【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第一册同步试题 3.2 基本不等式 Word版含解析.docx，共(11)页，630.441 KB，由小赞的店铺上传

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3.2基本不等式一、单选题1．已知,ab为正实数，且196abab+=++，则ab+的最小值为（）A．6B．8C．9D．12【答案】B【解析】由题意，可得()()()()21996610616baabababababab+=++

+=++++++，则有()()26160abab+−+−，解得8ab+，当且仅当2a=，6b=取到最小值8.故选：B.2．已知正实数a，b满足196ab+=，则()()19ab++的最小值是（

）A．8B．16C．32D．36【答案】B【解析】因为正实数a，b满足196ab+=，所以19962abab=+，即1ab，当且仅当19=ab时，即1,33ab==时取等号.因为196ab+=，所以96b

aab+=，所以()()919=9797916aababbba++++=+=++.故()()19ab++的最小值是16.故选：B3．若不等式210xax++对于一切10,2x恒成立，则a的最小值是（）A．0B．2−C．52−D．3−【答案】C【解析】因

为不等式210xax++对于一切10,2x恒成立，所以1axx−+对一切10,2x恒成立，所以max110,2axxx−+，

又因为()1fxxx=+在10,2上单调递减，所以()min1522fxf==，所以52a−，所以a的最小值为52−，故选：C.4．已知集合1,1,0,1,2AxNxB==−，则AB的子集的

个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意0,1AB=，因此它的子集个数为4．故选：D．5．若实数124(1)2xyxy+=＞，＞，则11-12-1xy+的最小值为（）A．12B．1C．43

D．2【答案】D【解析】由条件可知，1212xy−+−=，所以()()111111211212121xyxyxy+=+−+−−−−−12111211222221212121yxyxxyxy−−−−=+++=

−−−−，当211121yxxy−−=−−，即211yx−=−，结合条件124(1)2xyxy+=＞，＞，可知2,1xy==时，等号成立，所以11-12-1xy+的最小值为2.故选：D6．若对任意

正数x，不等式22214axx++„恒成立，则实数a的取值范围为()A．[0，)+B．1[,)4−+C．1[,)4+D．1[,)2+【答案】B【解析】解：依题意得，当0x时，2222144xaxxx+=++…恒成立，又因为44xx+…，当且仅当2x=时取等号，

所以，24xx+的最大值为12，所以1212a+…，解得a的取值范围为1[,)4−+．故选：B．7．某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本

工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位60030xx+−元（试剂的总产量为x单位，50200x），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位【答案】D【解析】解：设每生产单位试剂的成本为y，因为试剂

总产量为x单位，则由题意可知，原料总费用为50x元，职工的工资总额为750020x+元，后续保养总费用为60030xxx+−元，则250750020306008100810040240220xxxxyxxxxx+++−+==+++=，当且仅当8100

xx=，即90x=时取等号，满足50200x，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．8．若00ab，，则下面结论正确的有（）A．()2222()abab++B．若142ab+=，则92ab+C．若22abb+=，则4ab+D．若1ab+=，则ab

有最大值12【答案】B【解析】对于选项A：若00ab，，由基本不等式得222abab+，即()()2222abab++，当且仅当ab=时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若00ab，，11412ab+=，()11414522baaba

aabbb+=++=++1495222baab+=，当且仅当142ab+=且4baab=，即3,32ab==时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由00ab，，()22abbbab+=+=，即2abb+=，如2b=

时，2142ab+==，所以选项C不正确；对于选项D：2124abab+=，当且仅当12ab==时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B二、多选题9．已知正实数a，b满足abab+=，则（）A．4ab+B．6abC．232

2ab++D．221abba+【答案】ACD【解析】对于B，当2ab==时，满足abab+=，此时6ab，B错误；对于A，2()4abab+„，则2()4abab++…，变形可得4ab+…，当且仅当2ab==时等号成立，A正确；对于C，abab+=，变形可得111a

b+=，则有1122(2)()3322baabababab+=++=+++…，当且仅当2ab=时等号成立，C正确；对于D，3322222222()()1211abababababbabaababab+++−+===+−−=…，当且仅当2ab==时等号成立，D正确；故选

：ACD10．设,xyR+，Sxy=+，Pxy=，以下四个命题中正确的是（）．A．若P为定值m，则S有最大值2mB．若SP=，则P有最大值4C．若SP=，则S有最小值4D．若2SkP总成立，则k的取值范围为4k【答案】CD【解析】

P为定值m时，S应有最小值2m，∴A不正确；当SP=时，2xyxyxyxy+=min244xyxyP=，∴B不正确；2min()444xySPxyxyxyS+=+=+=，当且仅当2xy==，等号成立，∴C正确；由22SSkPkP，又2222224S

xyxyxyxyPxyxy+++==，∴2min4SP=，∴4k，∴D正确．故选：CD.11．已知实数00ab，，且满足()()114ab−−=，则下列说法正确的是（）A．ab有最小值B．ab有最大值C．ab+有最小值D．ab+

有最大值【答案】AC【解析】323ababab=+++，解不等式得1ab−或3ab，故9ab，等号当且仅当3ab==时取得，故ab有最小值9，则A对，B错；232ababab+=++，解不等式得2ab+−或6ab+，又00ab，，故6ab+，当且仅当3ab==

