【文档说明】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）2-2 基本不等式（第1课时）（分层作业） 含解析【高考】.doc，共(23)页，2.059 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2.2基本不等式（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·广东·江门市广雅中学高一期中）函数4(0)yxxx=+的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答

案】D【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为0x，所以4424yxxxx=+=，当且仅当4xx=，即2x=时取等号；故选：D2．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知正数xy，满足4xy+=，则xy

的最大值（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【分析】直接使用基本不等式进行求解即可.【详解】因为正数xy，满足4xy+=，所以有4224xyxyxyxy=+，当且仅当2xy==时取等号，故选：B3．（2021·吉林·延边二中高一阶段练习）若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2

ababab+B．2abaabb+C．2ababab+D．2abaabb+【答案】B【分析】利用不等式的性质及基本不等式比较.【详解】因为0ab，则02abab+，又22ababbb+

=，所以2abaabb+.-2-故选：B.【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的运用．属于简单题．4．（2021·全国·高一专题练习）若实数a，b满足0ab，且1ab+=.则下列四个数中最大的是（）A．12B．22ab+C．2abD．a【答案】B

【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.【详解】由题知：0ab，且1ab+=，所以102a，112b，故排除D.因为()222122abab++=，故排除A.因为222abab+，故排除C.故选：B

5．（2021·江苏·星海实验中学高一阶段练习）若0ab，有下面四个不等式：（1）22ab；（2）2baab+，（3）abab+，（4）33ab.则不正确的不等式的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】由已知结合不等式的性质可以推理得到（

1）不正确，（4）不正确，（3）正确；由基本不等式可判断（2）正确．【详解】因为0ab，所以22ab，33ab成立，所以（1）不正确，（4）不正确；因为0abab+，所以（3）正确；,aabb都大于0且不等于1，由基本不等式可知（2）正确．故选：C6．（2021·湖北黄石·高一期中）若

1x，则函数221xyxx+=+−的最小值为（）A．4B．5C．7D．9【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为1x，所以10x−，-3-所以()2142211xxyxxxx−++=+=+−−()()444213213

7111xxxxxx=++=−++−+=−−−，当且仅当()411xx−=−，即3x=时取等号，所以函数221xyxx+=+−的最小值为7；故选：C7．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若2xy+=，则14xy+的最

小值为（）A．74B．92C．134D．1【答案】B【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为2xy+=，所以1414141422xyyxxyxyxy++=+=+++．因为x，y都是正数，由基本不等式有：4424yxyxxyxy+=，

所以141491422yxxyxy+=+++，当且仅当2,?2,yxxy=+=即2,343xy==时取“＝”．故A，C，D错误.故选：B．二、多选题8．（2020·黑

龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）已知0,0ab，且4ab+=.则下列不等式恒成立的是（）A．228ab+B．2abC．114abD．111ab+【答案】AC【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】当1,3ab==时，112

,1abab+，所以BD选项错误.-4-A，()22282abab++=，当且仅当2ab==时，等号成立，A正确.C，2042abab+=，114ab，当且仅当2ab==时，等号成立，C正确.故选：AC9．（2022·江西·高一

期末）已知0ab，Rc，则下列不等式成立的是（）A．acbc−−B．acbcC．11abD．2abab+【答案】ACD【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据比较法判断C，根据基本不等式判断D.【详解】对于A，因为0ab，Rc，所以acbc−−，所以A正确；对于B，

由0ab，当0c时，acbc，所以B不正确；对于C，因为0ab，Rc，所以110baabab−−=，故11ab，所以C正确；对于D，因为0ab，所以均值不等式得2abab+，所以D正确；故选：ACD.10．（2022·

全国·高一课时练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，Rc，则下列命题正确的是（）A．若0ab

，则11abB．若,,abR，则22323abab+C．若0ab，0c，则0acbc−D．若ab，则ab【答案】ABC【分析】根据不等式的性质，或者做差法，即可判断选项.【详解】对于A，因为0ab，所以110baabab−−=，故A正确；对于B，()22

232330ababab+−=−，故B正确；对于C，若0ab，0c，则acbc，即0acbc−，故C正确；对于D，当2a=−，1b=时，满足ab，但ab，故D不正确．故选：ABC．三、填

