【文档说明】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）2-2 基本不等式 （第2课时）（分层作业） 含解析【高考】.doc，共(21)页，2.109 MB，由小赞的店铺上传

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2.2基本不等式（第2课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）函数()210xyxx+=的值域为（）A．[1,)+B．(1,)+C．[2,)+D．(2,)+【答案】C【分析】根据基本

不等式即可求出．【详解】因为2112xyxxx+==+，当且仅当1x=时取等号，所以函数()210xyxx+=的值域为[2,)+．故选：C．2．（2022·全国·高一）已知0ab，1ab+=，则11ab+的最小值为（）A．0.5B．

1C．2D．4【答案】D【分析】利用基本不等式进行求解.【详解】因为0ab，1ab+=，所以112ababbaababab+++=+=++224baab+=（当且仅当baab=，即12ab==时取等号），即11ab+的最小值为4.故选：D.

3．（2022·河南南阳·高一阶段练习）已知0a，0b且2510ab+=，则ab的最大值为（）A．2B．5C．32D．52【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.【详解】因为2510225abab+=，所以52ab，当且仅当5,12ab==时，等号成立.所以ab

的最大值为52.故选：D4．（2021·全国·高一专题练习）若对任意的(0,)x+都有1xax+，则a的取值范围是（）A．(2−，B．()2−，C．(2,)+D．[2,)+【答案】A【解析】利用基本不等式，可求得1xx+的最小值，即可求得答案.【详解】因为(0

,)x+，则1122xxxx+=，当且仅当1xx=，即x=1时等号成立，所以2a，故选：A5．（2022·全国·高一课时练习）下列说法正确的为（）A．12xx+B．函数()22243xyx+=+的最小值为4C．若0,x则(2)xx−最大值为

1D．已知3a时，44233+−−aaaa，当且仅当43=−aa即4a=时，43+−aa取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.【详解】对于选项A,只有当0x时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,()22243xyx+=+

()222223122333xxxx++==++++，令()233xtt+=，即()223yttt=+在)3,+上单调递增，则最小值为min2832333y=+=,则B不正确；对于选项C,()()22(2)211111xxxxx−=−−++=−−+，则C正确；对于选项D,

当3a时，()444332337333aaaaaa+=−++−+=−−−，当且仅当433aa−=−时，即5a=，等号成立，则D不正确.故选：C.6．（2022·全国·高一课时练习）已知0a，用基本不等式求19aa+的最小值时，有11929aaaa+

，则取得最小值时a的值为（）A．19B．16C．13D．3【答案】C【分析】利用基本不等式取等号的条件进行求解.【详解】因为0a，所以11929aaaa+，当且仅当19aa=，即13a=时，等号成立，即取得最小值．故选：C7．（2022·全国·高一课时练习）某汽车客

运站购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x()*xN为二次函数关系，如图所示，则当每辆客车营运的年平均利润yx最大时，其营运年数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【分析】先由题意，根据待定系数法求出函数解析式，再由基本不等式即

可求解.【详解】由题意可设()26110yax=−+()0a，且当4x=时，70y=，即()27046110a=−+，解得10a=−，所以()2106110yx=−−+()*xN，所以()2106110251012

0xyxxxx−−+==−++252012020xx−+=，当且仅当25xx=，即5x=时取等号．故选:C．8．（2021·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）已知1x，则x+11x−的最值为（）A．最小值2B．最大值2C．最小值3D．最大值

3【答案】C【分析】配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值.【详解】因为1x，故111121311xxxx+=−+++=−−，当且仅当2x=时取得最小值3；令1,0xtt−=，对函数11ytt=++，其在()0,1单调递减，在()1,

+单调递增，无最大值.故1x时，x+11x−无最大值.故选：C.9．（2021·江苏·高一专题练习）若不等式11kxyyzxz+−−−对满足条件的xyz恒成立，则实数k的最大值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】根据已知及基本不等式可得11

4xyyzxz+−−−，可求出实数k的最大值．【详解】解：根据2112abab++(0)ab，，当且仅当ab=时，取等号，化简可得114abab++，因为xyz，所以0xy−，0yz−，所