时取等号，故ab+有最小值6，则C对，D错，故选：AC．12．下列说法正确的是（）A．()10xxx+的最小值是2B．2222xx++的最小值是2C．2254xx++的最小值是2D．423xx−−的

最小值是243−【答案】AB【解析】当0x时，1122xxxx+=（当且仅当1xx=，即1x=时取等号），A正确；222222xxx+=++，因为20x，所以2222222xxx+=++，B正确；222222541142444xxxxxx+++==

+++++，当且仅当22144xx+=+，即23x=−时，等号成立，显然不成立，故C错误；当1x=时，4232345243xx−−=−−=−−，D错误.故选:AB.三、填空题13．有一批材料可以建成200m长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一

块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.【答案】22500m【解析】如图所示：设每个小矩形长为x米，宽为y米，显然,0xy，则依题意可知43200x

y+=，设围成的整个矩形场地的面积为S，所以22114312003(4)(3)()()250044242xySxyxy+====，当且仅当43xy=时取等号，即当10025,3xy==时取等号，因此max2500S=.故答案为：22500m14．

已知0,0ab，且1ab=，则11822abab+++的最小值为_________．【答案】4【解析】0,0,0abab+，1ab=,11882222abababababab++=++++882422abababab++=+=++，当且仅当ab+=

4时取等号，结合1ab=,解得23,23ab=−=+，或23,23ab=+=−时，等号成立.故答案为：415．若正数a、b满足1ab+=，则113232ab+++的最小值为________.【答案】47【解析】已知正数a、b

满足1ab+=，则()()32327ab+++=，所以，()()32321111323273232ababab++++=+++++1323213232422273232732327babaabab

++++=+++=++++，当且仅当12ab==时，等号成立.因此，113232ab+++的最小值为47.故答案为：47.16．若0ab，且ab¹，则abba+与2的大小关系是______．【答

案】2abba+【解析】由题意，因为0ab且ab¹，所以0,0abba，且abba，由基本不等式可得22ababbaba+=，当且仅当abba=是等号成立，又由abba，所以等号不成立，所以2abba+.故答案为2abba+.四、解答

题17．若x,y为正实数,且280xyxy+−=,求xy+的最小值.【答案】18【解析】822801xyxyxy+−=+=()8282828210102418yxyxxyxyxyxyxy+=++=+++=+

++=(当82yxxy=时取“=”)所以xy+的最小值是18.18．（1）已知正数ab、满足121ab+=，求ab的最小值；（2）已知1x，求函数1()1fxxx=+−的最大值．【答案】（1）8；（2）－1【解

析】（1）因为正数a，b满足121ab+=，所以1212222ababab+=，得8ab，当且仅当12ab=时，即2,4ab==时取等号，则ab的最小值为8；（2）因为1x，所以1<0x−，所以()()111()112111111fxxxxxxx

=+=−++−−+=−−−−当且仅当111xx−=−，即0x=时取等号，所以1()1fxxx=+−的最大值为－1．19．（1）用篱笆围一个面积为2100m的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱

笆的长度是多少？（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为xm、ym，篱笆的长度为()2xym+.（1）由已知得100xy=，由2xyxy+，可得2

20xyxy+=，所以()240xy+，当且仅当10xy==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m；（2）由已知得()236xy+=，则18xy+=，矩形菜园的面积为2xym.由18922xyxy+==

，可得81xy，当且仅当9xy==时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是281m.20．已知集合2540Pxxx=−+∣，11Sxmxm=−+∣.（1）用区间表示集合P；（2）是否存在实数m，使得xP是xS的______条件.若

存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上：①充分不必要；②必要不充分；③充要.【解析】（1）因为254xx-+即()()140xx−−，所以14x，2|1

,4045Pxxx==−+.（2）若选择①，即xP是xS的充分不必要条件，则11mm−+且11,14mm−+（两个等号不同时成立），解得3m，故实数m的取值范围是[3,)+．若选择②，即xP是xS的必要不充分条件．当S=时，11mm−+，解得0m．当

S时，11mm−+且11,14,mm−+（两个等号不同时成立），解得0m=．综上，实数m的取值范围是(,0−．若选择③，即xP是xS的充要条件，则PS=，即11,14,mm−=+=此方程组无解，则不存在实数m，使xP是x

S的充要条件．21．已知1260a<<，1536b<<，求2ab−，2ab的取值范围．【解析】因为1536b<<，所以72230b−−−．又1260a<<，所以127226030ab−−−，即60230ab−−．因为1260a<<，所以242120a<<，因为15

36b<<，所以1113615b，所以2421203615ab，即2283ab．所以2ab−的取值范围是()60,30−，2ab的取值范围是2,83．22．已知,xy都是正数，且1xy+=，（1）求14

xy+的最小值；（2）求1xxy+的最小值．【解析】(1)14xy+()1445xyxyxyyx=++=++.因为,xy都是正数，所以由基本不等式得，4424xyxyyxyx+=，所以

149xy+，当且仅当13x=，23y=时等号成立.所以14xy+的最小值为9.(2)1xxy+1xyxyxxyxy+=+=++.因为,xy都是正数，所以由基本不等式得，22yxyxxyxy++=，所以13xxy+，当且仅当12x

=，12y=时等号成立.所以1xxy+的最小值为3.