空题-5-11．（2022·广西柳州·高一期末）若2x−，则()12fxxx=++的最小值为___________.【答案】0【分析】构造1()222fxxx=++−+，利用基本不等式计算即可得出结果.【详解】由2x−，得12002xx++，，所

以111()222(2)20221fxxxxxxx=+=++−+−=+++，当且仅当122xx+=+即1x=−时等号成立.故答案为：012．（2022·四川·成都七中高一期末）已知点(,)ab在直线1xy+=上，当0,0ab时，12ab+的最小值为____

__．【答案】322+【分析】利用均值不等式求解即可.【详解】因为点(,)ab在1xy+=上，所以1ab+=.所以12122()()3322ababababba+=++=+++，当且仅当2abba=时等号成立.故答案为：322+13．（2022·福建省龙岩第一中学高一阶段练习）

若函数()(0,0)fxaxbab=+在区间[1,2]上的最小值为3，则ab的最大值为________．【答案】94【分析】先根据一次函数单调性及最小值求出3ab+=，再利用基本不等式“和定积最大

”，求解最大值.【详解】()(0,0)fxaxbab=+单调递增，所以在区间[1，2]上()()min13fxfab==+=，所以2239224abab+==，因为0,0ab，所以当且仅当32ab==时，等号成立.故答案为：9414．（2021·江苏·

无锡市市北高级中学高一期中）已知x，0y，且满足2xy+=，则xyxy++的最大值为__________.-6-【答案】3【分析】根据基本不等式求解即可【详解】因为x，0y，且满足2xy+=，则22()2

32xyxyxyxy+++=++=„当且仅当1xy==时取等号，所以xyxy++的最大值为3.故答案为：315．（2022·全国·高一）已知0a，0b，2ab+=，则在下列不等式①1ab；②222ab+；③2ab+；④112ab+；⑤333ab+其中恒成立的是_____

______.（写出所有正确命题的序号）【答案】①②④【分析】对①，可以利于基本不等式证明；对于②③④⑤可以分析判断得解.【详解】①，221ababab+=，（当且仅当1ab==时等号成立），所以正确；②，要证222ab+，只需证2()22,abab+−只需

证1ab，显然成立，所以正确；③，只需证22,abab++只需证0,ab只需证0ab=，与已知不符，所以错误；④，要证112ab+，只需证2,abab+只需证1ab，显然成立，所以正确；⑤，要证333ab+，只需证22(

)()3,abaabb+−+只需证223,2aabb−+只需证23()3,2abab+−只需证56ab，与①不符，所以错误.故答案为：①②④16．（2020·江苏·高一单元测试）若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是__

______（填序号）.①114ab；②111ab+；③ab≥2；④a2＋b2≥8.【答案】④【分析】结合基本不等式进行逐个判定，①③直接利用基本不等式可判定正误，②④通过变形可得正误.【详解】因为42

=+abab（当且仅当a＝b时，等号成立），-7-即ab≤2，ab≤4，114ab，故①③不成立；1141abababab++==，故②不成立；222()21628,abababab+=+−=−故④成立.故答案为：④.四、解答题17．（2021·全国·

高一专题练习）利用基本不等式证明：已知,,abc都是正数，求证：()()()8abbccaabc+++【分析】对不等式左侧每个因式应用基本不等式即可得到结论.【详解】,,abc都是正数，20abab+（当且仅当ab=时取等号）；20bcbc+（当且仅当bc=时取等号）；20caca+

（当且仅当ca=时取等号）；()()()2228abbccaabbccaabc+++=（当且仅当abc==时取等号），即()()()8abbccaabc+++.18．（2022·全国·高一）已知000abc，，，求证

222abcabbcca++++.【分析】直接写出三个重要不等式相加即得证.【详解】∵222abab+…，①222bcbc+…，②222caac+…，③①+②+③得；222222222abcabbcac++++….∴222abcabbcca++++…(当且仅当abc

