【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十讲 不等关系与不等式 Word版含解析.docx，共(16)页，1.254 MB，由小赞的店铺上传

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第二十讲：不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小．【基础知识】两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.比较大小作差法作商法（0,0ab）依据0abab−0abab=−

=0abab−1aabb1aabb==1aabb结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的商与1的大小作差法比较大小的步骤：（1）作差；（2）化简为乘除的形式；（3）判断正负；（4）下结论.【题型目录】考点

一：不等式组表示不等关系考点二：作差法比较大小（一）考点三：作差法比较大小（二）考点四：作商法比较大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过372000cm，设携带品

外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）A．130abc++且72000abcB．130abc++且72000abcC．130abc++且72000abcD．13

0abc++且72000abc【答案】C【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得130abc++，由体积不超过372000cm得72000abc.故选：C.变式训练1．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为()bcaba=糖的质量克糖水的质量克，向糖水（不饱和）中再加入m克糖，那么糖水（不

饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）A．bbmaam++B．bbmaam++C．bbmaa+D．bbmaa+【答案】B【详解】依题意，向糖水（不饱和）中再加入m克糖，此时糖水的浓度为bm

am++，根据糖水更甜，可得bbmaam++故选：B变式训练2．将一根长为5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小于1m，则x所满足的不等关系为（）A．25005xx−B．251x−或521x−

C．52105xx−D．25105xx−【答案】D【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为()5mx−.因为两段绳子长度之差不小于1m，所以()5105xxx−−，化简得：25105xx−.故选：D变式训练3．如

图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A．4abB．()(4200)4ab++=C．4(4)(4)200abab++=D

．44200abab=【答案】C【详解】解：由题意知4ab，根据面积公式可以得到()(4200)4ab++=.故选:C．考点二：作差法比较大小（一）例2．已知a，b，c为不全相等的实数，2223Pabc=+++，2()Qabc=++

，那么P与Q的大小关系是（）A．PQB．PQC．PQD．PQ【答案】A【详解】因为2223Pabc=+++，2()Qabc=++所以22222232()(1)(1)(1)0PQabcabcabc−=+++−++=−+−+−，当且仅当1abc===时取等号,a，b

，c为不全相等的实数，因此等号不成立，即0PQ−，PQ．故选：A变式训练1．设()227Maa=−+，()()23Naa=−−，则有（）A．MNB．MNC．MND．MN【答案】A【详解】()()222213247561024MNaaaaaaa−=−+−−+

=++=++，∴MN.故选：A.变式训练2．已知p∈R，(21)(3)Mpp=+−，(6)(3)10Npp=−++，则M，N的大小关系为（）A．M<NB．M>NC．M≤ND．M≥N【答案】B【详解】22(21)(3)[(6)(3)10]25(1)40MNpppp

ppp−=+−−−++=−+=−+，所以MN.故选：B.变式训练3．已知0a，0b，设22,2mabnab=−+=−，则（）A．mnB．mnC．mnD．mn【答案】A【详解】由题意可知，()()22222110mnababab−=−+−+=−

+−当且仅当1ab==时，等号成立；即mn.故选：A考点三：作差法比较大小（二）例3．比较大小：(1)22ab+和2(1)ab−−；(2)22baab+和ab+，其中0,0ab．【答案】(1)()2221abab+−−≥；(2)22baaba

b++【详解】（1）因为()()()222221110ababab+−−−=−++，所以()2221abab+−−≥；（2）因为0,0ab，所以()()()223333+−+=+++−+=−ababbaababbabaababababab()()()()222

0bbaaabbabaabab−+−−+==，所以22baabab++.变式训练1．设0a，5maa=++，23naa=+++，则有（）.A．mnB．mn=C．mnD．m，n的大小不定【答案】A【详解】由已知5maa=++，所以222525maaa=

+++23naa=+++，所以2225256naaa=++++又因为0,0mn，且220nm−，所以nm.故选：A变式训练2．用作差法比较2222ab+与()2ab+的大小.【答案】22222()abab++【详解】22222()abab+−+2222222abaabb=+−

−−222aabb=−+2()ab=−∵2()0ab−所以22222()abab++.变式训练3．(1)比较241xx−+与231xx+−的大小；(2)已知0cab，求证：abcacb−−.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【详解】

