【文档说明】四川省仁寿第一中学校（北校区）2022-2023学年高二下学期5月期中文科数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.322 MB，由小赞的店铺上传

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仁寿一中北校区高二下期中考试数学试卷（文科）命题人：张进做题人：彭天兰审题人：黄子英一、选择题（共12小题，60分）1.复数z满足2i3iiz−=+（i是虚数单位），则z的共轭复数z对应的点在复平面内位于（）A.第一象限B.第二象

限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算求复数z的代数形式，根据共轭复数的定义求z，根据复数的几何意义确定z在复平面上的对应点的坐标，由此确定其象限.【详解】因为2i13i1i1z−−=+=−+，所以1iz=−−，所以z

在复平面上的对应点的坐标为()1,1−−，点()1,1−−位于第三象限.故选：C.2.已知函数()sincosfxxxx=+，则()fx=（）A.cosxxB.cosxx-C.2sincosxxx+D.sinxx【答案】A【解析】【分析】根据导数运算法则直接求解

即可.【详解】()()()sinsincossincossincosfxxxxxxxxxxxx=++=+−=.故选：A.3.如图，这是甲、乙两位同学在4次数学测试中得分的茎叶图，若从甲、乙两位

同学的4次得分中各抽选1次得分，则甲同学抽选的得分高于乙同学抽选的得分的概率为（）A.38B.716C.58D.916【答案】B【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】从甲、乙两位同学的4次得分中各抽选1次

得分，则共有16种情况，其中甲的得分高于乙的得分的情况有7种，故所求的概率为716．故选：B.4.已知函数()fx可导，且满足0(3)(3)lim2xfxfx→−−=，则函数()yfx=在x＝3处的导数为（）A.2B.1C.－1D.－2【答案】D【

解析】【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3limlim3ΔΔxxfxffxffxx→→−−−−=−−=−，所以()32f=−.故选：D.5.已知复数1i+是关于x的方程20(,R)xpxq

pq++=的一个根，则ipq+=（）A.4B.23C.8D.22【答案】D【解析】【分析】利用代入法，结合复数模计算公式进行求解即可.另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】因为复数1i+是关于

x的方程20xpxq++=的一个根，所以()()()201i1i02i020pqpqpqpp+=++++=+++=+=，解得2,2pq=−=，所以()222222pqi+=−+=；另解：因为复数1i+是关于x的方程20(,R)xpxqpq+

+=的一个根，所以复数1i−也是关于x的方程20(,R)xpxqpq++=的一个根，所以有()()1i1i2,1i1i2pq++−==−+−==的解得2,2pq=−=，所以22pqi+=.故选：D

6.如图所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由题得函数的解析式为2,223,251,5xxyxxxx=−，再分类讨论解方程求出x的值即可求得结果.【详解】由题意可知，函数的解析式为2,223,251,

5xxyxxxx=−.当2x时，2yx=，令yx=，即2xx=，解得0x=或1x=，均合乎题意；当25x时，23yx=−，令yx=，即23xx−=，解得3x=，合乎题意；当5x时，1yx=，令yx=，即1xx=，

解得1x=，舍去；综上所述，x的取值为0、1或3.故选：C.7.某校举办了迎新年知识竞赛，将100人的成绩整理后画出的频率分布直方图如下，则根据频率分布直方图，下列结论不正确的是（）A中位数70B.众数75C.平均数68.5D.

平均数70【答案】D【解析】【分析】根据题意，由频率分布直方图分别计算，即可得到结果.【详解】)40,50频率为1(0.0150.0250.0350.005)100.12−+++=因为最高小矩形的中点横坐标为75，显然众数是75，故B正确；)40,50的频率是

0.1，)50,60的频率是0.15，)60,70的频率是0.25，其频率和为0.5，所以中位数为70，故A正确；平均数450.1550.15650.25750.35850.1950.0568.5=++

+++=，所以C正确.故选:D.8.如果函数()yfx=的图象如图所示，那么导函数()yfx=的图象可能是（）A.B.C.D..的【答案】A【解析】【分析】由函数()fx的图象可知其单调性情况，

再由导函数与原函数的关系即可得解.【详解】由函数()fx的图象可知，函数()fx的单调性为：增—减—增—减，故导函数()fx的情况为：先大于0，然后小于0，再大于0，再小于0，即导函数()fx的图象可能是选项A.故选：A【点睛】本题考查导函数与

