【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2018-2019学年高二下学期开学检测数学理科试题.pdf，共(18)页，386.313 KB，由小赞的店铺上传

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-1-商丹高新学校2019学年度第二学期高二年级开学检测数学（理科）试题一、选择题：1.i是虚数单位，复数31ii等于()A.1＋2iB.2＋4iC.－1－2iD.2－i【答案】A【解析】【详解】3(3)(1)1212iiiii，选A.

2.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab>acB.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ac(a－c)>0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，求得,ca的正负，再结合bc，则问题得解.【详解】由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b

>c，得ab>ac一定成立，即A正确；因为0,0cba，故0cba，故B错误；若0b时，显然不满足22cbab，故C错误；因为0,0acac，故0acac，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单

题.3.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi的点是（）-2-A.HB.GC.FD.E【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数z，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得2iz，则2i(2i

)(1i)31i1i1i(1i)(1i)22z，则该复数对应的点为31(,)22，即点H.点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.4.设nS为等比数列na的前n项和，2580

aa，则52SS()A.11B.5C.8D.11【答案】D【解析】试题分析：设公比为，由2580aa，得，解得，所以．故选D．考点：等比数列的前项和.5.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若20xx，则1x”的否命题为：“

若20xx，则1x”．-3-B.“9x”是“lg11x”的充分而不必要条件．C.命题“xR，使得210xx”的否定是：“xR，均有210xx”．D.命题“若”，则“tantan”的逆否命题为真命题．【答案】B【解析】【分析】根据命题的否命

题以及一个命题的否定可知A、C真假，计算lg11x，根据充分、必要条件的概念可知B真假，最后根据原命题与逆否命题真假性相同可知D真假，可得结果.【详解】A错命题“若20xx，则1x”的否命题为：“若20xx，则1x”B对由lg1111xx或9

x所以“9x”是“lg11x”的充分而不必要条件C错命题“xR，使得210xx”的否定是“xR，均有210xx”D错若2，tan2无意义,所以原命题为假命题，即逆否命题为假命题，故选：B【点睛】本题考查判断

命题的真假，熟练掌握命题的否命题以及命题的否定区别，同时对充分条件、必要条件概念的理解，属基础题.6.下面是关于复数21iz的四个命题：1p：2z，2p：22zi，3p：z的共轭复数为1i，4p：z的虚部为1，其中的真命题为（）A.2p，

3pB.1p，2pC.2p，4pD.3p，4p-4-【答案】C【解析】【分析】根据复数的模的计算公式、复数的乘法运算法则、共轭复数的定义以及复数的虚部求解并判断即可.【详解】由题可知：2121111iziiii所

以22112z，故1p为假命题2212zii，故2p为真命题z的共轭复数为1i，故3p为假命题z的虚部为1，故4p为真命题故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算，重在计算，属基础题.7.过椭圆

222210xyabab的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.12D.13【答案】B【解析】【分析】作出图形，设1PFt，可得22PFt，123FF

t，可将2a和2c均用t表示，即可计算出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为20cc，如下图所示：-5-设10PFtt，1PFx轴，1260FPF，2130PFF，22PFt，22122123cFFPFPFt，由椭圆定义

可得1223aPFPFt，因此，该椭圆的离心率为2323cea.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.8.复数11i

zi-=+，则246810zzzzz的值为（）A.1B.1C.iD.i【答案】B【解析】【分析】化简复数z为i，可得21z，再利用等比数列的前n项和公式求得246810zzzzz的值．【详解】解：复数21(1)

1(1)(1)iiziiii，21z，则2102468102(1)1(11)112zzzzzzzz，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，等比数列的前n项和公式的应用，属于中档

题．-6-9.已知,Pxy是不等式组10{300xyxyx的表示的平面区域内的一点，1,2A，O为坐标原点，则OAOP的最大值（）A.2B.3C.5D.6【答案】D【解析】试题分

析：由题意可知，2OPOAxy，令目标函数2zxy，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数2zxy经过点0,3B时取得最大值，最大值为0236，故选D．考点：简单的线性规划问题．10.在ABC中，若2a，4c，60B，则b等于（）

A.23B.12C.27D.28【答案】A【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为2a，4c，60B，由余弦定理2222cosbacacB，即22224224cos6012b，所以23b故选：A【点睛】本题考

查余弦定理的应用，属于基础题.-7-11.已知定点2,0M，2,0N，P是椭圆22195xy上的动点，则91PMPN的最小值为（）A.2B.73C.83D.3【答案】C【解析】【分析】