==等号成立).19．（2021·江苏·高一课时练习）证明：（1）22111xx++；（2）22322xx++.【分析】（1）2222111111xxxx++=+−++，利用基本不等式即可证明.（2）222231222xxx

x+=++++，利用基本不等式即可证明.-8-【详解】（1）()222222111121111111xxxxxx+=+−+−+++=+，当且仅当211x+=时，即0x=时，等号成立.（2）22222

2223211122222222xxxxxxxx+++==+++=++++，当且仅当22122xx+=+时取等号，此时21x=−，显然x的值不存在，所以等号不成立，所以22322xx++.20．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）

请解决下列两个问题：(1)求函数()2216fxxx=+的最小值；(2)已知关于x的不等式20xbxc++的解集为()2,3−，求关于x的不等式2xbxc−+0的解集.【答案】(1)8；(2){32}xx−∣【分析】利用基本不等式求函数的最小值易知2−，3是方程20

xbxc++=的解，求出bc，就可求出下一个不等式的解.（1）()2222161628fxxxxx=+=…，当且仅当24x=时，等号成立.故()fx的最小值为8.（2）因为关于x的不等式20xbxc++的解集为()2,3−，所以方程20xbxc++=的实数根为2−和3，所以1,6bc

=−=−，代入不等式20xbxc−+，得260xx+−，解得32x−.故不等式20xbxc−+的解集为{32}xx−∣.21．（2022·江苏省如皋中学高一期末）已知集合()121212,1,0,0Dxxxxxx=+=．(1)设12uxx=

，求u的取值范围；(2)对任意()12,xxD，证明：12121194xxxx−−．【答案】(1)10,4(2)证明见解析【分析】（1）依题意可得211uxx=−+，101x，再根据二次函数的性质计算可得；-9-（2）依题意121212112xx

xxxx−−=+，再结合（1）即可证明.（1）解：若12uxx=，又121xx=+，则()21211111uxxxxxx==−=−+，101x，所以211yxx=−+在10,2上单调递增，在1,12

上单调递减，所以当112x=时，211yxx=−+取得最大值14，故u的取值范围为10,4．（2）证明：121212121221111xxxxxxxxxxxx−−=+−−

()()22212121212121212112xxxxxxxxxxxxxx−+−++=+=+1292+24xxu=+=，当且仅当1212xx==时取等号．22．（2022·全国·高一课时练习）（1）设02x，求的最大值；（2）已知0a，0b，若2ab+=，求1411+++a

b的最小值．【答案】（1）2；（2）94．【分析】（1）将()42yxx=−转化为()22422yxx=−，用基本不等式求最大值即可；（2）将1411+++ab变形为()()141111111411ababab+=++++++++，整理后用基本不等式求最值.【

详解】（1）因为02x，所以420x−，所以()()22242422422222xxyxxxx+−=−=−=，当且仅当242xx=−，即1x=时等号成立，所以()42yxx=−的最大值为2；（2）因为0a，0b，所

以10a+，10+b．又2ab+=，所以114ab+++=，()()141141111411ababab+=++++++++()41115411abab++=++++()41119524114abab

+++=++-10-当且仅当()411112ababab++=+++=，即1353ab==时取等号，所以1411+++ab的最小值为94．23．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知1x，求1411xx++−的最小值；（2）已知

01x，求()43xx−的最大值．【答案】（1）9；（2）43．【分析】（1）由于10x−，则()114141511xxxx++=−++−−，然后利用基本不等式求解即可，（2）由于01x，变形得()()()1433433xxxx−=−，然后利用基本不等式求解即可.【详解】（1）因为

1x，所以10x−，所以()()1114141524159111xxxxxx++=−++−+=−−−，当且仅当()1411xx−=−，即32x=时取等号，所以1411xx++−的最小值为9．（2）因为01x，所以()()()211

3434433433323xxxxxx+−−=−=，当且仅当343xx=−，即23x=时取等号，故()43xx−的最大值为43．24．（2022·全国·高一单元测试）若0a，0b，求证：221122abab++．【分析】连续使用两次基本不等式即可求证【详解】因为

0a，0b，所以2222121112ababab+匙=，当且仅当2211ab=，即ab=时，等号成立．又222abab+，当且仅当22abab=时等号成立，所以22112222abababab+++，当且仅当22ababab==，即2ab==时取等

