0,0),(0,0,),(0,,0),(,0,0)2222−BFCD1(00)2，，=uuurOC∴且OC为平面BDF的一个法向量.由31(,,0)22=−uuurBC，31(,0,)22=−uurFB，可得平面BCF的一个法向量为(

1,3,3)n=2127cos,,sin,77==ruuurruuurnOCnOC23tan,3=ruuurnOC.故选：D6．3010【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，求出(1,1,2)AM=−，

(1,0,2)CN=，利用空间向量夹角余弦公式可得答案.【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A，(1,1,2)M，(0,2,0)C，(1,2,2)N，(1,1,2)AM=−，(1,0,2)CN=，设异面直线

AM和CN所成角为，则||330cos10||||65AMCNAMCN===．异面直线AM和CN所成角的余弦值为3010．故答案为：3010．7．33a【分析】转化为求点B到平面AB1D1的距离后，

建立空间直角坐标系，利用点到面的距离的向量公式可求得结果.【详解】∵11//BDBD，11BD平面BDC1，BD平面BDC1，所以11//BD平面BDC1，同理1//AD平面BDC1，又1111BDADD=，所以平面AB1D1

//平面BDC1，则两平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，(0,,0)Ca，1(,0,)Aaa，1(,,)Baaa，1(0,0,)Da，则1(0,,)ABaa=，

11(,,0)BDaa=−−，(0,,0)BAa=−，设平面AB1D1的一个法向量为(,,)nxyz=，则11100nABnBD==，即00ayazaxay+=−−=，令1x=，则1y=−，1z=，则(1,1,1)n=−r，则点B到平面AB1D1的距离||||nBAdn

=|00|33111aa−+==++，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为33a.故答案为：33a8．31938【分析】以D为坐标原点，直线DA，DC，1DD分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ACD的法向量，利用向量法能求出点E到平面1ACD的距离．【详解】以D为原点，DA

为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系，31,,02E，(1,0,0)A，(0,3,0)C，1(0,0,1)D，(1,3,0)AC=−，1(1,0,1)AD=−，30,,02AE=，设平面1ACD的法向量(,,)nxyz=，则1300nACxynAD

xz=−+==−+=，取1y=，得(3,1,3)n=，点E到面1ACD的距离：||319||38AEndn==，故答案为:31938．9．（1）证明见解析；（2）34.【分析】(1)由底面ABCD是菱形，3BAD=，可

得ABD△为等边三角形，再加上点O是AD中点可证OBAD⊥，进而可得OBBC⊥，再由PO⊥底面ABCD，可得OPBC⊥，结合线面垂直的判定定理及性质定理，即可求证所求证；(2)由题意及(1)可以，以点O为原点，,,O

AOBOP所在的直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法即可求解.【详解】证明：在菱形ABCD中，3BAD=，ABD为等边三角形.又O为AD的中点，OBAD⊥.AD//BC，OBBC⊥.PO⊥底面ABCD，BC平面ABCD，OPB

C⊥.OPOBO=，,OPOB平面POB，BC⊥平面POB.M是棱PB上的点，OM平面POB.BC⊥OM.（2）解：PO⊥底面ABCD，OBAD⊥，建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，设1OA=，则

3==OPOB.(0,0,0)O，(1,0,0)A，(0,3,0)B，(2,3,0)C−，(0,0,3)P，(2,3,0)OC→=−.由35PMPB=，得33323(0,,)555OMOPPB→→→=+=.设(

,,)mxyz→=是平面OMC的法向量，由00OMmOCm→→→→==，得320,230,yzxy+=−=令2y=，则3,3xz==−，则(3,2,3)m→=−.又平面POB的法向量为(1,0,0)n→=，33cos,4349mnmnmn→→→→→→==

=++.由题知，二面角BOMC−−为锐二面角，所以二面角BOMC−−的余弦值为34.