【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十二讲 基本不等式 Word版含解析.docx，共(17)页，1.406 MB，由小赞的店铺上传

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第二十二讲：基本不等式【教学目标】1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．【基础知识】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，2abab+，当且仅当a＝b时，等号成立．其中a＋b2叫做正数a，b的算术平

均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．（2）变形：222()22ababab++，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立．2abab+，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立．【题型目录】考点一：基本不等式的理解考点二：基本不等式性质考点三：基本不等式证明不等式（一）考点四：基本不等

式证明不等式（二）【考点剖析】考点一：基本不等式的理解例1．设0ab，则下列不等式成立的是（）A．2ababab+B．2abaabb+C．2ababab+D．2abaabb+【答案】D【详解】因为0ab，所以2abab

+；因为0,02222abbaababab+−+−−=−=，所以,22ababab++，即2abab+，因为0ab，所以()20abaabaaba−=−=−，即aba，因此2abaabb+，故选：D变式训练1．下列不等式恒成立的是（）A．2abab+−；B．2a

bab+；C．222abab+；D．222abab+−．【答案】D【详解】对于A：取2a=−，1b=-，则3ab+=−，222ab−=−，此时2abab+−.故A错误；对于B：取2a=，1b=，则3ab+=，222ab=，此时2abab+.故B错误；对于C：取2a=，

1b=，则225ab+=，24ab=，此时222abab+.故C错误；对于D：因为()22220abaabb+=++，所以222abab+−.故D正确.故选：D变式训练2．设0ab，则下列不等式中成立的是（）A．22abababab++B．22abababab++C．22ab

ababab++D．22abababab++【答案】B【详解】0ab，2abab+，222ababababab=+，22abababab++.故选：B.变式训练3．若1,1ab且ab¹，则ab+，2ab，22ab+，2ab中的最大值的是（

）A．ab+B．2abC．22ab+D．2ab【答案】C【详解】由题意，实数1,1ab且ab¹，可得2abab+，222abab+，又由22()(1)(1)aabbabba−=−+−++，因为

1,1ab，可得10,10ab−−，所以22()0abab++−，所以22abab++，所以最大值为22ab+.故选：C.考点二：基本不等式性质例2．若,xyR且0xy，则下列不等式中恒

成立的是（）．A．222xyxy+B．2xyxy+C．112xyxy+D．2yxxy+【答案】D【详解】当0xy=时，222xyxy+=，A错；0,0xy时，满足0xy，但02xyxy+，B错；0,0xy时，满足0xy，112xyxy+，

C错．0xy，则0,0xyyx，22yxyxxyxy+=，当且仅当0xy=时等号成立．D正确．故选：D．变式训练1．已知Rab、，且0ab，则下列结论恒成立的是．A．B．C．D．222abab+【答案】C【详解】当,ab都是负数时，A不成立，当,ab一正一负时，B不成立，当a

b=时，D不成立，因此只有C是正确的.变式训练2．已知a、Rb，若0ab，则下列不等式：①222abab+；②2baab+；③2baab+；④2abab+．其中恒成立的不等式序号是（）A．①、③B．①、②C．②、③D．②、④【答案】B【详解】对于①中，因为222221()22022

ababababab−++−==−，所以222abab+是正确的；对于②中，由0ab，则0,0baab，所以22babaabab+=，当且仅当baab=时，即ab=是等号成立，所以2baab+是正确的；对于③中，当0ab时，0baab+，所以2baab+不正确；对于

④中，当0,0ab时，0,20abab+，所以2abab+不正确，故选B.变式训练3．已知,abR+，则下列不等式中不成立的是（）．A．122abab++B．11()4abab++C．22ababab+

+D．2ababab+【答案】D【详解】解：A：11122222abababababab+++=，故A正确；B：11()2224babaabababab++=+++=，故B正确；C：()()22222ababababababab+++=++，故C正确；D：当

1,2ab==时，2224123abab==++，2ab=，此时2ababab+不成立，故选:D.考点三：基本不等式证明不等式（一）例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题

