【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十五讲 一元二次方程和不等式求解 Word版含解析.docx，共(17)页，1.455 MB，由小赞的店铺上传

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第二十五讲：一元二次方程和不等式求解【教学目标】1．从二次函数中，抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的意义；2．掌握不含参的一元二次不等式的求解过程；3．掌握分式不等式，绝对值不等式，高次不等式等的求解；4．掌握一元二次不等式在实际问题中的应用.【基础知识】一、一元二次不

等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数二、二次函数

与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的

实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}xx≠－b2aRax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【题型目录】考点一：一元二次方程根与系数的

关系考点二：解一元二次不等式考点三：分式不等式考点四：绝对值不等式考点五：高次不等式考点六：一元二次不等式实际应用【考点剖析】考点一：一元二次方程根与系数的关系一元二次方程20(0)axbxca++=有两个根，则1212,bcxxxxaa+=−=例1．已知一元二次

方程20(0)xaxaa−−=的两个实根为12xx、，则1211xx+=__________.【答案】1−【详解】因为一元二次方程20(0)xaxaa−−=的两个实根为12xx、，所以1212,xxa

xxa+==−.故121212111xxaxxxxa++===−−故答案为：1−变式训练1．若12,xx是二次函数22yxx=+−的两个零点，则1212xxxx++=___________.【答案】3−【详解】因

为12,xx是二次函数22yxx=+−的两个零点，所以220xx+−=的两根为12,xx，所以12121,2xxxx+=−=−，所以12123xxxx++=−.故答案为：3−变式训练2．一元二次方程230xx+−=的两个实根为12

,xx，则221221xxxx+=___________．【答案】3【详解】依题意，因为一元二次方程230xx+−=的两个实根为12,xx，所以由韦达定理得：12111xx+=−=−，12331xx−==−，所以()()2

212211212133xxxxxxxx+=+=−−=.故答案为：3.变式训练3．已知2210,10aabb−−=−−=，且ab¹，则baab+=__________.【答案】3−【详解】由题可知，,ab为一元二次方程210xx−−=的两个根，

所以11abab+==−，所以222()23ababab+=+−=，所以223baababab++==−，故答案为：3−.考点二：解一元二次不等式解一元二次不等式：（1）二次项系数为正；（2）等号求解一元二次方程的两个根；（3）大于取两边，小于取中间.例2．不等式2372

0xx−+的解集是（）A．1,23B．12,3−−C．1,(2,)3−+D．1(,2),3−−−+【答案】C【详解】由23720xx−+得()()2310xx-->，解得13x或2x，故不等式的解为

1,(2,)3−+，故选：C变式训练1．不等式2560xx−+的解集为（）A．{|23}xxB．{|2}xxC．{|3}xxD．{2|xx或3}x【答案】D【详解】由不等式2560xx

−+，可得(2)(3)0xx−−，解得2x或3x，所以不等式的解集为{2|xx或3}x.故选：D.变式训练2．不等式()23xx−的解集是（）A．|13xx−B．|31xx−C．|3xx−或1x

D．【答案】D【详解】将不等式化为2230xx−+，由于对应方程的判别式4120=−，所以不等式()23xx−的解集为.故选：D.变式训练3．解下列不等式：(1)22530xx+−；(2)23620xx−+−；(3)24410xx+

+.【答案】(1)1|32xx−；(2)33|3xx−或333x+；(3)1|,R2xxx−【详解】（1）由22530xx+−，得(3)(21)0xx+−

，得132x−，所以不等式22530xx+−的解集为1|32xx−.（2）由23620xx−+−得23620xx−+，得22203xx−+，得()2113x−，得313x−−或313x−，即333x−或333x+，所以原不等式的解集为33|3xx−

或333x+.（3）由24410xx++得()2210x+，所以12x−.所以原不等式的解集为1|,R2xxx−.考点三：分式不等式分式不等式，先移项，使得右边为零，()()000axbcxdaxbcxdcxd+++++.例3．不等式3

02xx−−的解集是（）A．2xx或3xB．23xxC．2xx或3xD．23xx【答案】A【详解】由()()32030220xxxxx−−−−−2x或3x，所以不等式的解集为：2xx

