【文档说明】《2022-2023学年八年级数学上册全等三角形模型图析高分突破（人教版）》全等变化模型三 角平分线模型（解析版）.docx，共(11)页，3.310 MB，由envi的店铺上传

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全等变化模型三角平分线模型【模型展示】【模型条件】如图1，BOBPAOAPAOBOP⊥⊥，，平分如图2，ABOPAOBOP⊥，平分如图3，BOAOAOBOP=，平分【模型结论】.BOPABP△△【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等三角形绕某一直

线翻折而得；从图形的结构分析，是一个角的角平分线，再取一组对应边或者对应角相等，即可得到全等三角形。【知识链接】三角形角平分线定理，等腰三角形三线合一【模型总结】①如图1，角平分线上的点到角的两边距离相等（角平分线定理）；②如图2，等腰三角形的角平分线垂直平分底边（等

腰三角形三线合一）；③如图2，如果一个三角形的高线、中线、角平分线有两条重合，那么这个三角形是等腰三角形（等腰三角形三线合一）。【模型巩固】【例3-1】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40

°，P，Q分别在BC，CA上，AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线．求证：BQ+AQ＝AB+BP．【解答】证明：延长AB到D，使BD＝BP，连接PD，则∠D＝∠5．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠1＝∠2＝30°，∠ABC＝180

°﹣60°﹣40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠C，∴QB＝QC，又∠D+∠5＝∠3+∠4＝80°，∴∠D＝40°．在△APD与△APC中，∴△APD≌△APC（AAS），∴AD＝AC．即AB+BD＝AQ+QC，∴AB+BP＝BQ+AQ．

【例3-2】如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A＝60°，求证：BC＝BE+CD．【解答】证明：在BC上取一点O，使得BO＝BE，∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣60°＝120°∵∠A＝60°，BD、CE是△AB

C的角平分线，∴∠BFC＝120°，∴∠BFE＝∠CFD＝60°，在△BFE和△BFO中，，∴△BFE≌△BFO，（SAS）∴∠BFO＝∠BFE＝60°，∴∠CFO＝∠BFC﹣∠BFO＝60°，在△OCF和△OCD中，，∴△OCF≌

△DCF（ASA），∴CO＝CD，∵BC＝BO+CO，∴BC＝BE+CD．【例3-3】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M为AC的中点，OM⊥AC交∠ABC的平分线于O，OE⊥AB交BA的延长线于E，OF⊥BC．垂足为F．（1）求证：AE＝C

F．（2）求线段BE的长．【解答】（1）证明：连接OA,∵OB平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF．∵OM⊥AC，M为AC中点，∴OM垂直平分AC，∴OA＝OC，在Rt△AEO与Rt△CFO中，,∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），∴AE＝CF；（2）解：在Rt△BEO与Rt

△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（HL），∴BE＝BF，∵AB＝7，BC＝14，设AE＝CF＝x，∴x+7＝14﹣x，∴，∴．【例3-4】如图，在四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．（1）求证：OC平

分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD＝AC．【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE，∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD；（2）在Rt△ABO和Rt△A

EO中，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝×180°＝90°，∴OA⊥OC；（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE，∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝

AC．【例3-5】在ABC中，BE、CF分别平分ABC和ACB，BE和CF相交于D点，若AABE=．求证：EBECBCBF+=+．【解答】如图，延长CB至G，使得BGBF=，连接FG，则GGFB=．FBCGGFBA

BECBE=+=+，AABE=，GABEA==，又ACFBCF=，CFCF=，()ACFGCFASA．ACGC=，即AEECGBBC+=+．AABE=，AEEB=．EBECFBBC+=+．【例3-6】如图

，已知等边三角形ABC，点D为线段BC上一点，以线段DB为边向右侧作△DEB，使DE＝CD，若∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，则∠DBE的度数是（）A．（m﹣60）°B．（180﹣2m）°C．（2m﹣90）°D．（120﹣m

）°【解答】解：如图，连接AE．∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠ABC＝60°，∵∠ADB＝m°，∠BDE＝（180﹣2m）°，∴∠ADC＝180°﹣m°，∠ADE＝180°﹣m°，∴∠ADC＝∠ADE，∵AD＝AD，DC＝DE，∴△ADC≌△ADE（SAS），∴∠C＝∠AE