号．25．（2021·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）（1）证明：若cb，ba，则ca．-11-（2）利用基本不等式证明：已知,,abc都是正数，求证：()()()8abbccaabc+++【分析】（1）利用不等式的性质证明即可，（2）根据题意利用基本不等式可得20abab+，20b

cbc+，20caca+，再利用不等式的性质可证得结论【详解】（1）证明：因为cb，ba，所以0cb−，0ba−，所以()()0bbac−+−，即0ca−，所以ca，得证；（2）因为,,abc都是正数，所以

20abab+（当且仅当ab=时取等号）；20bcbc+（当且仅当bc=时取等号）；20caca+（当且仅当ca=时取等号）；所以()()()2228abbccaabbccaabc+++=（当且仅当abc==时取等号），即()()()8abbccaabc+++．【能

力提升】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）若0x，则124xx+−有（）A．最小值1−B．最小值3−C．最大值1−D．最大值3−【答案】D【分析】根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.【详解】因为0x，

所以11122223444xxxxxx+−=−−+−−−−=−−−，当且仅当14xx−=−，即12x=−时等号成立，故124xx+−有最大值3−．故选：D.2．（2021·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物

理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为a，b，设物-12-体的真实质量为G，则()A．2abG+=B．2abG+C．2abG

+D．abG+【答案】C【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.【详解】设天平的左、右臂长分别为1l，2l，物体放在左、右托盘称得的质量分别为a，b，真实质量为G，由杠杆平衡原理知：12lGla=，21lGlb=，由上式得2Gab=，即Gab=，由于12ll，故ab¹，由基本不等

式，得2ababG+=.故选：C.3．（2021·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）若a，b，c均为正实数，则三个数1ab+，1bc+，1ca+（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【

答案】D【分析】对于选项ABC可以举反例判断，对于选项D,可以利用反证法思想结合基本不等式，可以确定1ab+，1bc+，1ca+至少有一个不小于2，从而可以得结论．【详解】解：A.都不大于2，结论不一定成立，如2,3,4a

bc===时，三个数1ab+，1bc+，1ca+都大于2，所以选项A错误；B.都不小于2，即都大于等于2，不一定成立，如1,2,ab==则12ab+，所以选项B错误；C.至少有一个不大于2，不一定成立，因为它们有可能都

大于2，如2,3,4abc===时，三个数1ab+，1bc+，1ca+都大于2，所以选项C错误.由题意，∵a，b，c均为正实数，∴1111112226abcabcbcaabc+++++=+++++++=．当且仅当abc==时，取“=”号，若12ab+，12ba+

，12cc+，则结论不成立，-13-∴1ab+，1bc+，1ca+至少有一个不小于2，所以选项D正确；故选：D．4．（2022·广东·华南师大附中高一期末）若正实数,ab满足1ab+=，则（）A．ab有最大值14B．11ab+

有最大值4C．ab有最小值14D．11ab+有最小值2【答案】A【分析】结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项的结论是否成立即可.【详解】因为正实数,ab满足1ab+=所以2124abab+=，当且仅

当1ab+=，ab=，即12ab==取等号，故A正确、C错误．2111142+==+ababab，当且仅当1ab+=，ab=，即12ab==取等号，故B、D错误．故选：A5．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a，3b，则2223abab+−−的最小值是（）A．16B．18C．2

0D．22【答案】C【分析】化简224923102323abababab+=−++−++−−−−，再根据基本不等式求最小值即可【详解】因为2a，3b，所以22224499492310232323abababababab−+−++=+=−++−++−−−−

−−()()492223102023abab−+−++=−−(当且仅当4,6ab==时，等号成立)，所以2223abab+−−的最小值是20.故选：C二、多选题6．（2022·全国·高一课时练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以

1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为1T，2T，3T．甲有一半-14-的时间以速度（单位：米/秒）1V奔跑，另一半的时间以速度

2V奔跑；乙全程以速度12VV奔跑；丙有一半的路程以速度1V奔跑，另一半的路程以速度2V奔跑．其中10V，20V．则下列结论中一定成立的是（）A．123TTTB．123TTTC．2132TTT=D．132111TTT+=【答案】AC【分析】首先利用时间和速