的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB⊥，设ACa=，BCb=，则该图形可以完成的无字证明为（）A．(0,0)2ababab+B．222

(0,0)ababab+C．2(0,0)abababab+D．22(0,0)22ababab++【答案】D【详解】设,ACaBCb==，可得圆O的半径为122abrOFAB+===，又由22ababOCOBBCb+−=−=−=，在RtOCF中，可得2222222222a

bababFCOCOF−++=+=+=，因为FOFC，所以2222abab++，当且仅当ab=时取等号．故选：D.变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何

解释的是（）A．如果,abbc，那么acB．如果0ab，那么22abC．如果,0abc，那么acbcD．对任意实数a和b，有222abab+，当且仅当ab=时，等号成立【答案】D【详解

】直角三角形的两直角边长分别为,ab，斜边长为c，则222cab=+，在正方形的面积为2c，四个直角三角形的面积和为2ab，因此有22cab，即222abab+，当且仅当ab=时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．变式训

练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设ADa=，BDb=，用该图形能证明的不等式为（）．A．()0,02ababab+B

．()20,0abababab+C．()220,022ababab++D．()2220,0ababab+【答案】C【详解】解：由图知：1,2222abababOCABODOBBDb++−===−=−=，在RtOCD△中，22222abCDOCOD+=+=，所

以OCOD，即()220,022ababab++，故选：C变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥A

B，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（）A．222abab+（a＞0，b＞0）B．(0,0)2ababab+C．2222abab++（a＞0，b＞0）D．2aba

bab+（a＞0，b＞0）【答案】C【详解】由图形可知，()1122OFABab==+，()()1122OCabbab=+−=−，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝2222222ababab+−++=

，∵CF≥OF，∴()22122abab++，故选：C.考点四：基本不等式证明不等式（二）例4．已知0a，0b，0c，求证：bccaababcabc++++.【答案】证明见解析【详解】∵0a，0b，0c，∴22bcc

abccacabab+=，当且仅当bccaab=，即ab=时，等号成立，同理：22bcabbcabbacac+=，22caabcaababcbc+=，当且仅当ac=，bc=时，等号成立，以上三式相加得：22()bccaababcabc++++，当且

当且仅当abc==时，等号成立，所以bccaababcabc++++.变式训练1．已知实数,,abc均大于0，证明：()()()2222226abcbcacababc+++++.【答案】证明见解析【详解】()()()

222222abcbcacab+++++2226abcbaccababc++=，当且仅当abc==时取等号，证毕.变式训练2．（1）已知0a，0b，0c，求证：222abcabcbca++++；（2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：ab

cabbcca++++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）()222222abcabcabcbcabcabca+++++=+++++()2222222abcbcaabcbca++=++

，当且仅当abc==时等号成立，所以222abcabcbca++++.（2）()()()111222abcabbcacabbcca++=+++++++，当且仅当abc==时等号成立，因为a，b，c为不全相等的正实数，所以abcabbcca++++.变式训练3

．已知0a，0b，0c，且1abc++=．求证：11110abcabc+++++≥．【答案】证明见解析【详解】因为a，b，c都为正实数，且1abc++=，所以111()()()abcabc+++++()()()abcabcabcabcabc++++++

=+++++4()()()bacacbabacbc=++++++4222422210bacacbabacbc+++=+++=，当且仅当13abc===时取等号，所以11110abcabc+++++

≥．【课堂小结】1．知识清单：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比较大小．(3)利用基本不等式证明不等式．2．方法归纳：配凑法．3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误．【课后作业】1、．若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2ababab+B．2aba

bab+C．2abaabb+D．2abaabb+【答案】C【详解】由已知0ab，利用基本不等式得出2abab+，因为0ab，则22aabb，2abb+，所以aabb，2abb+，∴2abaabb+