以运用114abab++，可得114xyyzxz+−−−，当且仅当xyyz−=−，即2yxz=+时，取等号，又因为11kxyyzxz+−−−恒成立，所以4k，即k的最大值是4．故选：B．10．（20

22·全国·益阳平高学校高一期末）已知ab，且8ab=，则222abab+−−的最小值是（）A．6B．8C．14D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【详解】因为8ab=，所以()2222

16ababababababab−++==−+−−−.因为ab，所以0ab−，所以16162()8abababab−+−=−−，即28abab+−，当且仅当4ab−=时，等号成立，故222abab+−−的最小值是6.故选：A二、多选题11．

（2022·全国·高一）设正实数mn､满足2mn+=，则（）A．12mn+的最小值为22B．mn+的最小值为2C．mn的最大值为1D．22mn+的最小值为2【答案】CD【分析】由已知条件结合基本不等式及其相关变形，分别检验各个选项即可判断正误.【详解】对于选项A，3221

21222mnnmmnmnmn+=++=++32232222mnnm++=，当且仅当2=mnnm且2mn+=时，即222m=−，422n=−时取等号，则A错误；对于选项B，()2222mnmn

mnmn+=++=+24mn++=,当且仅当1mn==时等号成立，则2mn+，即mn+的最大值为2，则B错误；对于选项C，2mnmn+，即212mnmn+=，当且仅当1mn==时，等号成立，则C正确；对于选项D，()222242mnmnmnmn+=+−=−24222m

n+−=，当且仅当1mn==时，等号成立，则D正确,故选:CD.12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）已知x，y都为正数，且21xy+=，则（）A．2xy的最大值为14B．224xy+的最小值为12C．()xxy+的

最大值为14D．11xy+的最小值为322+【答案】ABD【分析】利用基本不等式结合已知条件逐个分析判断.【详解】对于A，因为x，y都为正数，且21xy+=，所以221224xyxy+=，当且仅当2xy=即14x=，12

y=时取等号，所以2xy的最大值为14，所以A正确，对于B，因为21xy+=，所以()22242414xyxyxyxy+=+−=−，由选项A可知18xy，所以2214142xyxy+=−，当且仅当14x=，12y=时取等号，所以224xy+的

最小值为12，所以B正确，对于C，因为21xy+=，所以()2124xxyxxy+++=，当且仅当xxy=+，即12x=，0y=时取等号，但x，y都为正数，故等号取不到，所以C错误，对于D，因为x，y都为正数，且21

xy+=，所以()1111223322yxxyxyxyxy+=++=+++，当且仅当2yxxy=即即212x=−，21y=−时取等号，所以11xy+的最小值为322+，所以D正确，故选：ABD三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习

）用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为______m．【答案】32【分析】首先设框架的宽为x，再表示框架的面积，利用基本不等式求最值，

即可求框架的宽.【详解】设框架的宽为x，则其高为62x−，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积S最大，()()()2396223222xxSxxxx+−=−=−=，当且仅当3xx=−，即32x=时等号成

立，故框架的宽为32m．故答案为：3214．（2021·全国·高一课时练习）已知54x，则函数1445yxx=+−的最大值为___________.【答案】3【分析】由于5,4504xx−，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x，所以450x−，540

x−,()1144554545yxxxx=+=−++−−()()11545254535454xxxx=−−++−−+=−−当且仅当15454xx−=−，即1x=时，等号成立.故当1x=时，y取最大值，即max3y=.故答案为：3.15．（2022·甘肃·张掖市第二中学

高一阶段练习）函数()()32211fxxxx=+−−的最小值是___________.【答案】26【分析】利用基本不等式求函数最小值，注意等号成立的条件即可.【详解】由题设知10x−，则33()2(1)22(

1)2611fxxxxx=−+−=−−，当且仅当6112x=+时等号成立，故函数最小值为26.故答案为：26.16．（2021·吉林油田高级中学高一开学考试）若“()0,x+，不等式1axx+恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．

【答案】(),2−【分析】根据基本不等式求出()0,x+，12xx+，根据不等式“()0,x+，不等式1axx+恒成立”可得答案.【详解】由基本不等式可知()0,x+，1122xxxx+=（当且仅当x＝1时取“＝”），因