根据椭圆的定义可知6PMPN，然后计算916PMPNPMPN并结合基本不等式，可得结果.【详解】由题可知：点2,0M，2,0N是椭圆22195xy的焦点所以26PM

PNa所以91916PMPNPMPNPMPN即3391115826263263PNPMPNPMPMPNPMPNPMPN当且仅当326PNPMPMPN，即3PNPM

所以91PMPN的最小值为83故选：C【点睛】本题考查椭圆的应用以及基本不等式的应用，审清题意，细心计算，属基础题.12.如图，12,FF是双曲线221:13yCx与椭圆2C的公共焦点，点A是1C，2C在第一象限的公共点，若112FAFF，则2C的离心率是（）-8-A.13B.15

C.23D.25【答案】C【解析】【详解】由221:13yCx知2c，1124FAFF∵122FAFA∴22FA∵由椭圆得定义知1226aFAFA∴23,3caea故选：C二

、填空题：13.抛物线216yx的焦点与双曲线222104xymm的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于__________．【答案】43【解析】【分析】根据抛物线的焦点可得双曲线的焦点，进一步可得参数m，然后可得虚轴长.【详解】由题可知：抛物线的焦点坐标为4

,0又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以4c又222cab，所以2164m，则23m则双曲线的虚轴长等于43-9-故答案为：43【点睛】本题考查抛物线与双曲线的综合应用，重在对题意的理解以及简单计算，属

基础题.14.在△ABC中，1a=32,b=23,cosC=3，则△ABC的面积为________．【答案】43【解析】在△ABC中由1cos3C可得2122sin1()33C，所以1122sin3223

43223ABCSabC，故答案为43．点睛：三角形面积公式为111sinsinsin222SbcAacBabC，一般是指已知哪一个角就使用哪一个公式．与面积有关的问题一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角之间的转化．15.观察下列每个图形

中小正方形的个数，……以此规律，则第19个图中共有_______个小正方形．【答案】210【解析】【分析】由题意结合等差数列的求和公式可得．【详解】解：解：由题意可得，121f2321f34321f454321f

5654321f-10-(2)(1)()(1)(1)12nnfnnnn．所以(192)(191)192102f故答案为：210．【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式在实

际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出()fn的代数式，考查了归纳推理的能力．16.若椭圆1C：2211221110xyabab和椭圆2C：2222222210xyabab的焦点相同，且12aa．给出如

下四个结论：①1122abab；②1212aabb；③22122221aabb④椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点其中所有正确研究成果的序号是_________．（把你认为正确的的序号全写上）【

答案】②③④【解析】【分析】根据椭圆的性质及不等式的性质计算可得；【详解】解：因为椭圆1C：2211221110xyabab和椭圆2C：2222222210xyabab的焦点相同，

且12aa．所以22221122abab，即22122221aabb，故③成立；因为12aa，所以12bb，所以椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点，故④成立，若在22221122abab中

，1222,aa，1213,bb，则12222aa，12331bb则有1122abab，故①不成立；另一方面22221122abab，所以11112222abababab，由于-11-1122abab，所以1122abab，即12

12aabb，故②成立；故答案为：②③④【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及不等式的性质的应用，属于中档题.三、解答题：17.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测

得75CAB，45CBA，且100mAB．求该河段的宽度．【答案】1505033m【解析】【分析】根据题意可知ACB，然后利用正弦定理可知AC，过点C作CMAB，交AB于点M，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：75CAB，45CBA，所以60AC

B又sinsinABACACBCBA，所以10063AC如图所以sinCMACCABsinsin4530sin45cos30cos45sin30CAB-12-即62sin4CAB所以1006621505

03sin343CMACCAB所以河的宽度为1505033m【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，重在计算，属基础题.18.实数k为何值时，复数213

5223ikiki在复平面内对应点分别在：（Ⅰ）虚轴上；（Ⅱ）第四象限【答案】（Ⅰ）4k或1k；（Ⅱ）46k【解析】【分析】将复数转化为abi的形式，然后根据所对应的点，可得结果.【详解】由题可知：

2223451523632ikikikkkki所以可知该复数所对应的点为2234,56kkkk（Ⅰ）由该复数所对应的点在虚轴上，所以23404kkk或1k所以4k或1k；（Ⅱ）由该复数所对应的

点在第四象限所以2234046560kkkkk所以46k.【点睛】本题考查根据复数所对应点的位置求参数，本题重点在于对问题的理解以及计算，属基础题.19.已知抛物线C：24yx．（Ⅰ）过抛物线C的焦点F且斜率3k直线l交C于A，B两点，求AB；

