【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第二册 第五章测评含解析【高考】.doc，共(15)页，690.000 KB，由小赞的店铺上传

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1第五章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f(x)=x2-lnx的单调递减区间是()A.B.C.D.解析:函数f(x)的定义域是(0,+∞)

,f'(x)=2x-.令f'(x)≤0,解得0<x≤.故函数f(x)的单调递减区间为.答案:A2.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是()A.1B.C.0D.-1解析:f'(x)=3-12x2.2令f'(x)=0,解得x=-(舍去)或x=.∵f(0)=0,f(1)=-1,

f=1,∴函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1.答案:A3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且f(x)在x=-3处取得极值,则a=()A.2B.3C.4D.5解析:f'(x)=3x2+2ax+3.由题

意知f'(-3)=0,即3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.答案:D4.已知函数f(x)=x2-2cosx,则f(2),f(lo2),f(log23)的大小关系是()A.f(lo2)<f(log23)<f(2)B.f(lo2)<f(2)<f(log23)C.f(lo

g23)<f(lo2)<f(2)D.f(2)<f(log23)<f(lo2)解析:函数f(x)=x2-2cosx,因为f(-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cosx=f(x),所以函数f(x)为偶函数.

f'(x)=2x+2sinx,因为当x∈(0,2π)时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在区间(0,2π)上单调递增.因为|lo2|=|log32|<1<log23<2<2,3所以f<f(log23)<f(2).故选A.答案:A5.已知函数f(x)的导函数f'(x)=a

(x-b)2+c的图象如图所示,则函数f(x)的图象可能是()解析:由导函数的图象,可知f'(0)=0,当x<0时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,排除A,B;当0<x<x1时,f'(x)>0,则函数f(x)在区间(0,x1)上单调递增.因此当x=

0时,f(x)取得极小值.故选D.答案:D6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为P(单位:元),销售量为Q(单位:件),且销售量Q与零售价P满足关系式:Q=8300-170P-P2,则销售该批商品的最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)()A.3

0元B.60元C.28000元D.23000元解析:设毛利润为L(P),由题意知L(P)=P·Q-20Q=Q(P-20)=(8300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11700P-16

6000,则L'(P)=-3P2-300P+11700.令L'(P)=0,解得P=30或-130(舍),此时L(30)=23000.因为在P=30的左侧L'(P)>0,右侧L'(P)<0,所以L(30)是极大值也是最大值,即当零售价

定为每件30元时,有最大毛利润23000元.答案:D47.若函数f(x)=,且0<x1<x2<1,设a=,b=,则a,b的大小关系是()A.a>bB.a<bC.a=bD.a,b的大小不能确定解析:f'(

x)=.设g(x)=xcosx-sinx,则g'(x)=-xsinx+cosx-cosx=-xsinx.当0<x<1时,∵g'(x)<0,∴函数g(x)在区间(0,1)内是减函数.∴g(x)<g(0)=0.∴f'(x)<0.∴函数f(x)在区间(0,1)内是减函数.∴a

>b.故选A.答案:A8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f'(x),满足f'(x)<f(x),且f(x+5)为偶函数,f(10)=1,则不等式f(x)<ex的解集为()A.(0,+∞)B.(1,+

∞)C.(5,+∞)D.(10,+∞)解析:设g(x)=,则g'(x)=.∵f'(x)<f(x),∴g'(x)<0.∴g(x)在R上单调递减.∵函数f(x+5)是偶函数,∴函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称.∴函数f(x)的图象关于直线x=5对称.5∴f(0)=f(10)=1.原不等

式等价为g(x)<1.∵g(0)==1,且g(x)在R上单调递减,∴g(x)<1,即g(x)<g(0)的解集为x>0.∴不等式f(x)<ex的解集为(0,+∞).故选A.答案:A二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列命题中正确的是()A.命题“∃x∈R,使得x2-2x+1<0”的否定是真命题B.x≤1,且y≤1是“x+y≤2”的充要条件C.已知f'(x)是f(x)的导函数,若

∀x∈R,f'(x)≥0,则f(1)<f(2)一定成立D.已知a,b都是正数,且,则a<b解析:命题“∃x∈R,使得x2-2x+1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2-2x+1≥0”,由x∈R,x2-2x+1=(x-1)2≥0恒成立,知A是真命题;当x≤1,且y≤1时,x+y≤2