原函数的关系，考查识图能力，属于基础题．9.已知函数()()()320,exfxxxx+−=+．则下列结论中正确是（）A.函数()yfx=既有最小值也有最大值B.函数()yfx=无最大值也无最小值C

.函数()yfx=有一个零点D.函数()yfx=有两个零点【答案】C【解析】【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设()32gxxx=+−，函数单调递增，()10g=，故函数有一个零

点，C正确，D错误，得到答案.【详解】()()()2323133eexxxxfxxxx−−+−+−+==，()0,x+，210x+>，e0x，当()0,3x时，()0fx¢>，函数单调递增；当()3,x+时，()0fx，函数单调递减.故函数有最大值，无最

小值，AB错误，设()32gxxx=+−，则()2310gxx=+恒成立，函数单调递增，且()11120g=+−=，故函数有一个零点，C正确，D错误.故选：C10.已知函数3()1fxxx=−+−，以下

判断正确的是（）①()fx有两个极值点；②()fx有三个零点；的③点(0,1)−是()fx曲线的对称中心.A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】C【解析】【分析】求导，根据导函数的正负可判断极值点，即可判断①，根据单调性以及极值即可判断②，根据对称性满足

的关系式即可判断③.【详解】由3()1fxxx=−+−得()231fxx=−+，令()0fx=得33x=，且当33x−和33x时，()0fx，当3333x−时，()0fx¢>，所以33x=均是()fx的极值点，故()fx有两个极值点，故①正确

，由①知，33x=是()fx的极大值点，且33310393f=−+−，()28210f−=−−，所以()fx只有一个零点，故②错误，又33()()()11fxxxxx−=−−+−−−=−，所以()()2fxfx+−=−，故点(0,1)−是()fx曲线的对称中心，所以③正

确，故选:C11.已知函数()sinxxfxeex−=−+，若()()130ftft+−，则实数t的取值范围是（）A.1,2+B.1,2−C.1,4+D.1,4

−【答案】A【解析】【分析】求出函数()fx的定义域，分析函数()fx的奇偶性与单调性，将不等式变形为()()31ftft−，根据函数()fx的单调性可得出关于实数t的不等式，由此可解得实数t的取值范围.【详解】因为函数()sinxxfxeex−=−+的定义域

为R，()()()()sinsinsinxxxxxxfxeexeexeexfx−−−−=−+−=−−=−−+=−,所以，函数()fx为奇函数；()cos2cos2cos0xxxxfxeexeexx−−=+++=+，所以

函数()fx在R上单调递增，因为()()130ftft+−，所以()()()1331ftftft−−=−，所以，31tt−，解得12t.故选：A.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关

系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.12.设253e4a=，35=b，342e5c=，则（）A.b<c<aB.bacC.cbaD.c<a<b【答案

】A【解析】【分析】构造函数()exfxx=，()0,1x，通过其单调性后可得2354ff，整理后可得ac；构造函数()2=exgxx−，由3ln24及()gx单调性可得34

32e，则可得cb.【详解】构造函数()exfxx=，()0,1x，则()()2e10xxxfx−=，得()fx在()0,1上单调递减，又2354，则23235454233223544554eee

eff，即ac.构造函数()2=exgxx−，则()e2xgx=−.令()02lngxx，则()gx在()ln2,+上单调递增.又注意到，33327163164224e.ln

lnln=，则()()34332222212042lnelnlngg−−=−，即3432e.故342335252e5=，即cb.综上所述，b<c<a.故选：A【点睛】关键点点睛：本题涉及比较指数式与分数的大小，难度较大.本题因难以估值及找中间量

，故采用构造函数法比较大小，而构造函数的关键为找到比较式子间的关系.二、填空题（共4小题，2分）13.在极坐标系中，点π4,6A，π2,2B，则线段AB的长为______.【答案】23【解析】【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB

的长即可．【详解】由已知π4,6A，π2,2B，线段AB的长为22ππ42242cos2326AB=+−−=．故答案为：23．14.某学校为了调查学生生活方面的日支出情况，抽出了一个容量为的样本，将数据按[20,30),[30,40),[40,50),