为“()0,x+，不等式1axx+恒成立”，故2a,故答案为：(),2−17．（2021·江苏·高一专题练习）若关于x的不等式240xax−+恒成立，则a的取值范围是________．【

答案】(,4−【分析】当0x=时，240xax−+成立；当0x时，240xax−+恒成立等价于4axx+恒成立，有基本不等式得出a的取值范围.【详解】当0x=时，2440xax−+=，不等式成立；当0x时，根据240xax−+恒成立，则等价于4axx+恒成立，44xx

+，当且仅当2x=时等号成立；只需4a即可．故答案为：(4−，18．（2022·江苏·高一）已知0x，0y，且112xy+=，则2xy+的最小值为_________【答案】322+【分析】利用基本不等式“1”的妙用进行求解【详解】因为112xy+=，所以11122xy+=，所以()1

1133221222222222xyxyxyxyxyyxyx+=++=++++=+，当且仅当2xyyx=，即2122,24xy++==时，等号成立，故答案为：322+19．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()28(1)1xfxxx+=−

的最小值为___．【答案】8【分析】令10tx=−，则1xt=+，化简得到()92fttt=++，集合基本不等式，即可求解.【详解】因为1x，令10tx=−，则1xt=+，又因为()28(1)1xfxxx+=−，可得()22(1)89922ttftttttt++++===++，因为9

926tttt+=，当且仅当9tt=时，即3t=，即4x=时，等号成立，所以()min8ft=，即()fx的最小值为8.故答案为：8.20．（2022·江苏·高一）当2x−时，函数2462++=+xxyx的最小值为___________．【答案】22【分析】将函

数解析式变形为()222yxx=+++，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为2x−，则20x+，则()()22224622222xxxyxxxx++++===+++++()222222xx+=+，当且仅当22x=−时，等号成立，所以，当2x−时，函数2462++

=+xxyx的最小值为22.故答案为：22.四、解答题21．（2021·全国·高一课时练习）设02x，求函数()383yxx=−的最大值.【答案】4【分析】根据题意,设3(83)txx=−,结合二次函数的性质分析可得当43x=时,3(83)txx

=−有最大值16,进而分析可得3(83)yxx=−的最大值,即可得答案.【详解】解:根据题意,设3(83),02txxx=−则23(83)924txxxx=−=−+,(02)x分析可得当43x=时,3(83)txx=−有最大值16,则此时3(83)yxx=−有最大值16

4=;故函数3(83)yxx=−的最大值为4.【点睛】本题考查函数最值的计算,关键是转化思路,利用二次函数的性质求出函数3(83)txx=−的最大值.22．（2022·全国·高一专题练习）求函数2254xyx+=+的最值.【答案】最小值为52，无最大值【分析】利用分式变形结合换元法构造对勾函

数，利用对勾函数最值求解即可【详解】解：22222254114444xxyxxxx+++===+++++，令24tx=+，则2t，因为对勾函数1ytt=+在)2,+上单调递增，当2t=时，取得最小值52.故2254xyx+=+的最小值为52，无最大值.【能力提升】一、单选题1．（2021

·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足2241xyxy+−=，且不等式20xyc++恒成立，则c的取值范围是（）A．()23+，B．263+，C．()32+，D．()22−，【答案】B【分析】由2241xyxy+−=，得出225(2)

151(2)8xyxyxy+=+++，进一步得到2xy+的最小值，再根据不等式20xyc++恒成立，得出2603c−求出c的取值范围．【详解】解：2241xyxy+−=，225(2)151(2)8xyxyxy+=+++，当且仅当2

xy=时“=”成立，()2823xy+2626233xy−+又不等式20xyc++恒成立，2603c−，263cc的取值范围是263+，．故选：B．2．（2020·全国·高一课时练习）

设计用232m的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是（）A．（38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3【答案】B【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则222232xhxh+=＋，即216xhxh+=＋，∴16222x

hxhxhxh=+++，即22160xhxh+−，解得022xh，∴08xh．∴车厢的容积为3216()Vxhm=．当且仅当2xh=且216xhxh+=＋，即4,2xh==时等号成立．∴车厢容积的最大值为316m．选B．二、多选题3．（2022·全国·高一单元测试）已