成立,则充分性成立,当x+y≤2时,x≤1,且y≤1不一定成立,则必要性不成立,故B是假命题;若f(x)是常数函数,则f(1)<f(2)不成立,故C是假命题;a,b都是正数,且,则ab+b>ab+a,即a<b,故D是真命题.故

选AD.答案:AD10.下列四个函数中,既有极小值又有最小值的是()A.y=|x|B.y=ex-x-1C.y=xlnx-5D.y=x-sinx6解析:函数y=|x|,当x=0时,函数取得极小值也是最小值.函数y=ex-x-1,求导得y'=ex-1.令y'=0,解得x=

0.当x<0时,y'<0,函数y在区间(-∞,0]上单调递减;当x>0时,y'>0,函数y在区间(0,+∞)上单调递增.所以当x=0时,函数取得极小值也是最小值.函数y=xlnx-5,y'=lnx+1.令

y'=0,解得x=.根据函数的单调性,可得当x=时,函数y取得极小值也是最小值.函数y=x-sinx,因为x∈(-∞,+∞),sinx∈[-1,1],所以y=x-sinx没有最小值.故选ABC.答案:ABC11.已知函数f(x)=x3-2x2-4x

-7,其导函数为f'(x),下列命题中是真命题的为()A.f(x)的单调递减区间是B.f(x)的极小值是-15C.当a>2时,对任意的x>2,且x≠a,恒有f(x)<f(a)+f'(a)(x-a)D.函数f(x)有且只有一个零点解析:f(x)=x3-2x2-4x-7,其导函数为

f'(x)=3x2-4x-4.令f'(x)=0,解得x=-,x=2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增7所以当x=-时,函数f(x)有极大值,

极大值为f<0,当x=2时,函数f(x)有极小值,极小值为f(2)=-15.故函数f(x)只有一个零点.故A错误,BD正确;设g(x)=f'(x),则g'(x)=6x-4.当x>2时,g'(x)>0,故g(x)即f'(x)在区间(2,+∞)上单调递增.

设G(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)(x>2),则G'(x)=f'(x)-f'(a).令G'(x)=0,得x=a.根据函数的单调性,知函数G(x)在x=a处取得极小值也是最小值G(a)=0

.故当a>0时,对任意的x>2,且x≠a,恒有G(x)>0,即f(x)>f(a)+f'(a)(x-a).故C错误.故选BD.答案:BD12.对于函数f(x)=,下列说法正确的是()A.f(x)在x=处取得极大

值B.f(x)有两个不同的零点C.f()<f()<f()D.若f(x)<k-在(0,+∞)上恒成立,则k>解析:函数f(x)定义域为(0,+∞),f'(x)=.令f'(x)=0,解得x=.当0<x<时,f

'(x)>0,f(x)在区间(0,)内单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)在区间(,+∞)上单调递减.8所以函数f(x)在x=处取得极大值f()=.因为函数f(x)在区间(,+∞)上单调递减,f()=f(2),2>,

所以f(2)<f()<f(),即f()<f()<f().故A,C正确.令f(x)==0,解得x=1,故函数f(x)有一个零点.故B错误.由f(x)<k-,得k>.设g(x)=,则g'(x)=-(x>0).令g'(x)=0,解得x=.根据函数g(x)的单调性,得g(x

)max=g()=,则k>.故D正确.故选ACD.答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.若f(x)=x3-f'(1)x2+x+5,则f'(1)=.解析:f'(x)=3x2-2f'(1)x+1,令x=1,得f'(1)=.答案:1

4.已知函数y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线平行于直线6x+2y+5=0,则f(x)的极大值与极小值之差为.解析:f'(x)=3x2+6ax+3b.9由题意得即解得所以f'(x)=

3x2-6x.令f'(x)=0,解得x=0或x=2.由函数的单调性,可得函数f(x)的极大值点是x=0,极小值点是x=2.所以f(x)极大值-f(x)极小值=f(0)-f(2)=4.答案:415.已知函数f(x)=4lnx+ax2-6x(a为常数),若x=2为f

(x)的一个极值点,则f'(2)=,a=.解析:函数f(x)=4lnx+ax2-6x(a为常数),则f'(x)=+2ax-6.∵x=2为f(x)的一个极值点,∴f'(2)=2+4a-6=0,解得a=1.答案:0116.若函数f(x)=在区间(m,2m+1)内单调递增,则实数m的取值