[50,60),[60,70]分成5组，制定成如图所示的频率分布直方图，则=a__________，要从日支出在50,70的样本中用分层抽样的方法抽取10人，则日支出在[60,70]中被抽取的人数为__________．【答案】①.0.005##1200②

.2【解析】【分析】根据频率之和为1可求得a的值，再运用分层抽样中抽样比不变可求得结果.【详解】因为(20.020.0250.045)101a+++=，所以0.005a=，又因为[50,60)内和[60,70]内的

样本个数比例为0.020:0.0054:1=，根据分层抽样可知，日支出在[60,70]中被抽取的人数为110214=+，故答案为：0.005；2.15.一个箱子的容积与底面边长x的关系为()()2900902xVxxx−=，则当箱子的容

积最大时，x=______．【答案】60【解析】【分析】根据()()2900902xVxxx−=，利用导数法求解.【详解】解：因为()()2900902xVxxx−=，所以()2012922−

−=xVxxx，23902=−+xx，令()0Vx=，得60x=，当060x时，()0Vx，当60x时，()0Vx，所以当60x=时，()VX取得最大值，故答案为：6016.若函数()21fxx=+与()2ln1gxax=+的图象存在公共切线，则实数a的最大值为____

__【答案】e【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．【详解】解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（1x，211x+

），与曲线C：g（x）＝2ln1ax+切于点（2x，22ln1ax+），∴2()()2221211221212ln112ln2axxaxxaxxxxxx+−+−===−−，化简可得，2212211212lnxxxxxxx−=−，∴122222?lnxxxx=−∵2122axx=，a

2222222?lnxxx=−，设h（x）2222?lnxxx=−（x＞0），则h′（x）()2x12lnx=−，∴h（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（e）e=，∴实数a的的最大值为e，故答案为e．【点睛】本题考查了导数的几何意义、

斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．三、解答题（共6小题，17题10分，18-22，每题12分，共70分）17.网络购物已经渐渐成为人们购物的新方式.为了调查每周网络购物的次数和性别的关系

，随机调查了100名市民的网络购物情况，有关数据的22列联表如下：10次及10次以上10次以下总计男性322052女性43548总计7525100（1）从这100位市民中随机抽取一位，试求该市民为每周网络购物不满1

0次的男性的概率；（2）请说明能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系？（已知()23.8410.05P）[参考公式：22()()()()()nadbcabcdacbd−=+++

+（其中nabcd=+++）]【答案】（1）0.2（2）能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．【解析】【分析】（1）由22列联表和古典概率公式可得所求值；（2）计算出卡方，即可判断．【小问1详解】由22列

联表可得，每周网络购物不满10次的男性的概率200.2100P==；【小问2详解】由题意可得，22100(3252043)10.473.84175255248−=，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为每周网络购物次数与性别有关系．18.设32()39.f

xxxxa=−−+（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若函数()fx的极大值为10，求函数()fx在22−，上的最小值．【答案】（1）单调递增区间为()1−−，和()3+，；（2）17−.【解析】【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）

知函数的单调区间，找到()fx在=1x−处取得极大值，可求出a，求得最小值.【小问1详解】2()3693(3)(1)fxxxxx=−−=−+，由()0fx¢>得3x或1x−，所以()fx的单调递增区间为()1−−，和()3+，；【小问2详解】由(

Ⅰ)知函数()fx在=1x−处取得极大值，即()110f−=，得5a=，则32()395fxxxx=−−+，所以()fx在21−−，上单调递增，在12−，上单调递减，又()23f−=，()217f=−，所以()fx在22−，上的

最小值为17−．19.已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14.（1）求n的值；（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小

球标号为a，第二次取出的球标号为b.记“2ab+=”为事件A，①求事件A的概率；②在区间0,4内任取2个实数x，y，求事件“222()xyab+−”恒成立”的概率.【答案】（1）1n=；（2）①13；②116−.【解析】【分析】（1）由134=+nn可得答案；（2）①用列举

法和古典概型概率的计算公式可得答案；②事件B等价于224xy+恒成立，(,)xy可以看做平面中的点，由几何概型可得答案.【详解】（1）依题意134=+nn，所以1n=；（2）①将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为

A，B，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：(0,),(0,),(0,2),(,0),(,),ABAAB(,2),(,0),(,),(,2),(2,0),(2,),(2,),ABBA