（1）由()()222413122−+−+−=−+xxxxxx()2110x=−+，可得224131xxxx−++−；（2）()()()()()()()acbbcaabcabcacbcacbcacb−−−−−==−−−−−−，∵0cab，∴0a

b−，0ca−，0cb−，∴()()()0abccacb−−−，∴abcacb−−．考点四：作商法比较大小例4．设()121paa−=++，21qaa=−+，则（）．A．pqB．pqC．pqD．pq【答案】D【详解】()1222110132411paaaaa−==

+++=+++，22131024qaaa=−+=−+，则()()()222121111aaaaaaaqap−−+−++++=+=()()222222111aaaa=+−=++.故pq，当

且仅当0a=时，取等号，故选：D变式训练1．2211,,()1PaaQaRaa=++=−+，则,PQ的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为22131024Paaa=++=++，22131024aaa−+=−+则0Q由()()

()222224211111PaaaaaaaaQ=++−+=+−=++所以PQ故答案为：变式训练2．已知c＞1，且x＝1c+－c，y＝c－1c−，则x，y之间的大小关系是（）A．x＞yB．x＝yC．x＜yD．x，y的关系随c而定【答案

】C【详解】由题设，易知x，y＞0，又11111xccccycccc+−+−==−−++，∴x＜y.故选：C.变式训练3．试比较下列组式子的大小：(1)1xx+−与1xx−−，其中1x；(2)11abMab=+++与11baNab=+++，其中0a，0b；(3)2222ab

ab−+与abab−+，0ab．【答案】(1)11xxxx+−−−;(2)MN;(3)2222abababab−−++.【详解】（1）111xxxx+−=++，111xxxx−−=+−，因为110xxxx+++−，所以1111xxxx+++−，即11xxxx+−

−−；（2）11111111abbaababMNababaabb−=+−+=−−−++++++++()()()()211111111ababababababab

−−−=−=−−=−++++++．因为0a，0b，所以()()110ab++，()20ab−−，所以0MN−，即MN；（3）方法一（作差法）()()()()()()2222222222abababababababababab+−−

+−−−−=++++()()()()()()()()22222222ababababababababab−+−+−==++++．因为0ab，所以0ab+，0ab−，20ab，220ab+

．所以()()()2220abababab−++，所以2222abababab−−++．方法二（作商法）因为0ab，所以22220abab−+，0abab−+，20ab，所以()22222222222222211ababababa

babababababab−++++===+−++++，所以2222abababab−−++．【课堂小结】1．知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式．2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实

际意义．【课后作业】1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位

：厘米）应满足的不等式为（）A．41500.5xB．41500.5xC．41500.5xD．41500.5x【答案】B【详解】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x米，由题

意可得41500.5x.故选：B.2、某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A．100200240xyz+B．100200240xyz+C．100200240xyz+D．10020

0240xyz+【答案】D【详解】数学成绩x不低于100分表示为100x，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为200240yz+，即100200240xyz+.故选：D.3、如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互

相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（）A．()()2217300xx−−B．()()2217300x

x−−C．()()2217300xx−−D．()()2217300xx−−【答案】B【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22

﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故选：B．4、某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示

为（）A．2,N2,N0.852450xxyxxy+++……„B．220.852450xyxy+……„C．22xy……D．0.8×5x＋2×4y≤50【答案】A【详解】买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，知：每套价格为0.85x

元买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，知：每套价格为24y元∵某同学拿50元钱买纪念邮票∴0.85x+24y≤50又知，每种邮票至少买两套：故2,2xy且,xNyN++综上，有不等式组2,N2,N0.852450xxyxxy+++……„故选：A5、设4t

ab=−，24sab=++，则t与s的大小关系是（）A．stB．stC．stD．st【答案】A【详解】因为()()222444420stababbbb−=++−−=++=+，所以st.故选：A.6、若

xy，设222221MxyNxyy=+=+−，，则（）A．MNB．MNC．MN„D．MN…【答案】A【详解】222221MNxyxyy−=+−−+222221xxyyyy=−++−+22()(1)xyy=−

+−22()0,(1)0xyxyy−−MN故选：A7、已知a>0，b>0，M＝ab+，N＝+ab，则M与N的大小关系为（）A．M>NB．M<NC．M≤ND．M，N大小关系不确定【答案】B【详解】()()22220MNabababa

b−=+−++=−，∴M<N.故选：B.8、设1,75,622abc==−=−，则,,abc的大小顺序是（）A．abcB．cabC．acbD．bca【答案】C【详解】57725b=−=+，66222c=−=+，7625++，227562++，bc.又52566

