【文档说明】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）1-4-2 充要条件（分层作业） 含解析【高考】.doc，共(16)页，1.624 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ad72589cc4c2de8f7c0ce7d5eb6d439a.html

以下为本文档部分文字说明：

1.4.2充要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·江西·高一期末）“1m−”是“2m−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析

】根据“1m−”和“2m−”的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】由1m−可以推出2m−，但反之不成立，故“1m−”是“2m−”的充分不必要条件，故选:A2．（2022·全国·高一）设P：3x，q：13x-<<，则p是q成

立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】由3x不能推出13x-<<，例如2x=−，但13x-<<必有3x，所以p：3x是q：13x-<<的必要不

充分条件.故选：B.3．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）“0ab”是“abab−−”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由abab−

−得abab−+，两边平方化简即可得结果.【详解】由()()22abababbaabba−−−+−+()()000220ababababbabbabab−+−+−厖厖，由此可知“0ab”是“abab−−”的充要条件.故选：C.4．（2022

·天津市红桥区教师发展中心高一期末）设p：x>y，q：22xy，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【答案】D【分析】分别判断pq与qp是否成立，进而判断答案.【

详解】先验证pq，若0,1xy==−，显然满足xy，但不满足22xy，所以不成立；再验证qp，若1,0xy=−=，显然满足22xy，但不满足xy，所以不成立.故选：D.二、多选题5．（202

1·湖南·金海学校高一期中）对于任意实数a、b、c，下列命题是真命题的是（）A．“ab=”是“acbc=”的充要条件B．“5a+是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“ab”是“22ab”的充分不必要条件D．“5a”是“3a”的必要不充分条件【答案】BD【分析】利用充分条件

和必要条件的定义进行判断【详解】解：“ab=”“acbc=”为真命题，但当0c=时，“acbc=”“ab=”为假命题，故“ab=”是“acbc=”的充分不必要条件，故A为假命题；“5a+是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”

“5a+是无理数”也为真命题，故“5a+是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；“ab”“22ab”为假命题，“22ab”“ab”也为假命题，故“ab”是“22ab”的既不充分也不必要条件，故C为

假命题；因为由3a能得出5a，而由5a得3a不一定成立，故“5a”是“3a”的必要条件，故D为真命题.故选：BD.6．（2021·福建省福州第八中学高一期中）下列结论中正确的是（）A．“24x”是“2x−”的充分不必要条件B．在AB

C中，“222ABACBC+=是”ABC为直角三角形“的充要条件”C．若,abR，则“220ab+”是“a，b不全为0”的充要条件D．“x为无理数”是“2x为无理数”的必要不充分条件【答案】CD【分析】根据充分性和必要性的定义对各个选项逐一分析即可得出答案.【详解】解：对

于A，若24x，则2x或2x−，所以“24x”是“2x−”的必要不充分条件，故A错误；对于B，在ABC中，若222ABACBC+=，则ABC为直角三角形，反之，若ABC为直角三角形，直角为,BC时，222ABACBC+=不

成立，所以“222ABACBC+=是”ABC为直角三角形“的充分不必要条件，故B错误；对于C，若220ab+，则a，b不全为0，若a，b不全为0，则220ab+，所以“220ab+”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；对于D，当x为无理数，若2x=，则22x=为有理数，若2x

为无理数，则x为无理数，所以“x为无理数”是“2x为无理数”的必要不充分条件，故D正确.故选：CD.7．（2021·江苏·金湖中学高一期中）对任意实数a，b，c，给出下列命题中正确的是（）A．“ab=”是“acbc=”的既不充分也不必要条件B．“ab

=”是“22ab=”的充分不必要条件C．“ab”是“22ab”的充要条件D．“ab”是“ab”的必要不充分条件【答案】BCD【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A，由“ab=”可得“acbc=”，反之，由“ac

bc=”不一定得到“ab=”，故“ab=”是“acbc=”的既充分也不必要条件，故A错误；B，由“ab=”可得“22ab=”，反之，“22ab=”可得“ab=”，所以“ab=”是“22ab=”的充分不必要条件，故B正确；C，由“ab”由指数函数的单调性可得“22ab”，反之也成立，故“ab

”是“22ab”的充要条件，故C正确；D，若“ab”，当其中一个为负数时，则“ab”不成立，反之，若“ab”，可得“ab”，所以“ab”是“ab”的必要不充分条件，故D正确.故选：BCD8．（2021·山东临沂·高一期中）下列选项中，p是q的充要条件的是（）A．p：0xy