度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.【详解】由题意11121110022TVTV+=，所以1121002TVV=+，212100TVV=，312121250501002TVVVVVV=+=+，根据基本不等式可知12121212202

VVVVVVVV++，故123TTT，当且仅当12VV=时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；221321212121210010010022TTTVVVVVVVV===++，故C选项正确；1212121213221112100100100VVVVVVVVTTT+++=+=

，故D选项错误．故选：AC．7．（2021·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一期中）设a＞0，b＞0，则（）A．12(2)()9abab++≥B．222(1)aabb+++≥C．22ababba++≥D．22ababab++【答案】ACD【分析】A.利用基本不等式判断；B.

利用作差法判断；C.利用基本不等式判断；D.利用作差法判断.【详解】A.122222(2)()5529≥++=+++=babaabababab，当且仅当22baab=时，等号成立，故正确；B.因为()()2222121-2b-2=-4−++−−aabba，正负不定，故错误；C

.2222222+≥2+++=+abababbaabbaba，当且仅当2abb=，2baa=时，等号成立，故正确；-15-D.()()()()233224433220−−++−−−==+++abababababababababab，故正确；故选：ACD8．（

2021·辽宁·高一期中）下列说法中，正确的有（）A．1yxx=+的最小值是2B．22122yxx=+++的最小值是2C．若a，b，Rc，则222abcabacbc++++D．若a，b，(0,)c+，则()()()8abbcacabc+++【答案】C

D【分析】利用不等式的性质及基本不等式逐项分析即得.【详解】对于A，当0x时，10yxx=+，故A错误；对于B，221222yxx=+++，当且仅当22122xx+=+，即21x=−时取等号，显然不可能，故B错误；对于C，由222222222ababbcbcacac+++

，可得()2222222abcabacbc++++，即222abcabacbc++++，故C正确；对于D，由a，b，(0,)c+，可知2,2,2ababbcbcacac+++，所以()()()8abbcacabc+++，故D正确.故选：CD.9．（2021·新疆·沙湾县

第一中学高一期中）下列命题正确的是（）A．Rx，210xx++B．若0x，则4xx+的最小值为4C．若Rx，则22132xx+++的最小值为3D．若0,0,24abab+=，则ab的最大值为2【答案】AD【分析】由配方法和基本不等式依次判断4个选项即可.-16-【详解】对于A，

22131024xxx++=++，A正确；对于B，若0x，则44424xxxxxx+=−−+−−=−−−，当且仅当4xx−=−即2x=−时取等，B错误；对于C，()2222221113212213222xxxxxx++=++++

+=+++，当且仅当22122xx+=+时取等，由于22122xx+=+无解，则22132xx+++的最小值取不到3，C错误；对于D，2422abab+=，整理得2ab，当且仅当2ab=即2,1ab==时取等

，D正确.故选：AD.三、填空题10．（2022·全国·高一课时练习）当32x时，求函数823yxx=+−的值域为________．【答案】5(,]2−−【分析】首先根据32x判断23x−的正负，再将函数式转化为23832232xyx−=++−，根据均值不

等式求解.【详解】因为32x，所以230x−，即320x−，所以8238332832322322322xxyxxxx−−=+=++=−++−−−，又因为32832824232232xxxx−−+=−−，当且仅当32823

2xx−=−，即12x=−时等号成立，所以35422y−+=−，则函数的值域为5(,]2−−.故答案为：5(,]2−−.11．（2022·全国·高一课时练习）若aR，0b，3ab+=，则当=

a______时，1||3||aab+取得最小值．【答案】32−【分析】由题知3a，进而分0<<3a和0a两种情况，结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为3ab+=，0b，所以30ba=−，即3a．-17-当0<<3a时，111723||999999aaba

babaabababab++=+=+++=，当且仅当34a=时取等号，所以当34a=时，13aab+取得最小值79；当0a时，1112399999aabababaabababab+−+=−−=−−−−+−

59=，当且仅当32a=−时取等号，所以当32a=−时，13aab+取得最小值59．综上所述，当32a=−时，13aab+取得最小值．故答案为：32−12．（2022·吉林·长春市第二中学高一期末）已知