知0x，0y，且30xyxy++−=，则（）A．xy的取值范围是1,9B．xy+的取值范围是)2,+C．4xy+的最小值是3D．2xy+的最小值是423−【答案】BD【分析】根据基本不等式可求得01xy，判断A;将30

xyxy++−=变形为()232xyxyxy+−+=结合基本不等式，求得2xy+，判断B；由30xyxy++−=整理得到411xy=−++结合基本不等式可判断C,D.【详解】对于A，因为0x，0y，所以2xyxy+，当且仅当xy=时取等号，即32xyxy−≥，解得01xy

，即01xy，A错误；对于B,由0x，0y,()232xyxyxy+−+=，当且仅当xy=时取等号，得()()24120xyxy+++−，所以2xy+,B正确；对于C,由0x，0y，30xyxy++−=，得34111yxyy−+==−+++，则

()4441441511xyyyyy+=−++=++−++()4241531yy+−=+，当且仅当()4411yy=++，即0y=时等号成立,但0y，所以43xy+．（等号取不到）,故C错误；对于D，由C的分析知：0x，0y,411xy=−++,()4421221342311xyyy

yy+=−++=++−−++，当且仅当()4211yy=++，即21y=−时等号成立，D正确，故选：BD4．（2021·重庆市凤鸣山中学高一期中）下列结论中，正确的结论有．A．如果01x，那么(

)43xx−取得最大值时x的值为23B．如果0x，0y，39xyxy++=，那么3xy+的最小值为6C．函数()2254xfxx+=+的最小值为2D．如果0a，0b，且11121abb+=++，那么2+ab的最小值为2【答案】AB【解析】A

.将其配成顶点坐标式即可得出答案；B.将其配成21332xyxy+代入39xyxy++=即可得其最小值；C.函数()22144fxxx=+++，当且仅当241x+=此时x无解D.根据题意构造()()1223(1)32ababb+=+++−，将“1”替换为1121

abb+++，代入用基本不等式.【详解】解：对于A.如果01x，那么()22433433yxxx=−−+=−，当23x=时取得最大值，故正确；对于B.如果0x，0y，39xyxy++=则213

93332xyxyxyxy+=++++整理得()()231231080xyxy+++−，所以36xy+或318xy+−（舍去），当且仅当1,3yx==时取得最小值，故正确；对于C.函数()2222514244xfxxxx+==++++，当且仅当

241x+=此时x无解，不能取得最小值2，故错误；对于D.如果0a，0b，且11121abb+=++，那么()()112(24)23(1)3122abababb+=+=+++−()()111313(1)2323(1)1322122212bababbabb

abb++=++++−=+++−++++13(1)2112322122bababb+++=+++当且仅当23(1)abb+=+即313,323ab=+=时取得最小值，

故错误.故选：AB【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3

）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、填空题5．（2021·江苏·扬州大学附属中学高一期中）不等式20axbxc++的解集为R，则2222bac+的最大值为______

______.【答案】2【分析】分0a=、0a两种情况讨论，根据题意可得出b、c所满足的不等关系式，结合基本不等式可求得2222bac+的最大值.【详解】当0a=时，即不等式0bxc+的解集为R，则0b=，0c，要使

得2222bac+有意义，此时0c，则22202bac=+；当0a时，若不等式20axbxc++的解集为R，则20Δ40abac=−，即204abac，所以，22222422bacacac++，因为24bac，则0ac，当0c=时，则0b=，

此时22202bac=+；当0c时，则0ac，令0cta=，则2224444212121222actacttttt===+++，当且仅当242baccaac==时，等号成立.综上所述，2222bac+的最大值为2.故答案为：2.6．（2022·陕西·长安一中高一期中

）已知a，bR+且1ab+=，那么下列不等式：①14ab；②1174abab+；③2ab+；④114ab+中，正确的序号是________．【答案】①②④【分析】利用基本不等式及对勾函数的性质一一判断即可；【详解】解：对于①:a，bR+，1ab+=，21()24

abab+=„（当且仅当12ab==时取得等号），所以①正确；对于②：由①有104ab„，设1yxx=+，则1yxx=+在10,4上单调递减．所以1117444abab++=…，所以②正确；对

