【文档说明】《2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型图析高分突破（人教版）》全等变化模型六 半角模型（解析版）.docx，共(14)页，4.246 MB，由envi的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

全等变化模型六半角模型【模型展示】【模型条件】BCDECFDBDCBCABCD==+=21180，，中，四方形【模型结论】FDBEEF+=①BEFCEEFDCF平分，平分②证明：【模型应用】【模型巩固】【例6-1】如图，正方形ABCD中，∠EAF的两边分别与边B

C、CD交于点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H，且∠EAF＝45°．（1）当∠AEB＝55°时，求∠DAH的度数；（2）设∠AEB＝α，则∠AFD＝（用含α的代数式表示）；（3）求证：∠AEB＝∠AEF．【解答】解：（1）由ABCD为正方形，则∠

DAB＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，当∠AEB＝55°时，∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣55°＝35°，∴∠DAH＝90°﹣∠EAF﹣∠EAB＝90°﹣45°﹣35°＝10°，（2）由四边形ABCD为正方形可知，∠ABE＝∠ADF＝∠BAD＝90°，∵∠AEB＝α，∴∠

EAB＝90°﹣α，∴∠DAF＝∠BAD﹣∠EAB﹣∠EAF＝90°﹣（90°﹣α）﹣45°＝α﹣45°，∴∠AFD＝90°﹣∠DAF＝90°﹣（α﹣45°）＝135°﹣α．故答案为：135°﹣α．（3）证明：将△ADF

绕点A顺时针旋转90°得到△ABI，可得E、B、I三点共线，由旋转可知∠DAF＝∠BAI，AF＝AI，∵∠DAF+∠EAB＝90°﹣∠EAF＝45°，∴∠BAI+∠EAB＝45°＝∠IAE，在△EAF和△EAI中，，∴△EAF≌△EAI（SAS）．∴∠AEF

＝∠AEI＝∠AEB．【例6-2】在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN，垂足为H，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动．①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系．②求证：AB＝AH．【解答】解：①DN﹣BM＝MN．证明如下：如图，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△

ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴M

N＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN；②∵△MAN≌△FAN，∴∠HNA＝∠DNA，∵∠H＝∠D＝90°，AN＝AN，∴△AHN≌△ADN（AAS），∴AD＝AH，∵AD＝AB，∴AH＝AB．【例6-3】如图（1），

在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△

ECF＝6，求S△BEF的值．【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△C

OF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+

∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OB

AC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4∴S△BEF的值为4．【例6-4】如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点

，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；【

解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），

∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（

2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝

∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．【模型拓展】【拓展6-1】如图，已知(,)Aab，ABy⊥轴于B，且满

足22(2)0ab−+−=，（1）求A点坐标；（2）分别以AB，AO为边作等边三角形ABC和AOD，如图1试判定线段AC和DC的数量关系和位置关系．（3）如图2过A作AEx⊥轴于E，F，G分别为线段OE，AE上的两个动点，满足45FBG=

，试探究OFAGFG+的值是否发生变化？如果不变，请说明理由并求其值；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得：20a−=且20b−=，解得：2a=，2b=，则A的坐标是(2,2)；（2）ACCD=，且ACCD⊥．如图1，连接OC，CD，A的坐标是(2,2)，2AB

OB==，ABC是等边三角形，30OBC=，OBBC=，75BOCBCO==，在直角ABO中，45BOA=，754530AOCBOCBOA=−=−=，OAD是等边三角形，30DOCAOC==，即OC

是AOD的角平分线，OCAD⊥，且OC平分AD，ACDC=，6075135ACODCO==+=，36013513590ACD=−−=，ACCD⊥，故ACCD=，且ACCD⊥．（3）不变．延长GA至点M，使AMOF=，连接BM，在BAM与BOF中，ABOBBAM

BOFAMOF===，()BAMBOFSAS，ABMOBF=，BFBM=，9045OBFABGFBG+=−=，45MBG=，在FBG与MBG中，BMBFMBGFBGBGB

G===，()FBGMBGSAS，FGGMAGOF==+，1OFAGFG+=．【拓展6-2】如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分ACB与y轴交于D点，90CAOBDO=−．（1）求

证：ACBC=；（2）在（1）中点C的坐标为(4,0)，点E为AC上一点，且DEADBO=，如图2，求BCEC+的长；（3）在（1）中，过D作DFAC⊥于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3)，当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足GDHGDOFDH=+

，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．【解答】（1）证明：90CAOBDO=−，CAOCBD=．在ACD和BCD中ACDBCDCAOCBDCDCD===，()AC

DBCDAAS．ACBC=．（2）解：由（1）知CADDEADBO==，BDADDE==，过D作DNAC⊥于N点，如右图所示：ACDBCD=，DODN=，在RtBDO和RtEDN中BDDEDODN==，RtBDOR

tEDN(HL)，BOEN=．在DOC和DNC中，90DOCDNCOCDNCDDCDC====()DOCDNCAAS，可知：OCNC=；28BCECBOOCNCNEOC+=++−

==．（3）GHFHOG=+．证明：由（1）知：DFDO=，在x轴的负半轴上取OMFH=，连接DM，如右图所示：在DFH和DOM中90DFDODFHDOMOMFH====，()DFHDOMSAS．DHDM=，1ODM=．122GDHODMGDM=+

=+=．在HDG和MDG中DHDMGDHGDMDGDG===，()HDGMDGSAS．MGGH=，GHOMOGFHOG=+=+．【拓展6-3】如图1，ACB为等腰三角形，90A

BC=，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角PAQ，QEAB⊥于E．（1）求证：PABAQE；（2）连接CQ交AB于M，若2PCPB=，求PCMB的值；（3）如图2，过Q作QFAQ⊥交AB的延长线于点F，过P点作DPAP⊥交AC于D，连

接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子QFDPDF−的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．【解答】（1）证明：ACB为等腰三角形，90ABC=，点P在线段BC上（不与B，C重合），以A

P为腰长作等腰直角PAQ，QEAB⊥于E．APAQ=，90ABPQEA==，90QAEBAPBAPAPB+=+=，QAEAPB=，在PAB和AQE中，ABQQEAQAEAPBAQPA===，()PABAQEAAS

；（2）解：PABAQE，AEPB=，ABCB=，QECB=．在QEM和CBM中，QMECMBQEMCBMQECB===，()QEMCBMAAS，MEMB=，ABCB=，AEPB=，2PCPB=，BE

PC=，2PCPB=，2PCMB=，2PCMB=；（3）式子QFDPDF−的值不会变化．如下图2所示：作HAAC⊥交QF于点H，QAAP⊥，HAAC⊥，APPD⊥，90QAHHAPHAPPAD+=+=，90AQHAPD==，QAHPAD=，PAQ为等腰直角三角形，

AQAP=，在AQH和APD中，AQHAPDAQAPQAHPAD===，()AQHAPDASA，AHAD=，QHPD=，HAAC⊥，45BAC=，HAFDAF=，在AHF和ADF中，AHADHAFDAFAFAF===，()

AHFADFSAS，HFDF=，1QFDPQFQHHFDFHFHF−−===．