，q：0x，0yB．p：ABA=，q：BAC．p：三角形是等腰三角形，q：三角形存在两角相等D．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分【答案】BC【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对

于A：由0xy，得0x，0y或0x，0y，故P不是q的充要条件，故A错误；对于B：由ABA=，则BA，若BA则ABA=，故P是q的充要条件，故B正确；对于C：三角形是等腰三角形三角形存

在两角相等，故P是q的充要条件，故C正确；对于D：四边形的对角线互相垂直且平分四边形为菱形，故p不是q的充要条件，故D错误；故选：BC三、填空题9．（2021·全国·高一课时练习）k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴

，交x轴于正半轴的________条件．【答案】充要【分析】令x=0，y=0，可得函数图象与y轴、x轴交点的坐标，结合充分必要条件定义可得出答案．【详解】∵k>4时，k－4>0，b<5时，b－5<0，∴直线y＝

(k－4)x＋b－5交y轴于负半轴，交x轴于正半轴；y＝(k－4)x＋(b－5)与y轴交于(0，b－5)与x轴交于5,04bk−−，由交y轴于负半轴，交x轴于正半轴可知5055404bbbkk

−−−，故k>4，b<5是一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的充要条件，故答案为：充要.10．（2021·江苏·高一单元测试）在下列命题中，试判断p是q的什么条件.（1）:pAB，:qABA=，则p是q______条件；（2）

:pab=，:qab=，则p是q______条件；（3）:p四边形的对角线相等，:q四边形是平行四边形.则p是q______条件.【答案】充要充分不必要既不充分也不必要【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解:（1）因为“ABABA=”是真命题，“AB

AAB=”也是真命题，所以p是q的充要条件；（2）因为“ab=ab=”是真命题，“abab==”是假命题，如1a=−，1b=，满足ab=，但是ab¹；所以p是q的充分不必要条件；（3）因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形四边形的对角线相等”也是假

命题，所以p是q的既不充分也不必要条件.故答案为：充要；充分不必要；既不充分也不必要11．（2021·江苏·高一课时练习）根据下列所给的各组p，q填空：①p：0a，q：||0a；②p：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，q：两个三角形全等；③p：ab=，q

：22ab=；④p：二次函数2yxk=+的图象过坐标原点，q：0k=；⑤p：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，q：这两条直线平行；⑥p：两直角三角形的斜边相等，q：两直角三角形全等.其中，p是q必要条件的有__________；p是q充分条件的有__

________；p是q充要条件的有__________.（填写序号）【答案】②④⑤⑥①②③④⑤②④⑤【分析】根据充分条件、必要条件和充要条件的定义，对命题进行逻辑推理，进而得到答案.【详解】对①，易知由p能得q，但是，若a>0，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对②，根据三角形全

等定理可知，p是q充要条件；对③，由p能得q，但是，若a=-b，则由q不能得p，故p是q充分不必要条件；对④，易知p是q充要条件；对⑤，由直线平行定理可知，p是q充要条件；对⑥，由三角形的全等定理可知，由p不能得q，但由q可以得p，故p是q必要不充分条件.故答

案为：②④⑤⑥；①②③④⑤；②④⑤12．（2021·全国·高一课时练习）在下列各题中，用符号“⇒”､“⇐”或“⇔”填空：（1）xa=___________()()()0xaxbxc−−−=；（2）x是能被4整除的自然数___________x

是偶数；（3）已知p，qZ，pq+是偶数___________33pq−是偶数；（4）甲是上海人___________甲是中国人；（5）abab+=+___________0ab.【答案】⇒⇒⇔⇒【分析】根据命题之间的关系逐

一分析判断即可得出答案.【详解】解：（1）当xa=时，()()()0xaxbxc−−−=，当()()()0xaxbxc−−−=，xa=或xb=或xc=，故xa=()()()0xaxbxc−−−=；（2）当x是能被4整除的自然数，则x是偶数，当x是偶数，当x

不一定是能被4整除的自然数，故当x是能被4整除的自然数x是偶数；（3）若pq+是偶数，则,pq都是奇数或都是偶数，当,pq都是奇数时，33,pq都是奇数，则33pq−是偶数，当,pq都是偶数时，33,pq都是偶数，则33pq−是偶数，所以pq+是偶数，则

33pq−是偶数，若33pq−是偶数，则33,pq都是奇数或33,pq都是偶数，当33,pq都是奇数时，,pq都是奇数，则pq+是偶数，当33,pq都是偶数时，,pq都是偶数，则pq+是偶数，所以33pq−是偶数，则pq+是偶数，所以pq+是偶数33pq