.故选：C.2、如果0＜a＜b＜1，P＝2ab+，Q＝ab，M＝ab+，那么P，Q，M的大小顺序是（）A．P＞Q＞MB．M＞P＞QC．Q＞M＞PD．M＞Q＞P【答案】B【详解】依题意01ab，根据基本不等式可知2aba

b+，02ab+，()()()()2410444abababababab+−+++−=+−=+，所以()2,42abababab++++.所以2ababab++，即MPQ.故选：B3、小明骑自行车从甲地前往乙地，

前一半路程以速度a骑行，后一半路程以速度b骑行，且ab，其全程的平均速度为v，则下列关系中不正确的是（）A．2abvab=+B．bvabC．222abv+D．2ababv+【答案】D【详解】根据

题意，设甲地到乙地的距离为2s，则小明从甲地到乙地的时间为()sabsstabab+=+=，则其平均速度为22sabvtab==+，A选项正确；ab，则220ababbvbbabab−−=−=++，即vb，由基本

不等式可得2abab+，222ababvababab==+，所以，bvab，B选项正确，D选项错误；222abab+，222abvab+，C选项正确.故选：D.4、若01a，01b，且ab¹，则下列代数式中最大的是（）A．22ab+B．ab+C．2abD．2ab

【答案】B【详解】由01a，01b，且ab¹知222,2abababab++，所以最大值为A、B中的一个.()()()222211ababaabbaabb+−+=−+−=−+−，由于10,1001,01,baba

−−，所以()()110aabb−+−，所以22abab++，所以ab+为四个代数式中最大的.故选：B5、若110ab，则下列不等式①abab+；②ab；③ab；④2baab+中，正确的不等式有（）A．0个B．1个C

．2个D．3个【答案】C【详解】因为110ab，所以0ba.因此0,0abab+，且ba，且②、③不正确.所以0abab+，所以①正确，由0ba得ba､ab均为正数，所以22bab

aabab+=，（由条件0ba，所以等号不成立），所以④正确.故选：C.6、（多选）下列命题中正确的是（）A．当1x时，12xx+B．当0x时，max12xx−+=−C．当01x时，12xx+D．当2x时，min222xx+【答案】AC【详

解】解:选项A.1x，1122xxxx+=，等号成立的条件是11xxx==，故A正确；选项B.当0x时，0x−，()()11122xxxxxx−+=−+−−=−−−，所以0x时，1xx−+的最小值是2，等号成立的条件是1x=−，

没有最大值,故B不正确；选项C.01x，1122xxxx+=，等号成立的条件是1x=，等号取不到，即12xx+，根据“或”命题的性质可知C正确；选项D.当2x时，22222xxxx+=，等号成立的条件是2xx=，即2x=时，但条件2x，所以等号取不到，即最小值min2xx

+不存在，故D不正确.故选：AC.7、．若a，bR，则“228ab+”是“4ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为222abab+，当且仅当ab=时等号成立，所以

24ab，即2ab；当13,3ab==时，12ab=，但221949ab+=+，故“228ab+”是“4ab”的充分不必要条件.故选：A.8、若,ab为非零实数，则以下不等式：①222ab

ab+；②222()42abab++；③2ababab++；④2baab+.其中恒成立的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【详解】解：对于①，由重要不等式222abab+可知①正确

；对于②，()2222224abab++=()()222222244abababab+++++=22()42abab++==，故②正确；对于③，当1ab==−时，不等式的左边为12ab+=−，右边为12abab=−+，可知③不正确；对于④，令1,1ab==−可知④不正确．故

恒成立的个数为2个.故选：C.9、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①22ababab++；②2222abab++；22baabab++③.其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【详解】依题意，0a，0

b，22222ababababab+++，当且仅当ab=时等号成立，①②正确，()()()()22223312?1abaabbbaabbabaabababababababab+−+++===++−+−=+

当且仅当ab=时等号成立，③正确.正确的个数是3,选D.10、三国时期的数学家赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理进行证明时绘制了弦图，其大致图像如图所示．以下选项中，可利用该图作为几何解释的是（）A．如果ab，bc

，那么ac；B．如果0ab，那么22ab；C．对任意实数a和b，有222abab+，当且仅当ab=时等号成立；D．如果ab，0c那么acbc．【答案】C【详解】设直角三角形的两条直角边为,ab，斜边为222()ccab