于③：2()22ababababab+=+++++=„（当且仅当12ab==时取得等号），2ab+„．所以③错误．对于④：()11112224abaabaabbabbab+=++=+++=（当且仅当baab=，即

12ab==时等号成立），所以④正确．故答案为：①②④．7．（2021·辽宁·高一期中）已知0x，0y，若不等式132mxyxy++恒成立，则m的最大值是______.【答案】526+【分析】问题转化为()(21)3mxyxy++„恒成立，由基本不等式求()(23)1xyxy

++的最小值可得．【详解】0x>，0y，不等式132mxyxy++…恒成立，()(21)3mxyxy++„恒成立，又1366()(2)552526yxyxxyxyxyxy++=+++=+…当且仅当6yxxy=即6y

x=时取等号，()(123)xyxy++的最小值为526+，所以526m+„，即m的最大值为526+，故答案为：526+．8．（2021·浙江省桐乡市高级中学高一阶段练习）已知0a，0b，且1ab=，则111abab+++的最小值为__________.【答案】

52【分析】由基本不等式分析22abab+=，换元结合对勾函数性质可求最小值.【详解】由题意，11111ababababababab+++=+=+++++，因为22abab+=，令()2tabt=+，1ytt=+，由

对勾函数性质可知，当2t=时，y有最小值52，当且仅当1ab==时取到，故111abab+++的最小值为52.故答案为：529．（2021·江苏·高一专题练习）已知0x，0y，且2183xyxy+++，则2xyxy+的最大值

为____．【答案】16【解析】由0x，0y2183xyxy+++，2212121(8)()()3()xyxyxyxy+++−+利用均值不等式得22121()3()18xyxy+−+，解得21xy+的取值范围，进而求

得2xyxy+的最大值.【详解】由0x，0y2183xyxy+++，得2183xyxy++−，即2212121(8)()()3()xyxyxyxy+++−+又2116(8)()101021618yxxyxyxy++=+++=，当且仅当16yxxy=，即4xy=

时，取等，故22121()3()18xyxy+−+，解得216xy+或213xy+−（舍）故111226xyxyyx=++，即2xyxy+的最大值为16，故答案为：16.10．（2021·湖北孝感·高一期中）若正实数,,abc满

足22,2abababcabc=+=++，则c的最大值为________.【答案】4【分析】将c用,ab的表达式表示，结合22abab=+，利用均值不等式求出ab取值范围，从而确定c的范围.【详解】因为2abcabc=++，2=2abab+所以21abca

b+=−2ab=1ab−，又22abab=+且222abab+，所以222abab，解得2ab，c=2ab1ab−=211ab−结合2ab知，c有最大值4.故答案为：4.11．（2021·江苏·南京市第十三中学高一期末）若实数,xy满足2221x

xyy+−=，则222522xyxxyy−−+的最大值为________.【答案】24【解析】已知条件可化为(2)()1xyxy−+=，故可设112,,xytxyuttt−=+==−，从而目标代数式可化为22uu+，利用基本不等式可求其最大

值.【详解】由2221xxyy+−=，得(2)()1xyxy−+=，设12,xytxyt−=+=，其中0t.则1121,3333xtyttt=+=−，从而2222112,522xytxxyyttt−=−−

+=+，记1utt=−，则22225222xyuxxyyu−=−++，不妨设0u，则1122422uuuu=+,当且仅当2uu=，即2u=时取等号，即最大值为24.故答案为：24.【点睛】本题考查二元二次等式条件下二元分式的最大值，注意根据已知条件可因式分解从而采用换元法来改造目标代数式

，再根据目标代数式的特征再次换元，从而得到能使用基本不等式的结构形式，本题属于难题.四、解答题12．（2021·全国·高一课时练习）若对任意实数x，不等式223221xxkxx++++恒成立，求实数k的取值范围．【答案】2k【分析】令()223221x

xfxxx++=++，当1x−时，()()131111fxxx=−++−+，利用基本不等式和不等式的性质求出()fx的范围，再代入1x=−，最终可求出()223221xxfxxx++=++的值域，再根据22min3221xxkxx++++即可得实数k的取值范围．【详解】令