D＝60°，∠DAC＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DBA，∴∠BDE＝∠BAE＝180°﹣2m，∵AE＝AC＝AB，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣180°+2m）＝m，∴∠DBE＝∠ABE﹣∠ABC＝（m﹣60）°，故

选：A．【模型拓展】【拓展3-1】在RtABC中，90ABC=，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．ACDE=，BCBE=．（1）求证：ABBD=；（2）BF平分ABC交AC于点F，点G

是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分AKG时，求证：AKDGKG=+．【解答】证明：（1）在RtACB和RtDEB中，ACDEBCBE==，RtACBRtDEB(HL)

，ABBD=，（2）如图：作BM平分ABD交AK于点M，BM平分ABD，KB平分AKG，45ABMMBD==，AKBBKG=，45ABFDBG==MBDGBD=，在BM

K和BGK中，MBDGBDBKBKAKBBKG===，()BMKBGKASA，BMBG=，MKKG=，在ABM和DBG中，ABBDABMDBGBMBG===

，()ABMDBGSAS，AMDG=，AKAMMK=+，AKDGKG=+．【拓展3-2】在ABC中，ABAC=，在ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F

，连接BD．（1）如图1，若100BAC=，求BDF的度数；（2）如图2，ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BNDN=，求证：MBMN=．【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形ACD中，60CADADC==，ADAC=．E为AC的中点，

1302ADEADC==，ABAC=，ADAB=，160BADBACCAD=+=，10ADBABD==，20BDFADFADB=−=．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．CM平分ACB，设ACMBCM==，ABAC=，2A

BCACB==．在等边三角形ACD中，E为AC的中点，DNAC⊥，NANC=，NACNCA==，60DAN=+，在ABN和ADN中，ABADBNDNANAN===()ABNADNSSS，30ABNADN==，60BANDAN

==+，602BAC=+，在ABC中，180BACACBABC++=，60222180+++=，20=，10NBCABCABN=−=，30MNBNBCNCB

=+=，MNBMBN=，MBMN=．【拓展3-3】已知：在ABC中，BD是边AC的高，BE为CBD的角平分线，且ADDE=．AO为ABC的中线，延长AO到点F．使得//BFAC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．（1）求证：BF

CDDE=+；（2）若45C=．求证：BDBG=．【解答】证明：（1）//BFAC，BFOCAO=，FBOACO=，又AO为ABC的中线，BOCO=，在BOF与COA中，BFOCAOFBOACOBOCO===，()BOFCOAAAS

，BFCACDAD==+，ADDE=，BFCDDE=+；（2）BD垂直平分AE，BABE=，BACBEA=，又//BFAC，BEAEBFBAC==，在BAC与EBF中，ACBFBACEBFBAEB==

=，()BACEBFSAS，45BFEC==，又90BGECFECBDE=+==，在BEG与BED中，BGEBDEEBGEBDBEBE===，()BEGBEDAAS，BGBD=．【拓展3-4】在等腰ABC中，ABAC=，点D

是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且ABAE=，AF平分CAE交DE于点F，连接FC．（1）如图1，求证：ABEACF=；（2）如图2，当60ABC=时，在BE上取点M，使BMEF=．求证：AFM是等边三角形；（3）如图3，当45ABC=

，且//AEBC时，求证：2BDEF=．【解答】证明：（1）AF平分CAE，EAFCAF=，ABAC=，ABAE=，AEAC=，在ACF和AEF中，AEACEAFCAFAFAF==

=，()ACFAEFSAS，EACF=，ABAE=，EABE=，ABEACF=；（2）如图2，在FB上截取BMCF=，连接AM，ACFAEF，EFCF=EACFABM==，在ABM和ACF中，ABACABMACFBMCF===，()AB

MACFSAS，AMAF=，BAMCAF=，ABAC=，60ABC=，ABC是等边三角形，60BAC==+=+=60BAMMACCAFMACMAFAMAF=，AMF为等边三角形；（3）如图

3，延长BA、CF交于N，//AEBC，EEBC=，ABAE=，ABEE=，ABFCBF=，45ABC=，22.5ABFCBF==，45ACB=，180454590BAC=−−=

，22.5ACFABF==，18022.54522.590BFC=−−−=90BFNBFC==，在BFN和BFC中，NBFCBFBFBFBFNBFC===，()BFNBFCASA，CFFN=，22CN

CFEF==，90BAC=，90NACBAD==，在BAD和CAN中，ABDACNABACBADCAN===，()BADCANASA，BDCN=，2BDEF=．