0a，0b，且122243ab+=+−，则2ab+的最小值为________.【答案】12【分析】31222(2)(4)2(2)(4)224abababab+=++−=++−++−，展开后利用基本不等式可求．【详解】∵0a，0b，且122243ab+=+−，

∴31222(2)(4)2(2)(4)224abababab+=++−=++−++−()344(2)3444122242baab−+=+++=+−，当且仅当44(2)24

baab−+=+−，即14a=，172b=时取等号，故2ab+的最小值为12．故答案为：12．13．（2022·广东广州·高一期末）在ABC中，记角A，B，C所对的边分别是a，b，c，面积为S，则22Sabc+的最大值为_

_____【答案】312【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.-18-【详解】2221sin1sin222cos2222cosbcASAbcabcbcbcAbcAcb==++−+++−1sin4cos2AA

−−（当且仅当bc=时取等号）.令sin,cosAyAx==，故21242Syabcx−+−，因为221xy+=，且0y，故可得点(,)xy表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yzx=−上，表示圆弧上一点到点(2,0)A点

的斜率，由数形结合可知，当且仅当目标函数过点13,22H，即60A=时，取得最小值33−，故可得3,023yzx=−−，又21242Syabcx−+−，故可得213324312Sabc−−=+，当且仅当60,Abc==，即三角形为等边三角形时，取得最大值

.故答案为：312.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理求范围问题，涉及线性规划以及均值不等式，属综合困难题.四、解答题14．（2022·全国·高一课时练习）已知,,abc均为正实数．(1)求证：233223323bcaacbabcabc+−+−+−++

．(2)若3abc++=，证明：11132abbcca+++++．-19-【分析】（1）将222baab+、323caac+、32223cbbc+三式相加可证明；（2）由条件可得()()()()()()()()()11116a

bbccaabbccaabbccaabbccaabbcca+++++++++++++++++=++++++++，然后可证明.（1）因为,,abc均为正实数，所以222baab+（当且仅当2ab=时等号成立），323caac+（当且仅当3ac=时等号成

立），32223cbbc+（当且仅当23bc=时等号成立），以上三式相加，得233262323bacacbabacbc+++++（当且仅当23abc==时等号成立），所以233211132

323bacacbabacbc+−++−++−（当且仅当23abc==时等号成立），即233223323bcaacbabcabc+−+−+−++（当且仅当23abc==时等号成立）．（2）由题可得()()()6abbcca+++++=，则左边()()

()()()()()()()16abbccaabbccaabbccaabbcca+++++++++++++++=+++++136abbcabbcbcabcaacabcabcca++=++++++++++++++++13322262bcabcaabcabcabbca

bcabcca+++++++++=++++++，当且仅当bcababbc++=++，caababca++=++，cabcbcca++=++，3abc++=，即1abc===时取“＝”．故11132abbcca+++++成立．15．（2022·全国·高一课时练

习）已知a，b，c均为正实数，求证：(1)abcabbcac++++；(2)()2222222abbccaabc+++++++．【分析】（1）将左边变形为()()()12abbcac+++++，然后利用基本不等式可证得结论，-20-（2）利用222abab+可证得222ab

ab++，同理可得222bcbc++，222caca++，3个式相加可证得结论.（1）证明：左边()()()()1122222abbcacabbcacabbcac=+++++++=++

，当且仅当abc==时取“＝”．故abcabbcac++++．（2）证明：因为222abab+，当且仅当ab=时取“＝”，所以()()2222222abaabbab+++=+，所以()2222abab++，所以222abab++

，①同理222bcbc++，当且仅当bc=时取取“＝”，②222caca++，当且仅当ac=时取“＝”．③①+②+③，得()22222222222abcabbccaabc+++++++=++，当且仅当abc==时等号成立．16．

