【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测:3.3.2 第一课时 抛物线的简单几何性质含解析.docx,共(9)页,82.123 KB,由小赞的店铺上传
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课时跟踪检测(三十二)抛物线的简单几何性质[A级基础巩固]1.顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(-4,-2)的抛物线的标准方程为()A.y2=-xB.x2=-8yC.y2=-8x或x2=-yD.y2=-x或x2=-8y解析:选D若焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=ax,将点P(-4,
-2)的坐标代入,得a=-1,所以抛物线的标准方程为y2=-x.若焦点在y轴上,设方程为x2=by,将点P(-4,-2)的坐标代入,得b=-8,所以抛物线的标准方程为x2=-8y.故所求抛物线的标准方程是y2=-x或x2=-8y.
2.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:选C∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过定
点(1,0).∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.3.过点(1,0)作斜率为-2的直线,与抛物线y2=8x交于A,B两点,则弦AB的长为()A.213B.215C.217D.219解析:选B设A(x1,y1),B(x
2,y2).由题意知AB的方程为y=-2(x-1),即y=-2x+2.由y2=8x,y=-2x+2得x2-4x+1=0,∴x1+x2=4,x1x2=1.∴|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+4)×(16-4)=5×12=215.4.抛物线y2=4x与直线2
x+y-4=0交于两点A与B,F是抛物线的焦点,则|FA|+|FB|等于()A.2B.3C.5D.7解析:选D设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|+|FB|=x1+x2+2.由y2=4x,2x+y-4
=0得x2-5x+4=0,∴x1+x2=5,x1+x2+2=7.5.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上的一点,则△ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48解析:选C
不妨设抛物线方程为y2=2px(p>0),依题意,l⊥x轴,且焦点Fp2,0,∵当x=p2时,|y|=p,∴|AB|=2p=12,∴p=6,又点P到直线AB的距离为p2+p2=p=6,故S△ABP=12|AB|·p=12×12×6=36.6.抛物线y2=x上
到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________.解析:设抛物线上点的坐标为(x,±x),此点到准线的距离为x+14,到顶点的距离为x2+(x)2,由题意有x+14=x2+(x)2,∴x=18,∴y=±24,∴此点坐标为18,±24.答案:
18,±247.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点,则|FN|=________.解析:如图,过点M作MM′⊥y轴,垂足为M′,易知|OF|=2,∵M为FN的中点,∴|MM′|=1,∴M到准线距离d=|MM
′|+p2=3,∴|MF|=3,∴|FN|=6.答案:68.已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等,点A的轨迹与过点P(-1,0)且斜率为k的直线没有交点,则k的取值范围是________.解析:依题意得点A所在的曲线方程为y2=4x
.过点P(-1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),由y2=4x,y=kx+k,得ky2-4y+4k=0,当k=0时,显然不符合题意;当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·4k<0,化简得k2-1>0,解得k>1或k<
-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解
:设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,∵|AF|=3,∴y0+p2=3,∵|AM|=17,∴x20+y0+p22=17,∴x20=8,代入方程x20=2py0得,8=2p
3-p2,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.10.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的标准方程.解:如图,依
题意可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+12p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,则由抛物线定义,得|AB|=|AF|+|FB|=|AC
|+|BD|=x1+p2+x2+p2,即x1+x2+p=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是直线和抛物线的交点,由y=-x+12p,y2=2px消去y,得x2-3px+p24=0.所以x1+x2=3p,②将②代
入①,得p=2.所以抛物线的标准方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可求得抛物线标准方程为y2=-4x.故抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-4x.[B级综合运用]11.(多选)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于点P(x1,y1)
