【文档说明】【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：6.3平面向量线性运算的应用【高考】.docx，共(9)页，185.248 KB，由小赞的店铺上传

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第六章6.3请同学们认真完成[练案31]A级基础巩固一、选择题1．若|AB→|＝|AD→|且BA→＝CD→，则四边形ABCD的形状为(C)A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形[解析]由BA→＝CD→可知，四边形ABCD为平行四边形，又因为|AB→|＝|AD→|，所以四

边形ABCD为菱形．2．一条渔船距对岸4km，以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，则河水的流速为(A)A．23km/hB．2km/hC．3km/hD．3km/h[解析]如图，船在A处，AB＝4，实际航程为AC

＝8，则∠BCA＝30°，|vAB|＝2，|vAC|＝4，所以|vBC|＝23，故选A．3．在矩形ABCD中，|AB→|＝4，|AD→|＝2，则|BA→＋BD→＋BC→|＝(C)A．2B．4C．45D．25[解析]由平行四边形法则可知

BA→＋BC→＝BD→，原式即为2|BD→|，而BD为矩形对角线，所以|BD→|＝42＋22＝25.原式＝2|BD→|＝2×25＝45.故选C．4．如图，在△ABO中，P为线段AB上的一点，OP→＝xOA→＋yOB→，

且BP→＝2PA→，则(A)A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14[解析]由题可知OP→＝OB→＋BP→，又BP→＝2PA→，所以OP→＝OB→＋23BA→＝OB→＋23

(OA→－OB→)＝23OA→＋13OB→，所以x＝23，y＝13，故选A．5．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a＋b，则下列结论正确的是(BD)A．|b|＝1B．

|a|＝1C．a∥bD．(4a＋b)⊥BC→[解析]如图，由题意，BC→＝AC→－AB→＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为AB→＝2a，BC

→＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则AB→＋AC→＝2AD→，且AD→⊥BC→，而2AD→＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥BC→，故D正确．二、填空题6．已知三个力F1＝(3,4)，F2

＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为__(－5,1)__．[解析]因为F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，所以F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝0，所以(3＋2＋x,4－5＋y)＝0，所以x

＋5＝0，y－1＝0，解得x＝－5，y＝1．所以F3的坐标为(－5,1)．7．河水从东向西流，流速为2km/h，一艘船以23km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是__4__km/h．[

解析]由题意，如图，OA→表示水流速度，OB→表示船在静水中的速度，则OC→表示船的实际速度，则|OA→|＝2，|OB→|＝23，∠AOB＝90°，∴|OC→|＝4．8．△ABC所在平面上一点P满足PA→＋PC→＝mAB→(m＞0，m为常数)，若△ABP的面积为6，则△ABC的

面积为__12__．[解析]取AC的中点O，∵PA→＋PC→＝mAB→(m＞0，m为常数)，∴mAB→＝2PO→，∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP＝12．三、解答题9．

如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小．(忽略绳子重量)[解析]设A，B处所受力分别为f1，f2,10N的重力用f表示，则f1＋

f2＋f＝0．以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则CF→＝－f2，CE→＝－f1，CW→＝f．∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°，∴四边形CEWF为矩形，∴|CE→|＝|

CW→|cos30°＝53，|CF→|＝|CW→|cos60°＝5．即A处所受力的大小为53N，B处所受力的大小为5N．10．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且CEED＝AFFB＝12．求证：点E，O，F在同一直线上．[解析]设AB→＝m，AD→＝n，

由CEED＝AFFB＝12知E，F分别是CD，AB的三等分点，所以FO→＝FA→＋AO→＝13BA→＋12AC→＝－13m＋12(m＋n)＝16m＋12n，OE→＝OC→＋CE→＝12AC→＋13CD→＝12(m＋n)－13m＝16m＋12n．所以FO

→＝OE→．又O为FO→和OE→的公共点，故点E，O，F在同一直线上．B级素养提升一、选择题1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为(B)A．锐角

三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形[解析]AB→＝(2，－2)，AC→＝(－4，－8)，BC→＝(－6，－6)，所以|AB→|＝22＋(－2)2＝22，|AC→|＝16＋64＝45，|BC→|＝36＋36＝62，所以|AB→|2＋|BC→|2＝|AC→|2，所以△A

BC为直角三角形．2．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB→＝a，AC→＝b，则下列向量中与AD→同方向的是(A)A．a＋b|a＋b|B．a|a|＋b|b|C．a－b|a－b|D．a|a|－b|b|[解析]因为

D为BC边的中点，则有AB→＋AC→＝2AD→，所以a＋b与AD→共线，又因为a＋b|a＋b|与a＋b共线，所以选项A正确．3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20N，则当它们的夹角为120°

时，合力的大小为(B)A．40NB．102NC．202ND．10N[解析]对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是102N；当它们的夹角为120°时，由三角

形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为102N．4．已知点A(2,0)，B(－4,4)，C(1，－1)，D是线段AB的中点，延长CD到点E使|DC→|＝2|DE→|，则点E的坐标为(A)A．(－2，72)B．

(2，72)C．(2，－72)D．(－2，－72)[解析]由已知得D(－1,2)，因为|DC→|＝2|DE→|，所以CD→＝2DE→，设E(x，y)，则有(－2,3)＝2(x＋1，y－2)，所以－2＝2x＋2，3＝2y－4.所以x＝－2，y

＝72.二、填空题5．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．则直线DE的方程为__x－y＋2＝0__，直线EF的方程为__x＋5y＋8＝0__．[解析]由已知得点D(－1,1)，E(－3

，－1)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则DM→∥DE→．又DM→＝(x＋1，y－1)，DE→＝(－2，－2)，所以(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x－y＋2＝0为直线DE的方程．同理可求，直线EF的方

程为x＋5y＋8＝0．6．设O是△ABC内部一点，且OA→＋OC→＝－2OB→，则△AOB与△AOC的面积之比为__1∶2__．[解析]设D为AC的中点，如图所示，连接OD，则OA→＋OC→＝2OD→．又OA→＋OC→＝－2OB→，所以OD→＝－OB→，即O为BD的中点，从而容易得△AOB与△

AOC的面积之比为1∶2．三、解答题7．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝3m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；

(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|＝3m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．[解析]如图，设OA→＝v0，OB→＝v1，OC→＝v2，则由题意知v2＝v0＋v1，|OA→|＝1，根据向量加法的平行四边形法则得四边

形OACB为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且|OB→|＝AC＝3，如图所示，则在直角△OAC中，|v2|＝OC＝OA2＋AC2＝2，tan∠AOC＝31＝3，又α＝∠AO

C∈(0，π2)，所以α＝π3．(2)由题意知α＝∠OCB＝π2，且|v2|＝|OC→|＝3，BC＝1，如图所示，则在直角△OBC中，|v1|＝OB＝OC2＋BC2＝2，tan∠BOC＝13＝33，又∠BOC∈(0，π2)，所以∠BOC＝π6，则β＝π2＋π6＝2π3．答：(1)

他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．8．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与

BP∶PN．[解析]设BM→＝e1，CN→＝e2，则AM→＝AC→＋CM→＝－3e2－e1，BN→＝BC→＋CN→＝2e1＋e2．∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得AP→＝λAM→

＝－λe1－3λe2，BP→＝μBN→＝2μe1＋μe2．故BA→＝BP→＋PA→＝BP→－AP→＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2．而BA→＝BC→＋CA→＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得λ＋2μ＝2

，3λ＋μ＝3，解得λ＝45，μ＝35.∴AP→＝45AM→，BP→＝35BN→．故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com