【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十八讲 函数的概念，表示和定义域（原卷版）.docx，共(15)页，1.844 MB，由小赞的店铺上传

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第二十八讲：函数的概念，表示和定义域【教学目标】1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念；2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；3.会判断两个函数是否为同一个函数；4.能正

确使用区间表示数集；5.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．【基础知识】一、函数的概念概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和

它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}注意点：(1)A，B是非空的实数集；(2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集；(3)函数定义中强

调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．(4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可

以是图象或表格，或其他的对应关系；(5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数．二、区间的概念设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间数轴表示[a，b](a，b)[a，b

)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆；(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；(4)∞是一个

符号，而不是一个数．三、简单函数的定义域（1）偶次根号下大于等于0；（2）分母不为0；（3）010aa=.四、同一函数（1）定义域相同；（2）解析式一致；（3）值域相等.【题型目录】考点一：函数关系考点二：函数的概念考点三：函数的表示考点四：函数值的求解考点五：已知函数

值求参考点六：区间的表示考点七：同一函数考点八：具体函数求定义域考点九：抽象函数求定义域考点十：实际应用问题求定义域考点十一：考点十一：已知定义域求参【考点剖析】考点一：函数关系变量之间存在固定的公式变化，且

一一对应的关系，即为函数关系。例1．下列变量间的关系是函数关系的是（）A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系C．正方形的面积S与其边长a之间的关系D．光照时间和苹果的亩产量变式训练1．下列变量之间是函数关系的是（）A．某十字路口通过汽车

的数量与时间的关系B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系变式训练2．下列变量间为函数关系的是（）A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量

的关系C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系D．生活质量与人的身体状况间的关系考点二：函数的概念两个集合为非空集合，且必须满足一一对应的关系.例2．已知集合04Axx=，集合02Bxx=，下列图象能建立从集合A到集合B的

函数关系的是（）A．B．C．D．变式训练1．1859年中国清朝数学家李善兰在翻译《代数学》中首次将“function”翻译成“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学

的集合论的函数定义.现给出下列四个对应关系，请由函数的定义判断，其中能构成从A到B的函数的是（）A．①④B．①②C．①②④D．①③④变式训练2．设集合02Mxx=，02Nyy=.下列四个图象中能表示从集合M到集合

N的函数关系的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个变式训练3．函数yfx=（）的定义域为|22Mxx=−，值域为|02Nxx=，则()yfx=图像可能是（）A．B．C．D．考点三：函数的表示函数的表示方

法：列表法，图象法，解析式法例3．下列表示y关于x的函数的是（）A．43yxx=−+−B．24yx=C．,112,1xxyxx=−D．x1234y00－611变式训练1．下表给出了x与()fx和()gx的对应关系，根据表格可知[(1)]fg的值为（）x1234x1234()fx314

2()gx4321A．1B．2C．3D．4变式训练2．下列四个式子中，y是x的函数的是（）A．2yx=B．121yxx=−+−C．22,0,0xxyxx=−D．0,,1,xyx=为有理数为实数变式训练3．下列图形能表示函数(

)yfx=的图象的是（）A．B．C．D．考点四：函数值的求解直接代入法求解函数值例4．已知()211xfxx−=+，则()()1ff=（）A．2B．0C．-1D．-4变式训练1．若(21)23fxx+=+，则

(3)f=__________．变式训练2．已知函数2()1fxx=+，则[(1)]ff−的值等于（）A．2B．3C．4D．5变式训练3．已知()51fxax=+，且()210f−=，则()2f=（）A．8−B．10C．9D．11考点五：已知函数

值求参带入解析式，化简求解，注意根是否可以取值例5．已知函数2()fxxx=+，且()(2)faf=，则实数a＝________.变式训练1．（多选）已知函数()fx，()gx分别由下表给出：则方程()()1fgx=的解可以表示为（）x1234()

fx3412()gx4323A．1B．2C．3D．4变式训练2．若集合{1,2,3,}Ak=，42{4,7,,3}Baaa=+，其中aN+，kN+，:31fxyx→=+.,xAyB是从定义域A到值域B的一个函数，

则ak+的值为（）A．0B．7或0C．7D．5变式训练3．若函数()31xfxx+=+，则()122ff+=_________．考点六：区间的表示例6．一般区间的表示设,abR，且ab，规定如下:定义名称符号数轴表示{|}xaxb闭区间______{|}xaxb开

区间______{|}xaxb半开半闭区间______{|}xaxb半开半闭区间______变式训练1．用区间的方法表示下列集合：05Axx=表示为_____________；|1Axx=−或3x

为_____________.变式训练2．区间及相关概念（1）区间的概念及记法设a，b是两个实数，而且ab，我们规定：定义名称符号数轴表示xaxb闭区间_____xaxb开区间_____

xaxb半闭半开区间_____xaxb半开半闭区间_____（2）无穷大实数集R可以用区间表示为___________，“”读作“无穷大”，“−”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”．（3）特殊区间的

表示定义区间数轴表示xxa_____xxa_____xxb_____xxb_____考点七：同一函数同一函数要求：定义域相同，解析式一致，值域相等.例7．（多选）下列各组函数不是同一个函数的

是（）A．()211xfxx−=−与()1gxx=+B．()32fxx=−与()2gxxx=−C．()2fxx=+与()332gtt=+D．()24fxx=−与()22gxxx=−+变式训练1．（多选）与yx=表示同一个函数的是（）A．2yx=B．()2yx=C．,0,0ttytt=

−D．2xyx=变式训练2．（多选）下列各组函数中的()fx与()gx相等的有（）A．()fxx=与()33gxx=B．()293xfxx−=−与()3gxx=+C．()||xfxx=与()1,01,0xgxx=−D．()21,Zfxxx=+与()21,Zxgxx=−变式训练