BAB共12种，事件A包含4种：(0,2),(,),(,),(2,0)ABBA，所以1()3PA=；②因为2()-ab的最大值为4，所以事件B等价于224xy+恒成立，(,)xy可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域(,)04,04Cxyxy=，事

件B所构成的区域22(,)4,,BxyxyxyC=+，则44()14416PBpp?==-´.20.已知函数()lnfxxax=−．（1）若()fx在)1,+上单调递增，求a的取值范围．（2）求()fx的单调区间.【答案】（1）(,1]−（2）

答案见详解【解析】【分析】（1）求导，分0a和0a讨论可得；（2）根据（1）中结论可得单调区间.【小问1详解】()fx的定义域为(0,)+，()1axafxxx−=−=，当0a时，()0fx，()fx在(0,)+单调递增，满足题意；当0a时，令()0xafxx−

=，解得0x（舍去）或xa，要使()fx在)1,+上单调递增，则1a，所以01a.综上，a的取值范围为(,1]−.【小问2详解】由（1）可知，当0a时，()fx在(0,)+单调递增，当0a时，(

)fx在(,)a+单调递增，令()0xafxx−=，解得0xa，()fx在(0,)a单调递减.综上，当0a时，()fx的单调递增区间为(0,)+；当0a时，()fx的单调递增区间为(,)a+，单调递减区间为(0,)a

.21.如图是某采矿厂的污水排放量y（单位：吨）与矿产品年产量x（单位：吨）的折线图：（1）依据折线图计算x，y的相关系数r，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系?（若0.75r，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）若可用线性回归模型拟合y与x的关

系，请建立y关于x的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.相关公式：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−回归方程ybxa=+$$$中，()(

)()121niiiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$.【答案】（1）0.95，可用线性回归模型拟合y与x的关系（2）1.92.3yx=+，40.3（吨）.【解析】【分析】（1）代入数据，算出相关系数r，将其绝对值与0.75比较，即可判断

可用线性回归模型拟合y与x的关系．（2）先求出回归方程，求出当20x=时值，即为预测值．【小问1详解】1234535x++++==，379101185y++++==，因为()52110iixx=−=，()52140iiyy=−=，

()()5119iiixxyy=−−=，所以()()()()5122551119190.950.75201040iiiiiiixxyyrxxyy===−−====−−，的所以可用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问2详解】∵()()()51251191.910iii

iixxyybxx==−−===−，()11234535x=++++=，()1379101185y=++++=，∴81.932.3a=−=.∴y关于x的线性回归方程为1.92.3yx=+，将20x=代入线性回归方程可得，1.9202.340.3y=

+=，∴当年产量为20（吨）时，污水排放量为40.3（吨）.22.已知函数()ln21xfxx−=+，()()exgxmfx=+（mR，e为自然对数的底数）.（1）求函数()fx的极值；（2）若对()0,x+，()0gx恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）极大

值为311e+，无极小值（2）31,e−−【解析】【分析】（1）求导后，根据()fx的正负可求得()fx的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为()2lnexxxmhxx−−=在()0,+上恒成

立；求导后可令()3lnxxx=−+，利用导数可求得()x的单调性，利用零点存在定理可求得()x的零点，并得到()hx的单调性，由此可求得()minhx，化简可得()3min1ehx=−，由此可求得m的取值范围.【小问1详解】()fx定义域为()0,+，()23ln

xfxx−=，当()30,ex时，()0fx¢>；当()3e,x+时，()0fx；()fx\在()30,e上单调递增，在()3e,+上单调递减，()fx\的极大值为()331e1ef=+，无极小

值.【小问2详解】由()0gx得：ln2e10xxmx−++，2lnexxxmx−−在()0,+上恒成立；令()2lnexxxhxx−−=，则()()()()()22112ln113lneexxxxxxxxxxhxxx−−−−−++−

+==；令()3lnxxx=−+，则()1110xxxx+=+=，()x在()0,+上单调递增，又()2ln210=−，()3ln30=，()02,3x，使得()00x=，则00ln

3xx=−，当()00,xx时，()0hx；当()0,xx+时，()0hx；()hx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，()()0000min02lnexxxhxhxx−−==；由00ln3xx=−得：()0000lnlnelne3xxxx+==，030

eexx=，()()00003min02ln1eexxxhxhxx−−===−，31em−，则实数m的取值范围为31,e−−.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离

变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com