或3x，故选：A.变式训练1．已知集合105xAxx+=−，4Bxx=，则BA=Rð（）A．14xx−B．4xxC．14xx−D．1xx−【答案】C【详解】因为1015xAxxxx+=

=−−或5x，故15Axx=−Rð，又因为4Bxx=，则14BAxx=−Rð.故选：C.变式训练2．设xR，则“51x”是“5x”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充

分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由51x，得0x或5x；由5x，得51x，则“51x”是“5x”的必要不充分条件．故选：C变式训练3．设p：2120xx−−，q：713x+，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答

案】B【详解】由212(4)(3)0xxxx−−=−+，则34x−，由713x+，则741033xxx−−=++，即(4)(3)030xxx−++，故34x-<?，所以p是q的必要不充分条件.故选：B考点四：绝对值不等式绝对值不等式：（1）||a

xbccaxbc+−+；（2）||axbcaxbc++或axbc+−.例4．已知集合32Axx=−，102xBxx+=−，则AB=（）A．(1,2B．()1,2C．1,5−D．)1,5−【答案】C【详解】由32x−，即232x−−，解得

15x，所以3215Axxxx=−=，由102xx+−等价于()()12020xxx+−−，解得12x−，所以10122xBxxxx+==−−，则

151,5ABxx=−=−.故选：C变式训练1．已知集合24Mxxx=，13Nxx=−，则MN=（）A．2xx或4xB．2xx−或4xC．0xx或4xD．2xx−或0x【答案】D【详解】由24xx

可得04x，由13x−可得13x−或13x−−，所以4x或2x−，故()()0,4,,24,MN==−−+，所以MN=2xx−或0x.故选：D.变式训练2．设xR，则“502xx−−”是“14x−”的（）A．充分不必要条件B．必

要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由502xx−−，得(5)(2)0xx−−，解得25x；由14x−，得414x−−，得35x−因为当25x时，一定可以推出35x−，而当35x−时，不能推出25x。所以“502x

x−−”是“14x−”的充分不必要条件，故选：A．变式训练3．“11x−”是“112xx−++”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【答案】A【详解】112xx−++，当1x−时，112xx−−−，即22x−，解得1x

−，与1x−取交集，得，当11x−时，112xx−++，即22，成立，故11x−，当1x时，112xx−++，解得1x，与1x取交集，得，综上：112xx−++的解集为11xx−，因为1111xx−−

，但11x−11x−，故“11x−”是“112xx−++”的充分不必要条件.故选：A考点五：高次不等式一元高次不等式求解时，先求解出每个因式的根，再根据击穿偶不穿画图求解（次方）例5．不等式()()

()233120xxx+−−解集为（）A．{3|xx−或2}xB．{3|xx−或1}xC．{|31xx−或2}xD．{3|xx−或1x=或2}x【答案】D【详解】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为{3|x

x−或1x=或2}x故选：D.变式训练1．不等式()()()1130xxx−+−的解集为（）A．()()1,13,−+B．()1,3C．()(),11,3−−D．()3,+【答案】A【详解

】令()()()1130xxx−+−=，则=1x−或1x=或3x=，当3x时，10,10,30xxx−+−，满足不等关系；当13x时，10,10,30xxx−+−，则()()()1130xxx−+−不满足；当11x−时，10,10,30xxx−+−，满足不等

关系；当1x−时，10,10,30xxx−+−，则()()()1130xxx−+−不满足；而x=-1或x=1或x=3时，原不等式左侧等于0，不满足；综上，解集为()()1,13,−+.故选：A变式训练2．不等式()()13021xxx+−+的解集为（）A．)11,3,2−−

+B．()11,3,2−−+C．)11,3,2−−+D．()11,3,2−−+【答案】C【详解】不等式()()13021xxx+−+等价于()()()13210210xxxx+−++

，利用数轴标根法可得112x−−或3x，所以不等式解集为)11,3,2−−+.故选：C变式训练3．不等式25(1)(5)(2)0(1)xxxx+−+−的解集为____________．【答案】(,2](1,5]−−【详