()()2222231132213111xxxxxxfxxxxxxx++−−+++===−++++++当1x=−时，()13f−=当1x−时，()()2113311111xfxxxxx+=−=−++++−+()1111211xxxx+

+=++++，当且仅当11x+=时等号成立()1121xx++−+或()1121xx+++即()11131xx++−−+或()11111xx++−+()11013111xx−++−+或()1011111xx++−+()11013111xx−++−+或()1

101111xx−−++−+())11032,33,13111xx−++−+综合得()211032,13xfxxx+=−++因为不等式223221xxkxx++++恒成立，则22min3221xxkxx++++2k.13．（

2021·全国·高一课时练习）（1）当3x时，求43yxx=+−的最小值；（2）当0x时，求2361xxyx++=+的最小值．【答案】（1）7；（2）5．【分析】（1）原函数可化为4333yxx=−++−，然后利用基本不等式求最小值；（2）原函数可化为()4111yxx=++++

，然后利用基本不等式求最小值.【详解】（1）()4433233733yxxxx=−++−+−=−，当且仅当433xx−=−时，等号成立，即5x=．（2）()()22244211xxxyxxx++++==++++，()()4411211511xxxx=+

++++=++当且仅当411xx+=+时，等号成立，即1x=．14．（2021·新疆喀什·高一期中）某校为了美化校园环境，计划在学校空地建设一个面积为224m的长方形草坪，如图所示，花草坪中间设计一个矩形ABCD种植花卉，矩形ABCD上下各留1m，

左右各留1.5米的空间种植草坪，设花草坪长度为x（单位：m），宽度为y（单位：m），矩形ABCD的面积为s（单位：2m）(1)试用x，y表示s；(2)求s的最大值，并求出此时x，y的值．【答案】(1)()()32sxy

=−−(2)s的最大值为26m，此时6x=，4y=．【分析】（1）由题意建立s的函数解析式；（2）利用基本不等式，求出s的最大值.（1）由题意可得,矩形ABCD长为(x-3)m,宽为(y-2)m,故()()32sxy=−−.（2）∵24xy=，∴()()322362666

sxyxyxyxyxy=−−=−−+−+=（当且仅当23xy=,即6x=，4y=时取等号）.故s的最大值为26m,此时6x=，4y=.15．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知a，b，c均为正实数，求证：(

)2222222abbccaabc+++++++．（2）已知x，y，z是互不相等的正数，且1xyz++=，求证：1111118xyz−−−．【分析】（1）根据重要不等式，进行不等式的转换，可得答案；（2）利用通分及基本不等式，可得答案.【详解】（1）

因为222abab+，当且仅当ab=时等号成立，所以()()2222222abaabbab+++=+，所以()2222abab++，所以222abab++．①同理222bcbc++②，222caca++③．①＋②＋③，得()22222222222ab

cabbccaabc+++++++=++，当且仅当abc==时等号成立．（2）因为1xyz++=，x，y，z是正实数，所以2211121118yzxyyzxzxyxzxyzxyzxyz+++−−−==，当且仅当13xyz

===时等号成立．又x，y，z互不相等，所以1111118xyz−−−．16．（2021·全国·高一专题练习）若对任意的1,5x，对任意的)4,a+，不等式2axbx++恒成立，求−ab的最大值.【答案】33【解析

】设(),15afxxbxx=++，对a讨论，分45a，525a，25a，判断()fx的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设()afxxbx=++，当45a时，()()15ff，可得()fx的最小值为()2faab=+，最大值为55ab

++，由题意可得22ab+，即为22ba−，则22325abaa−+−+；当525a时，()()15ff，可得()fx的最小值为()2faab=+，最大值为1ab++，由题意可得22ab+，即为22ba−，则22251023

3abaa−+−+−=．当5a即25a时，()fx在1,5递减，可得()fx的最大值为()11fab=++，最小值为55ab++，由题意可得525ab++，即为35ab−−，则63355aaaba−++=+，由25a，可得−ab无最大值．综上可得−

ab的最大值为33．【点睛】思路点睛：本题考查了对勾函数的单调性，利用单调性求函数的最值，考查了分类讨论的思想，属于难题.