−是偶数；（4）若甲是上海人，则甲是中国人，若甲是中国人，则甲不一定是上海人，所以甲是上海人甲是中国人；（5）若abab+=+，当0ab==时，等式成立，则abab+=+，0ab不一定成立，若0ab，则0,0

ab或0,0ab，则abab+=+，所以abab+=+0ab.故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.13．（2021·全国·高一课时练习）设集合220,AxxaxbxR=−+

=，()220,BxbxaxbxR=+++=，则12AB=的充要条件是______．【答案】13a=−，23b=−【分析】因为12AB=，所以12是方程220xaxb−+=的根，也是方程()22

0bxaxb+++=的根，通过代入12得到关于a，b的方程组，解出13a=−，23b=−，再说明当13a=−和23b=−时，能够满足12AB=.【详解】由12AB=，可知12A，12B，于是()221120,221120.22abbab

−+=+++=解得1323ab=−=−此时21,32A−=，12,2B=，符合12AB=．故12AB=的充要条件是1

3a=−，23b=−故答案为：13a=−，23b=−四、解答题14．（2021·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.【分析】充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分

性满足；必要性：利用两根之积即可证明.【详解】证明①充分性：因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2.因为x1·x2＝q＜0，

所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．②必要性：因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.因为x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命题得证．15．（2021·全国·高一专题练习）指出下列命题中，p是q的什么条件

：（l）:1px=，:1qx=；（2）:p两直线平行，:q同位角相等；（3）:p点在角的平分线上，:q点到角的两边所在直线的距离相等；（4）:p斜边相等，:q两直角三角形全等.【答案】（1）充分不必要条件；（2）充

要条件；（3）充分不必要条件；（4）必要不充分条件.【分析】（1）利用集合的包含关系判断可得出结论；（2）利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论；（3）利用角平分线的性质和定义判断可得出结论；（4）利用全等三角形可判断可得出结论.【详解】（1）由1x=可得1x=，因为11,

1−，因此，p是q的充分不必要条件；（2）两直线平行，则同位角相等，反之，若同位角相等，则两直线平行，因此，p是q的充要条件；（3）若点在角的平分线上，则点到角的两边所在直线的距离相等，反之，若点到角的两边所在直线的距离相等，则该点在角的角平分线或该角的补角的平分线上，故

p是q的充分不必要条件；（4）若两个直角三角形的斜边相等，如三条边长分别为2、2、2的直角三角形和三边边长分别为1、3、2的直角三角形，这两个三角形不全等，另一方面，若两个直角三角形全等，则这两个直角三角形的斜边相等.因此，p是

q的必要不充分条件.16．（2021·河南·范县第一中学高一阶段练习）判断下列p是q的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一）(1)p：xy>1；q：x>1且y>1.(2)p：x是整数；q：x2是正整数.(3)p：a>0；q：函数y=

ax2+x没有最大值.【答案】(1)必要不充分条件；(2)既不充分也不必要条件；(3)充分不必要条件【分析】（1）、取14,2xy==判断充分性是否成立，再根据1,1xy判断必要性是否成立，得出结论；（2）、取=0x判断充分性是否成立，取2=2x判断必要性是否成立，得出结论；（3）、若0

a，则抛物线2yaxx=+开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数2yaxx=+没有最大值，得出a的范围判断必要性是否成立，得出结论；(1)若14,2xy==，满足21,xy=所以充分性不成立；若1,1,xy则1,x

y所以必要性成立；所以p是q的必要不充分条件；(2)取=0x,满足x是整数，但20=x不是正整数，所以充分性不成立；取2=2x，满足2=2x是正整数，但=2x不是整数，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；(3)若0a，则抛物线2ya

xx=+开口向上，函数2yaxx=+没有最大值，所以充分性成立；若函数2yaxx=+没有最大值，则0a，所以必要性不成立；所以p是q的充分不必要条件；17．（2021·全国·高一课时练习）设a，b，cR．求证：0a，0b，0

c的充要条件是0abc++，0abbcca++，0abc．【分析】先证必要性，再由反证法结合不等式的性质证明即可.【详解】证明：（必要性）由0a，0b，0c，显然有0abc++，0abbcca