=+，则外围的正方形的面积为2c，即22ab+，四个阴影面积之和为2ab，当ab=时，内部的小正方形缩为一个点，所以222abab+，所以对任意实数a和b，有222abab+，当且仅当ab=时等号成立.故选：C.11、若,abR+，则下列关系正确的是（）A．2221122abababab

+++B．2221122abababab+++C．2221122abababab+++D．2221122abababab+++【答案】A【详解】因为111122ababab+炒=，当且仅当ab=时取等号，所以211abab+，当且仅当ab=时取

等号，因为2abab+，当且仅当ab=时取等号，所以2abab+，当且仅当ab=时取等号，因为222abab+，当且仅当ab=时取等号，所以()22222222abababab+++=+，即()22224abab++³，2222abab++，当且仅当ab=时取等号，综上所述，2221

122abababab+++，当且仅当ab=时取等号，故选：A.12、《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆

O上，点C在直径AB上，且OFAB⊥，设ACa=，BCb=，则该图形可以完成的无字证明为（）A．()02ababab+B．()2220ababab+C．()20abababab+D．()22022ababab++【答案】D【详解】由图形可

知，22ACBCabOF++==，()022ababOCACOAaab+−=−=−=，由勾股定理可得222222222abababCFOFOC+−+=+=+=，在RtOCF中，由OFCF可得()22022ababab++.故选：D.13、

已知a，b，c均为正实数，求证：若3abc++=，则11132abc+++++．【答案】证明见解析【详解】证明：因为a，b，c均为正实数，由基本不等式得1231222aaa++++=，当且仅当12a+=时，即a=1取等号，同理1231222bbb++++=，当且仅当12

b+=时，即b=1取等号，1231222ccc++++=，当且仅当12c+=时，即c=1取等号，以上三式相加，得()9211162abcabc++++++++=所以11132abc+++++，当且仅当1abc===时，取等号．14、

已知正数abc，，满足1abc++=，证明2221abcbca++；【答案】（1）证明见解析；【详解】（1）由基本不等式可得2222abaab+=，同理22bcbc+，22caca+，所以222222abcabcabcbca+++++++即2221abcb

ca++，当且仅当13abc===时等号成立，故2221abcbca++成立．15、证明下列式子（1）已知,0ab,证明：3322ababab++；（2）已知,,0abc,证明：()()()2222226abcbcacababc++

+++．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】(1)因为()()()()()()()233222222abababaabbbaabababab+−+=−+−=−−=+−.因为,0ab,故()()20abab+−,即()32320abbaab+−+.故3322ababa

b++成立.(2)由基本不等式可得222bcbc+,故()222abcabc+.同理有()222bcaabc+,()222cababc+.相加可得()()()2222226abcbcacababc+++++,当且仅当abc=

=时取等号.即得证.16、已知a，b，cR+，且.证明：（1）若a，b，Rc，证明：()222213abcabc++++；（2）设a，b，cR+，且1abc++=，证明：2221abcbca++.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详

解】（1）由题得()()()()2222222222222222abcabcabbcacabcabbcac++=+++++++++++++()2223abc=++，∴()222213abcabc++++，当且仅当abc==时，等号成立.（2）∵22abab+，22

bcbc+，22caca+，∴()2222abcabcabcbca+++++++，∴2221abcabcbca++++=，∴2221abcbca++.当且仅当abc==时，等号成立.17、我们学习了二元基本不等式：设0a,0b

,2abab+,当且仅当ab=时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c0,3abcab++>>>当且仅当abc==时，等号成立（把横线补全）.(2

)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设0,0,0,abc求证：()()2229abcabcabc++++?【答案】（1）33abcabc++³（2）证明见解析【详解】（1）通过类比,可以得到当0a,0b,0c时33abcabc++³,当且仅当ab

c==时,等号成立；（2）证明：0a,0b,0c,由（1）可得22232223abcabc++,()()22233222333333abcabcabcabcabcabc++++壮?=()()2229abcabcabc++++