解】因为25(1)(5)(2)0(1)xxxx+−+−，所以255(+1)(5)(+2)(1)0(1)0xxxxx−−−，即255(+1)(5)(+2)(1)0(1)0xxxxx−−−，由高次不等式的性质可知：不等式解集为：(,2](1,5]x−−故答案为：(,2](

1,5]−−考点六：一元二次不等式实际应用根据具体题目，列出对应的不等式，进行求解.例6．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的%t征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于9

00万元，则t的取值范围是（）A．|3ttB．5|3ttC．{|35}ttD．|5tt【答案】B【详解】由题设52400%(20)9002tt−且08t，整理得28150tt−+，可得35

t.故选：B变式训练1．2022年7月1日，迎来了香港回归祖国25周年，为了迎接这一历史性时刻，某商店购进一批香港回归25周年纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得60

0元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（）A．()10,20B．)15,20C．()16,20D．)15,25【答案】B【详解】由题意，得()45315600xx−−，即2302000x

x−+,解得1020x．又每枚的最低售价为15元，1520x．故选：B．变式训练2．若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售.则每天可销售100件.现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售

价每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价应定为（）A．11元B．11元到15元之间C．15元D．10元到14元之间【答案】B【详解】设售价为x，利润为y，则()()61001010yxx=−−−

，由题意()()61001010450yxx=−−−，即2261650xx−+，解得1115x，即售价应定为11元到15元之间，故选：B.变式训练3．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出

10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为（）A．540VB．1040VC．540VD．1040V【答案】B【详解】第一次稀释后，药液浓度为10VV−，

第二次稀释后，药液浓度为10108VVVV−−−8018VVV+−=，依题意有801860%VVV+−，即2452000VV−+，解得540V，又100V−，即10V，所以1040V.故选：B【课堂小结

】1．知识清单：（1）一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）；（2）简单的一元二次不等式，分式不等式的解法；（3）绝对值不等式和高次不等式的解法；（4）一元二次不等式的实际应用．2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区

：(1)解分式不等式，绝对值不等式要等价变形．(2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．【课后作业】1、下列一元二次方程没有实数根的是（）A．2210xx++=B．220xx++=C．21

0x-=D．2210xx−−=【答案】B【详解】对于选项A：因为224110=−=；所以方程有两个相等的实数根，选项A不合题意；对于选项B：214120=−，所以方程没有实数根，选项B符合题意；对于选项C：因为方程有两个不相等的实数

根1x=，选项C不符合题意；对于选项D：因为()()224110=−−−，方程有两个不相等的实数根，选项D不合题意．故选：B.2、已知方程210xx+−=的两根分别为1x、2x，则1211xx+=（）A．12B．1C．52D．5【答案】B【详解】由韦达定理可得12121x

xxx+==−，因此，121212111xxxxxx++==.故选：B.3、若a，b是方程220210xx+−=的两个实数根，则22aab++=（）A．2021B．2020C．2019D．2018【答案】B【详解】∵a是方程220210xx+−=的根，∴220210aa+−=，∴22021aa=

−＋，∴22202122021aabaabab++=−+++=++.∵ab，是方程220210xx+−=的两个实数根，∴1ab+=−，∴22202112020.aab+=−=＋故选：B.4、若集合1,|3|5MxxNxx

==，则MN＝（）A．03xxB．135xxC．195xxD．39xx【答案】C【详解】因为1,|3|5MxxNxx==,所以1|09|5,MxxNxx==，所以195MNxx=

.故选：C.5、关于x的一元二次不等式2560xx−−的解集为（）A．1xx−或6xB．16xx−C．2xx−或3xD．23xx−【答案】A【详解】由2560x

x−−得()()610xx−+，解得6x或1x−.即原不等式的解集为1xx−或6x.故选：A.6、一元二次不等式2210xx−−的解集是（）A．1{|2xx−或1}xB．112x

x−C．{|1xx或2}xD．12xx【答案】B【详解】2210xx−−，有(21)(1)0xx+−，解得112x−，故选：B7、已知集合11,02xAxxBxx=−=−∣∣，则AB=（）A．12xx−∣B．