++，0abc．（充分性）用反证法：假设0a，0b，0c不成立，则a，b，c中至少有一个不大于0．由a，b，c的对称性，不妨设0a由0abc得0bc，从而由0abbcca++，得0abcabc+−，即()0a

bc+故0bc+，于是0abc++．这与0abc++矛盾，于是假设不成立．因此，0a，0b，0c．18．（2021·全国·高一课时练习）已知a、b、c为ABC的三边长，集合2220,Axxaxbx=++=R，2220,Bxxcxbx=+−=R．(1)若4abc===，求

AB；(2)求AB的充要条件．【答案】(1)442,4,442AB=−−−−+(2)AB的充要条件是222abc=+【分析】（1）解方程，由集合的并集运算计算即可；（2）由集合的交集运算，

结合判别式得出ab，再由0xA，0xB得出222abc=+.(1)由4abc===，得4=−A，442,442B=−−−+，从而442,4,442AB=−−−−+(2)当AB

时，A，B，且存在0xR，使得0xA，0xB．于是22440Aab=−，22440Bcb=+又a、b、c为ABC的三边长，得ab．从而AB的充要条件是22002200,20,20.abxaxbxcxb++=+−=①②③②+

③，并注意到00x，得()0xac=−+．④将④代入③，得222abc=+⑤即由②③消去0x得到⑤．而⑤满足①，因此AB的充要条件是222abc=+．【能力提升】一、单选题1．（2022·江苏·高一单元测试）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记

为k，即4knknZ=+，0k=，1，2，3．给出如下四个结论：①20151；②22−；③0123Z=；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“0ab−”其中正确的结论有（）A．①②B．③④C．②③D

．②③④【答案】D【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=+，故20153，故①错误；而242−=+，故22−，故②正确；由“类”的定义可得012Z3，任意Zc

，设c除以4的余数为()0,1,2,3rr，则cr，故0123c，所以0123Z，故0123Z=，故③正确若整数a，b属于同一“类”，设此类为()0,1,2,3rr，则4,4amrbnr=+

=+，故()4abmn−=−即0ab−，若0ab−，故−ab为4的倍数，故a，b除以4的余数相同，故a，b属于同一“类”，故整数a，b属于同一“类”的充要条件为0ab−，故④正确；2．（2022·

宁夏银川·高一期末）已知12,,,nAxxx=，12,,,mByyy=，则“,ijxAyB使得ijxy=”是“AB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】C【

分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.【详解】若,ijxAyB使得ijxy=，则有AB成立；若AB，则有,ijxAyB使得ijxy=成立.则“,ijxAyB使得ijxy=”是“AB”的充要条件故选：C

二、多选题3．（2021·福建·福州高新区第一中学（闽侯县第三中学）高一阶段练习）已知x∈R，y∈R，下列各结论中正确的是（）A．“xy>0”是“0xy”的充要条件B．“x>y”是“1xy”的充要条件C．“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件D．“x

+y=0”是“1xy=−”的充分不必要条件【答案】AC【分析】根据00xxyy即可判断A，取特例可判断B，由不等式性质判断C，分析分母不0可判断D.【详解】因为0xy与0xy等价，故“xy>0”是“0xy

”的充要条件，A正确；因为12xy=−=−，12xy=，推不出1xy，故B错误；因为当0x，0y=时推不出xy≠0，当0xy时，能推出0x，所以“x≠0”是“xy≠0”的必要不充分条件，C正确；由0xy+=可得xy=−，当满足0y时，才可得1xy=−，即0xy+=推不

出1xy=−，反之，当1xy=−时，可得xy=−，即0xy+=，所以“x+y=0”是“1xy=−”的必要不充分条件，故D不正确.故选：AC三、填空题4．（2021·河南·濮阳一高高一期中）在下列所示电路图中，下列说法正确的是

____(填序号)．（1）如图①所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件；（2）如图②所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件；（3）如图③所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件；（4）如图④所示，开关A闭

合是灯泡B亮的必要不充分条件．【答案】（1）（2）（3）【分析】充分不必要条件是该条件成立时，可推出结果，但结果不一定需要该条件成立；必要条件是有结果必须有这一条件，但是有这一条件还不够；充要条件是条件和结果可以互推；条件和结果没有互推关系的是既不充分也不必要条件【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮

；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，选项（1）正确.（2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，选项（2）正确.（3）开关A闭合，灯泡

B亮；而灯泡B亮时，开关A必须闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，选项（3）正确.（4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；而灯泡B亮时，开关A不一定闭合，所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，选项（4）错误.故答案为（1）（2）（3）.四、解答题5．（2021·福建福州·高一期中