,Q(x2,y2),点P在l上的射影为P1,则()A.若x1+x2=6,则|PQ|=8B.以PQ为直径的圆与准线l相切C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥2D.过点M(0,1)与抛物线C有且仅有一个公共
点的直线至多有2条解析:选ABC对于A,因为p=2,所以x1+x2+2=|PQ|,则|PQ|=8,故A正确.对于B,设N为PQ的中点,点N在l上的射影为N1,点Q在l上的射影为Q1,则由梯形性质可得|NN1|=|PP1|+|QQ1|2=|PF|+|QF|2=|PQ|2,故B正确.对于C,因
为F(1,0),所以|PM|+|PP1|=|PM|+|PF|≥|MF|=2,故C正确.对于D,显然直线x=0,y=1与抛物线只有一个公共点.设过M的直线为y=kx+1(k≠0),由y=kx+1,y2=4x可得k2x2+(2k-4)x+1=0.令Δ=(2k-4)2-4
k2=0,解得k=1,所以直线y=x+1与抛物线也只有一个公共点,所以有三条直线符合题意,故D错误,故选A、B、C.12.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为坐标原点.若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则直线AB的方程为_______
_.解析:由抛物线的性质知A,B关于x轴对称.设A(x,y),则B(x,-y),焦点为Fp2,0.由题意知AF⊥OB,则有yx-p2·-yx=-1.所以y2=xx-p2,2px=xx-p2.因为x
≠0.所以x=5p2.所以直线AB的方程为x=5p2.答案:x=5p213.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MA―→·MB―→=0,则k=________.解析:由题意可知,抛物线的焦点为(2,0).设A(x1,y1),B(x2
,y2),直线AB的方程为y=k(x-2).由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,则x1+x2=4k2+8k2,x1x2=4.y1+y2=k(x1-2)+k(x2-2)=k(x
1+x2-4)=8k,y1y2=-8x18x2=-16.∴MA―→·MB―→=(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2-2(y1+y2)+4=x1x2+2(x1+x2)+4-
16-16k+4=0,解得k=2.答案:214.已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解:(1)因为直
线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=3,又F32,0,所以直线l的方程为y=3x-32.联立y=3x-32,y2=6x,消去y整理得4x2-20x+9=0,解得x1=12,x2=92
,故|AB|=1+(3)2×92-12=2×4=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3,又准线方
程是x=-32,所以M到准线的距离等于3+32=92.[C级拓展探究]15.如图,AB为过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,点A,B在抛物线准线上的射影为点A1,B1,且A(x1,y1),B(x
2,y2).(1)求证:|AF|=x1+p2,|BF|=x2+p2,|AB|=x1+x2+p;(2)求证:x1x2=p24,y1y2=-p2;(3)求证:以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;(4)求证:1|AF|+1|BF|=2p;(5)若直线AB的倾斜角为α,求证:|AB|
=2psin2α.证明:(1)由抛物线的定义知|AF|=|AA1|=x1+p2,|BF|=|BB1|=x2+p2,|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p.(2)当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为
y=kx-p2,根据图形知k≠0.联立抛物线方程和直线方程,消去x得y2-2pky-p2=0,∴y1y2=-p2,x1x2=y212p·y222p=p24.当直线AB的斜率不存在时,x1=x2=p2,∴x1x2=
p24,y21y22=4p2x1x2=p4,y1=-y2,∴y1y2=-p2.综上,y1y2=-p2,x1x2=p24.(3)设线段AB的中点为D,点D到准线的距离为d,则d=|AA1|+|BB1|2=|AF|+|BF|2=|AB|2,∴以AB为直径的圆与准线相切.(4)当直线AB的斜率存在时
,设直线AB的方程为y=kx-p2,k≠0.联立抛物线方程和直线方程,消去x得y2-2pky-p2=0.∴y1+y2=2pk,y1y2=-p2.∵x1+x2=y1k+p2+y2k+p2=y1+y2k+p=2pk2+p,x1x2=p24,∴1|AF|+1|BF|=1|
AA1|+1|BB1|=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+px1x2+p2(x1+x2)+p24=2pk2+2pp2+p2k2=2p.当直线AB的斜率不存在时,x1=x2=p2,∴|AF|=|BF|=p2+p2=p.∴1|AF|+1|BF|=1p+1p=
2p.(5)设线段AB的中点为D,点D到准线的距离为d,则d=|AA1|+|BB1|2=|AF|+|BF|2=|AB|2,∴以线段AB为直径的圆与准线相切.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-p2,k≠0.由y=kx-p2,y2=2px,得ky2-
2py-kp2=0.∴y1+y2=2pk,y1y2=-p2.∴|AB|=1+1k2·|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2=1+1k2·2p1+k2|k|=2p(1+k2)k2=2p(1+tan2α)tan2α=2psin
2α.易验证,当直线AB的斜率不存在时结论也成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com