{12}xx−∣C．01xx∣D．02xx∣【答案】C【详解】不等式02xx−化为：(2)020xxx−−，解得02x，即{|02}Bxx=，而11Axx=−∣，所以|01ABxx=.故选：C8、5|||1,{|

0,N}1xAxxBxxx−==−，则AB=（）A．1,5B．(1,5]C．{0,1,2,3,4,5}D．{2,3,4,5}【答案】D【详解】因为5{|0,N}{|15,N}{2,3,4,5}1xBxxxxxx−===−，又

因为|||1{|1Axxxx==或1}x−，所以{2,3,4,5}AB=，故选：D.9、已知集合112Axx=−，12Bxx=−，则AB=（）A．1,3−B．()1,3−C．()2,3D．(2,3【答案】C【详解】因为

111102322Axxxxxx==−=−−，1213Bxxxx=−=−所以23ABxx=.故选：C.10、不等式()()224510xxx−−+的解集是（）A．15xx−

B．{|15}xxx或C．05xxD．10xx−【答案】B【分析】观察不等式，不等式转化为2450xx−−，再求不等式.【详解】因为211x+，所以不等式等价于2450xx−−，即()()150xx+−，解得：5x

或1x−，所以不等式的解集是{1xx−或5}x.故选：B11、不等式24711xxx−−−的解集为（）A．()1,6−B．()()1,11,6−C．))1,16,−+D．()()1,16

,−+【答案】D【详解】解：原式可化为25601xxx−−−，即256>01>0xxx−−−或256<01<0xxx−−−，解得：()6,x+或()1,1x−．∴不等式解集为：()()1,16,−+．故选：D．12、某小型

服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为1602Px=−，生产x件所需成本为C（元），其中()50030Cx=+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是（）.A．2030,Nxxx+B．2045,Nxxx+C．

1530,Nxxx+D．1545,Nxxx+【答案】B【详解】设该厂每天获得的利润为y元，则2(1602)(50030)2130500yxxxxx=−−+=−+−，080x，Nx+，依题意，221305001300xx−+−，解得2045x

，所以当2045x，且Nx+时，每天获得的利润不少于1300元.故选：B13、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长x（单位：m

）的取值范围是（）A．1520xxB．1225xxC．1030xxD．2030xx【答案】C【详解】如图，过A作AHBC⊥于H，交DE于F，易知DEAFBCAH=，即4040xAF=，则AFx=，40FHx=−．所以矩形

花园的面积()40300Sxx=−，解得1030x．故选:C．14、已知||xab−的解集是|39xx−，则实数a，b的值是（）A．3,6ab=−=B．3,6ab=−=−C．,63ab==D．,36ab==【答案】C

【详解】||xab−，abxab−+，又不等式的解集是{|39}xx−，则39abab−=−+=，解得：36ab==，故选：C．15、方程()()22222230xxxx+−+−=的解集为_______________．【答案】{3,1,1}−−【详解】由()

()2222222223(23)(21)(3)(1)(1)0xxxxxxxxxxx+−+−=+−++=++−=，所以3x=−或=1x−或1x=，故解集为{3,1,1}−−.故答案为：{3,1,1}−−16、不

等式132xx+−−的解集是__________．【答案】2x【详解】由不等式132xx+−−可得：①1132xxx−−−−+，无解；②13132xxx−+−+，解得23x，③3132xxx+−+

，解得3x，综上所述，2x，故答案为：2x．17、求下列不等式的解集(1)12xx−；(2)25601xxx−++−．【答案】(1)|10xx−；(2)|1xx−或16x【详解】（1

）已知12xx−，移项得120xx−−，通分化简得10xx−−，等价于()10xx−−，即()10xx+，解得：10x−，故不等式12xx−的解集为|10xx−.（2）已知25601xxx−++−，等价于()()25610xxx−++−且10x−，即()()()6

110xxx−+−且10x−，根据穿根法，如图可知不等式25601xxx−++−的解集为|1xx−或16x