范围是.解析:f'(x)=.令f'(x)>0,得-1<x<1,则函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).因为f(x)在区间(m,2m+1)内单调递增,所以解得-1<m≤0.答案:(-1,0]10四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知a

,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a和b的值;(2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b.由题意知f'(-1

)=3-2a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x.因为g'(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g'(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-

2.于是函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g'(x)<0;当-2<x<1时,g'(x)>0,故-2是g(x)的极值点.当-2<x<1或x>1时,g'(x)>0,故1不是g(x)的极值点.所以g

(x)的极值点为-2.18.(12分)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因

为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.由题意得解得(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex,f'(x)=e2-x(1-x+ex-1).因为e2-x>0,所以f'(x)与1-x+ex-1同号.设g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.令

g'(x)=0,解得x=1.当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,11则函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,则g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是

函数g(x)在区间(-∞,+∞)上的极小值也是最小值,从而g(x)>0在R上恒成立.所以f'(x)>0在R上恒成立.故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).19.(12分)已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x)(a为常数).(1)若f(x)在x=-1处有极值,求a的值并判断x=-

1是极大值点还是极小值点;(2)若f(x)在区间[-3,-2]上单调递增,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为(-∞,1),f'(x)=2ax-.由题意知f'(-1)=-2a-1=0,解得a=-.从而f'(x)=-x-.∵x<1,∴1-x>0,x-2<0.∴当x<-1时,f

'(x)>0,函数f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增;当-1<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减.∴x=-1是f(x)的极大值点.(2)由题意知f'(x)≥0对x∈[-3,-2]恒成立,即2ax-≥0对x∈[-3,-2]恒成立,∴a≤对x∈[-

3,-2]恒成立.∵-x2+x=-∈[-12,-6],∴.12∴=-.故a≤-,即a的取值范围为.20.(12分)某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投入广告费t(单位:百万元

),可增加销售额约为-t2+5t(单位:百万元)(0≤t≤3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3(单位:百万元)之内,则应投入多少广告费,才能使该公司获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3(单位:百万元),分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改造费x(单位:百万元),可增加的

销售额为-x3+x2+3x(单位:百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)解:(1)设投入t(单位:百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(单位:百万元),则f(

t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3).所以当t=2时,f(t)取得最大值4,即投入2(单位:百万元)的广告费时,该公司获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(单位:百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(单位:百

万元),由此获得收益是g(x)(单位:百万元),则g(x)=-x3+x2+3x+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=-x3+4x+3(0≤x≤3),所以g'(x)=-x2+4.令g'(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.因为当0≤x<2

时,g'(x)>0,函数g(x)在区间[0,2)内单调递增;当2<x≤3时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(2,3]上单调递减.所以当x=2时,g(x)取得极大值也是最大值,即将2(单位:百万元)用于技术改造,1(单位:百万元)用于广告促销,该公司由此获得的收益最大.21.(12分)已知

函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]上的最小值.13解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),对f(x)求导,得f'(x)=-a.①当a≤0时,f'(x)=-a>0,所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

②当a>0时,令f'(x)=-a=0,解得x=.当0<x<时,f'(x)=>0;当x>时,f'(x)=<0,故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);当

a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,所以f(x)的最小值是f(1)

=-a.③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.因为f(2)-f(1)=ln2-a,所以当<a<ln2时,最小值是f(1)=-a;当ln2≤a<1时,最小值为f(2)=ln2-2a.14综上可

知,当0<a<ln2时,函数f(x)的最小值是f(1)=-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln2-2a.22.(12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明x1+x2<2.(1

)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①若a=0,则f(x)=(x-2)ex,函数f(x)只有一个零点.②若a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>

0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.所以函数f(x)在x=1处取得极小值也是最小值f(1)=-e<0.因为f(2)=a>0,取b满足b<0,且b<ln,则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a>0,所以函数f(x)存在两个零点.③若a<0,令f'(x)=0,

解得x=1或x=ln(-2a).若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.因为当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1

,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.因此函数f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)上单调递增.又当x≤1时,f(x)<0,所以函数f(x)

不存在两个零点.综上,a的取值范围为(0,+∞).(2)证明:不妨设x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),15又函数f(x)在区间(-∞,1)上单调递减,所以x1+x2<2,即x1<2-x2等价于f(x1)>f(2-x2)

,即f(2-x2)<0.因为f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2-(x2-2).设g(x)=-xe2-x-(x-2)e

x,则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).当x>1时,g'(x)<0,函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递减.而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.