）证明：“0m”是“关于x的方程2x2xm0−+=有一正一负根”的充要条件.【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：若0m，则关于x的方程2x2xm0−+=有一正一负根，证明如下：当0m时

，()224440mm=−−=−，所以方程2x2xm0−+=有两个不相等的实根，设两根分别为1x，2x，则120xxm=，所以方程2x2xm0−+=有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于x的方程2x2xm0−+=有一正一负根”，则

0m，证明如下：设方程2x2xm0−+=一正一负根分别为1x，2x，则()212244400mmxxm=−−=−=，所以0m，所以若“关于x的方程2x2xm0−+=有一正一负根”，则0m，故必要性成立，所以“0m”是“关于x的

方程2x2xm0−+=有一正一负根”的充要条件.6．（2021·河南·范县第一中学高一阶段练习）已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的01xxx，均有y≥1成立的

充要条件是b≥2.【分析】利用充分必要条件的概念及二次函数的性质即可求解.【详解】证明：因为函数y=a2x2-2ax+b的图像的对称轴方程为x=1a，所以a≥1，且0<1a≤1，故当x=1a时，函数有最小值y=a2·21a-2a·1a+b=b-1.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}

，均有y≥1，即b-1≥1，所以b≥2.再证充分性：因为b≥2，当x=1a时，函数有最小值y=a2·21a-2a·1a+b=b-1≥1，所以对于任意01xxx，y=a2x2-2ax+b≥1，即y≥1成立的充要条件是b≥

2.【点睛】关键点睛：证明充分必要条件时，要分开证明充分性和必要性，这样逻辑比较清晰.7．（2021·江苏·高一课时练习）设a，b，cR，求证：关于x的方程20axbxc++=有一个根是1的充要条件为0a

bc++=.【分析】由0abc++=可得cab=−−，将方程因式分解后求出方程的根，可知充分性成立，将1x=代入方程20axbxc++=可得知必要性成立，由此得出证明.【详解】充分性：0abc++=，cab=−−，代入方程20axbxc++=得20

axbxab+−−=，即()()10xaxab−++=．关于x的方程20axbxc++=有一个根为1；必要性：方程20axbxc++=有一个根为1，1x=满足方程20axbxc++=，2110abc

++=，即0abc++=．故关于x的方程20axbxc++=有一个根是1的充要条件为0abc++=．8．（2021·河南商丘·高一阶段练习）判断下列每小问中，p是q的什么条件（直接写出结论即可）：（Ⅰ）22:pxy=，:0qxy+=；（

Ⅱ）p：关于x的方程20axbxc++=有两个不相等的实根，2:40qbac−；（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等，q：四边形是矩形；（Ⅳ）p：两个三角形的三个角分别对应相等，q：两个三角形全等；（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，q：

直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径．【答案】（Ⅰ）必要不充分条件；（Ⅱ）充分不必要条件；（Ⅲ）充要条件；（Ⅳ）必要不充分条件；（Ⅴ）充要条件．【分析】利用充分必要条件的定义即可判断.【详解】（Ⅰ）:pxy=，:qxy=−，故p是q的必要不充分条件

；（Ⅱ）p：关于x的方程20axbxc++=有两个不相等的实根，则240bac−，且0a，2:40qbac−，p是q的充分不必要条件；（Ⅲ）p：四边形的对角线互相平分且长度相等即四边形是矩形，q：四边形是矩形，p是q的充要条件；（Ⅳ）p：两个三角形的相似，q：两个三角形全等；p

是q的必要不充分条件；（Ⅴ）p：直线与圆有两个交点，即圆心到直线的距离小于圆的半径，q：直线上存在点到圆心的距离小于圆的半径，p是q的充要条件．9．（2021·全国·高一专题练习）求证：方程220xkx++=与220xxk++=有一

个公共实数根的充要条件是3k=−.【分析】分充分性和必要性证明，先由两方程有一个公共实数根求出参数的取值，证出必要性，再证明充分性即可．【详解】必要性：若方程220xkx++=与220xxk++=有一个公共实数根，设为0x，则

2002002020xkxxxk++=++=两式相减得：0(2)2kxk−=−2k=或01x=若2k=，两个方程均为2220,0xx++=无解，故01x=，代入可得3k=−.充分性：当3k=−时，222320xkxxx++=−+=，解得1212xx==，；222230

xxkxx++=+−=，解得1213xx==−，；两个方程有公共根为1.综上所述，方程220xkx++=与220xxk++=有一个公共实数根的充要条件是3k=−.