3．（多选）下列的函数()fx与()gx表示的是同一个函数的是（）A．()1fxx=−，2()1xgxx=−B．()2fxx=，36()gxx=C．()fxx=，2()gxx=D．()1fxx=−，2()21gxx

x=−+考点八：具体函数求定义域具体函数求解析式方法：（1）偶次根号下大于等于零；（2）分布不为零；（3）010aa=.例8．函数121yxx=++−的定义域为（）A．2xx−且1xB．2xx−C．2xx−D．Rxx且1x变式训练1．函数234xxyx−−+=的定义

域为（）A．[4,0)−B．(0,1]C．(,4][1,)−−+D．[4,0)(0,1]−变式训练2．已知集合2|230Axxx=−−，|24Bxyx==−，则()RAB=ð（）A．()3,+B．)2,+C．)2,3D．(

,2−变式训练3．函数01()(2)3fxxx=+++的定义域是（）A．[3,)−+B．(3,2)(2,)−−−+C．(3,)−+D．[3,2)(2,)−+考点九：抽象函数求定义域抽象函数的定义域：（1）定义域单指x的范围；（2）(),()yf=内的范围

相同.例9．已知函数()1yfx=+的定义域是[2,3]−，则()1yfx=−的定义域是（）A．[2,3]−B．[1,4]−C．[0,5]D．[4,1]−变式训练1．若函数()21yfx=−的定义域为1322

，，则函数()yfx=的定义域为（）A．11−，B．12−，C．01，D．02，变式训练2．已知函数()1yfx=+的定义域为1,2，则函数()21yfx=−的定义域为（）A．1,12B．3,22C．1,1−D．3,5变式训练3．已知

函数()yfx=的定义域为0,4，则函数0(1)(2)1fxyxx+=+−−的定义域是（）A．(1,5B．()()1,22,5C．()(1,22,3D．(1,3考点十：实际应用问题求定义域例10．已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系中，定义域为

（）A．104xxB．102xxC．1142xxD．114xx变式训练1．已知矩形的周长为定值a，设它的一条边长为x，则矩形面积的函数()Sfx=的定义域为（）A．()0,+B．

()0,aC．)0,+D．0,2a变式训练2．已知等腰三角形的周长为40，设其底边长为ycm，腰长为xcm；则函数()yfx=的定义域为（）A．(10,20)B．(5,10)C．[5,10)D．(0,20)变式训练3．如图，某小区有一块

底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于2336m，则x的取值范围为______.考点十一：已知定义域求参根据定义域的范围

，将函数转化为恒成立问题，然后进行参数范围的求解.例11．已知函数()3222xfxaxax−=++的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．08aB．08aC．08aD．08a变式训练1．已知函数268ymxmxm=−++的定

义域为R,求实数m的取值范围（）A．01mB．01mC．01mD．01m变式训练2．若函数()mxfxx−=的定义域为(,m−，则实数m的取值范围是（）A．(),0−B．(,0−C．()0,

+D．)0,+变式训练3．“04a”是“函数()211fxaxax=−+的定义域为R”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【课堂小结】1．知识清单：(1)函数的概念；(2)函数的三要素；(3)区间的表示；(4)求简单函数的定义域和求值；(5)

判断是否为同一个函数；(6)求抽象函数的定义域．2．方法归纳：定义法，图象法，整体代换．3．常见误区：函数概念的理解，整体代换的思想求抽象函数的定义域．【课后作业】1．下面图象中，不能表示函数的是（）A．B．C．D．2．下列四个图形中，不是函数图象的是（）A．B．C．D．3．（多选）以下从M

到N的对应关系表示函数的是（）A．R,|0,:||MNyyfxyx==→=B．**2|2,N,{|0,N},:22MxxxNyyyfxyxx==→=−+C．|0,R,:MxxNf

xyx==→=D．1,,:MNfxyx==→=RR5．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已

知集合1,1,2,4,1,2,4,16MN=−=，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（）A．2yx=B．2yx=+C．2xy=D．21yx=−6．已知函数3()23fxxx=−+，那么(2)f的值（）A．3B．

5C．7D.97．若集合1234A=，，，，123B=，，，则从集合A到集合B的不同映射的个数是（）A．12B．24C．64D．818．已知函数()25fxxx=−+，则函数()fx的定义域为（）A．{2|}xx－B．{5|}xx

－C．{|5}xxD．{|2}xx9．设集合220Axxx=−∣，1Bxyx==−∣，则()RAB=ð（）A．(1,2]B．[1,2]C．[0,1)D．[0,1]10．已知函数()31fxx=−的

定义域2,5,Aa=，值域14,41,Bb=，则AB=（）．A．2,5B．5,14C．2,14D．1,211．若函数()yfx=的定义域为1,1−，则()11fxyx+=+的定义域为（）A．0,2B．2,0−C．)(2,11

,2−−−D．)(2,11,0−−−12．已知函数()fx，()gx分别由下表给出：x123()fx231x123()gx321则方程()3gfx=的解为___________.13．已知一等腰三角形的周长为12cm，则将该

三角形的底边长y（单位：cm）表示为腰长x（单位：cm）的函数解析式为___________.（请注明函数的定义域）14．已知函数1yax=+的定义域为A，且3A−，则a的取值范围是_______．15．函数()21fxxax=−+−在1,32上有意义，则实数a

的取值范围为______．16．函数22yaxx=−+的定义域为2,1−，则实数a的值为______．17．若函数213yaxax=−+的定义域为R，则实数a的取值范围是______.18．已知函数2()56xfxx+=−．(1)求()fx的定义域；(2

)求((3))ff的值；(3)当(23)8fa+=时，求a的值．