024ac−=−=−，故ac.则acb.故选：C.9、若()()23xaa=+−，()()34yaa=+−，则x与y的大小关系是__________.【答案】xy【详解】()()()()()()22233461260xyaaaaaaaa−=+−−+−=−−−−−=，因此，xy

.故答案为：xy.10、已知1x，比较36xx+与26x+的大小.【答案】3266xxx++.【详解】()()()()32226616161xxxxxxxx+−−=−+−=+−∵1x，∴()()2610xx+−∴3266xxx++.11、若0x，试比较251x−和23

31xx++的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得：()()()22251331232212xxxxxxx−−++=−−=+−；所以当2x时，2251331xxx−++；当2x=时，2251331xxx−=++；当02x时，2251331xxx−

++；12、设a、b为实数，比较22ab+与448ab−−的值的大小.【答案】22448abab+−−【详解】由于a、b为实数，则()()()()2222224484444220ababaabbab+−−−=−++++=−++，当且仅当22ab=

=−时，等号成立.因此，22448abab+−−.13、比较221xy++与()21xy+−的大小；【答案】()22121xyxy+++−；【详解】因为()()()()2222211111xyxyxy++−=−+−−++，又()()2210

,10xy−−，所以()()222101xyxy+−−++，所以()22121xyxy+++−；14、xR，比较2(1)(1)2xxx+++与()2(11)2xxx+++的大小．【答案】()()22111122xxxxxx++

++++【详解】由()22(1)(1)()1212xxxxxx++++−++323233331110222222xxxxxx=+++−+++=所以()()22111122xxxxxx++++++15、设a，b为实数，比较2

2ab+与1abab++−的大小．【答案】见解析详解：解：22(1)ababab+−++−221(222222)2ababab=+−−−+22221[(2)(21)(21)]2ababaabb=+−+−++−+2221[()(1)(1)]2abab=−+−+−222()0,(1)0,

(1)0abab−−−，当且仅当1ab==时同时取等号22(1)0ababab+−++−，当且仅当1ab==时取等221ababab+++−16、已知0a，0b，试比较11abMab=+++与11baNab=+++的大小．【答案】当ab=时，MN=

；当ab¹时，MN.【详解】11111111abbaababMNababaabb−=+−+=−−−++++++++Q()()()()211111111abab

ababababab−−−=−=−−=−++++++.因为0a，0b，所以()()110ab++，()20ab−−，得0MN−当ab=时，MN=；当ab¹时，MN.17、已知,Rab+，试比较abba+与+ab的大小．【答案】ababba++【详解】因为()abaa

bbabbaabbaab+−−+−+=()()aabbbaab−+−=()()aabbabab−−−=()()ababab−−=()()20ababab−+=，显然成立，ababba++，当且仅当ab=时取等号.18、若0ab，0

cd，0e，试比较()2eac−与()2ebd−的大小.【答案】()()22eeacbd−−【详解】()()22eeacbd−−−()()()()2222ebdacacbd−−−=−−()(

)()()()()22eabcdbacdacbd+−+−+−=−−0ab，0cd，0ab+，0cd+，0ba−，0cd−，()()0abcd+−+，()()0bacd−+−.0e，()()()()0eabcdbacd+−+−+−又(

)()220acbd−−，()()220eeacbd−−−，即()()22eeacbd−−.19、先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是

不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p，第二次购物时该物品单价为2p（12pp）.甲两次购物的平均价格记为1Q，乙两次购物的平均价格记为2Q.（1）

求1Q，2Q的表达式（用12pp，表示）；（2）通过比较1Q，2Q的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）1212121222ppppQQpp+==+，；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为1pm+2pm，购

物总量为2m，平均价格为1212122pmpmppQm++==.设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为12nnpp+，平均价格为122121222ppnQnnpppp==++=综上，1212121222

ppppQQpp+==+，（2）∵12pp，∴()()2212121212121212121242022()2()ppppppppppQQpppppp+−−+−=−==+++12QQ由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同

一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购

买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为a元，b元(0,0)ab，问甲、乙谁的购物比较经济合算.【答案】（1）5，245；（2）乙的购物比较经济合算.【详解】（1）设甲每次购买这

种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n，所以甲两次购买这种物品平均价格为，645mmmm+=+，乙两次购买这种物品平均价格为，224564nnn=+.（2）设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数

为n，所以甲两次购买这种物品平均价格为，2ambmabmm++=+，乙两次购买这种物品平均价格为22nabnnabab=++，22222()42()022()2()2()ababababababababababab++−+−−−===++++，所以乙的购物比较经济合算

.