（2021·河南·高一期中）已知x、y、z都是正数．(1)求证：0xyyzzxyzzxxy−−−++；(2)若()2221122xymmyxxy+−−+恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)13m−【分析】（1）将所证不等式等价转化为证明222x

yzxyyzxz++++，利用基本不等式结合不等式的基本性质可证得结论成立；（2）化简得出22222xxyymmxy−+−−，利用基本不等式可得出关于m的二次不等式，解之即可.(1)证明：要证0xyyzzxyzzxxy−−−++，左右两边同乘以xyz可知即证2220x

xyyyzzxz−+−+−，即证222xyzxyyzxz++++．-21-因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知222xyxy+，222yzyz+，222xzxz+，当且仅当xyz==时，以上三式等号成立，将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得222xyzxyyzxz++

++．所以，原不等式得证．(2)解：()()33222222112222xyxyxxyymmmmyxxyxyxyxy+−++−−+−−=+，因为221211xxyyxyxyxyyxyx−+=+−−=

，当且仅当xy=时等号成立，所以，2221mm−−，即2230mm−−，解得13m−≤≤，故实数m的取值范围为13m−≤≤．17．（2022·全国·高一课时练习）某光伏企业投资144万元用于太阳能发电项目，()Nnn+年

内的总维修保养费用为()2420nn+万元，该项目每年可给公司带来100万元的收入．假设到第n年年底，该项目的纯利润为y万元．（纯利润=累计收入−总维修保养费用−投资成本）(1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利．(2)

若干年后，该公司为了投资新项目，决定转让该项目，现有以下两种处理方案：①年平均利润最大时，以72万元转让该项目；②纯利润最大时，以8万元转让该项目．你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？请说明理由．【答案】(1)()2480144ynnn+=−+−N，从第3年起开始盈利(2)选

择方案①更有利于该公司的发展；理由见解析【分析】（1）根据题意可得表达式，令0y，解不等式即可；（2）分别计算两个方案的利润及所需时间，进而可确定方案.（1）由题意可知()()22100420144480144ynnnnnn+=−+−=−+−N，令0y，得24801440n

n−+−，解得218n，所以从第3年起开始盈利；（2）若选择方案①，设年平均利润为1y万元，则13636804804232yynnnnn==−+−=，-22-当且仅当36nn=，即6n=时等号成立，所以当6n=时，1y取得最大值

32，此时该项目共获利32672264+=（万元）．若选择方案②，纯利润()22480144410256ynnn=−+−=−−+，所以当10n=时，y取得最大值256，此时该项目共获利2568264+=（万元）．以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年，而方案②需10年

，所以仅考虑该项目的获利情况时，选择方案①更有利于该公司的发展．18．（2021·全国·高一专题练习）（1）0ab，比较()bab−与24a的大小；（2）已知0ab，求代数式225()abab+−的最小值及

取最小值时,ab的值.【答案】（1）2()4abab−；（2）225()abab+−的最小值20，1010,2ab==【分析】（1）利用基本不等式即可得解；（2）由（1）知20()4abab−，214()baba−，再利用基本不等式即可得解.【详解】（1）0ab，0ab−，22

()()24bababab+−−=，当且仅当bab=−，即2ba=时，等号成立.所以2()4abab−.（2）由（1）知20()4abab−，214()baba−2222225100100220()aaababaa++=−，当且

仅当22100aa=时取等号，显然要使22520()abab+=−成立，需满足221000babaaa=−=，解得10102ab==综上可知，当1010,2ab==，代数式225()abab+−取得最小值20.【点睛】易错点睛：利用基本不等

式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若

不能取等号则这个定值-23-就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.19．（2021·全国·高一专题练习）已知,,abcR,且1abc++=.证明：（Ⅰ）22213abc++；（Ⅱ）2221abcbca++.【分析】（Ⅰ）根据均值不等式可以证明；（Ⅱ）根据均值不等式和已知条

件的灵活应用可以证明.【详解】证明(Ⅰ)a，b，c+R，且1abc++=，()22222221()2223abcabcabbcacabc=++=+++++++，22213abc++，当且仅当abc==时，等号成立.(Ⅱ2)2abab+，22bcbc+，22caca+，()2222a

bcabcabcbca+++++++，2221abcabcbca++++=，2221abcbca++【点睛】本题主要考查不等式的证明，均值不等式是常用工具，侧重考查逻辑推理的核心素养.