-13-（Ⅱ）若直线l交抛物线C于A，B两点，且AB的中点3,3P，此时l求方程．【答案】（Ⅰ）163；（Ⅱ）2330xy【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出焦点坐标，求出直线方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式计算可得；（

Ⅱ）设11,Axy，22,Bxy，利用点差法求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；【详解】解：（Ⅰ）因为抛物线方程为24yx，所以焦点坐标为1,0，过抛物线C的焦点F且斜率3k直线l的方

程为31yx，联立方程得2431yxyx，消去y得231030xx，设11,Axy，22,Bxy，所以12103xx，所以121016233ABxxp（Ⅱ）设11,Axy，22,Bxy，则2114

yx，2224yx，因为AB的中点3,3P，所以126yy，所以2212124yyxx，即1212124yyyyxx，所以12121244263yyxxyy，即23ABk，所以直线l的

方程为2333yx，整理得2330xy【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦及中点弦的应用，属于中档题.20.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式22log(36)2axx的解集为{x|x＜1或

x＞b}．（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn公式；（2）求数列{11nnaa}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，sn＝n2；（2）111221nTn【解析】【分析】-14-（1）先将不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2转化为ax2﹣3x+2＞

0，根据不等式解集的意义及方程ax2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1、x2＝b．结合利用韦达定理得出a，b．从而得出数列{an}的通项公式及前n项和Sn公式．（2）令111111(21)(21)22121nnnbaannnn，利用裂项相消法得数列{11nnaa}

的前n项和Tn．【详解】（1）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，根据不等式解集的意义可知：方程ax2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1、x2＝b．利用韦达定理不难得出a＝1，b

＝2．由此知an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，sn＝n2（2）令111111(21)(21)22121nnnbaannnn则n123n111111111Tbbbb21335572n12n1

＝111221n【点睛】本题主要考查数列的裂项相消法求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．21.在如图所示的多面体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且22ACBCB

DAE，M是AB的中点.（1）求证：CMEM；（2）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60.若存在，指-15-出点N的位

置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）306（3）在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由ACBC，M是AB的中点，得到CMAB，进而得CMEA，利用线面垂直的判定定理，证得CM平面A

EM，进而得到CMEM．（Ⅱ）以M为原点，分别以,MAMC为,xy轴，如图建立坐标系Mxyz，求得平面EMC和平面DBC的一个法向量,mn，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设,,Nxyz

且,01DNDC，求得22,2,22MN，利用向量的夹角公式，求得12，即可求解.【详解】（1）证明：∵ACBC，M是AB的中点，∴CMAB，又EA平面ABC，∴CMEA，∵EAABA，∴CM平面AEM，∴CMEM．

（2）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，如图建立坐标系Mxyz．则：0,0,0M，0,2,0C，2,0,0B，2,0,2D，2,0,1E，2,0,1ME，0,2,0MC，0,0,2BD，2,2

,0BC，设平面EMC的一个法向量111,,mxyz，则：11120{20xzy，取11x，10y，12z，所以1,0,2m，设平面DBC的一个法向量222,,nxyz，则222220,{

20,xyy取11x，11y，10z，所以1,1,0n，-16-16cos623mnmnmn．故平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为306．（3）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EMC

所成的角是60，设,,Nxyz且DNDC，01，∴2,,22,2,2xyz，∴22x，2y，22z，∴22,2,22MN

，若直线MN与平面EMC所成的的角为60，则222222223cos,sin602321241MNm，解得12，所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平

面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以

及推理与计算能力，属于基础题.22.如图已知椭圆C的中心在原点，焦点为11,0C，21,0C，且离心率22e．-17-（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设2,0M，过点M的直线l与椭圆C相交于E，F两点，当线段EF的中点落在由四点11,0C，

21,0C，10,1B，20,1B构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212xy；（Ⅱ）313122k【解析】【分析】（Ⅰ）依据题意可得,ac，然后

根据222bac可得b，最后可得椭圆方程.（Ⅱ）假设直线方程并于椭圆联立是韦达定理，可得EF中点，然后表示正方形区域的不等式，将中点坐标代入进行计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：21,2ccea，所以2a又2

221bac，所以椭圆的方程为2212xy（Ⅱ）由题可知：过点M的直线斜率一定存在，设直线方程为2ykx，1122,,,ExyFxy，线段EF的中点00,Gxy所以222222212882012ykxkxkxk

xy-18-所以222222212882012ykxkxkxkxy由222222=841282022kkkk①又21

22812kxxk，所以212024212xxkxk，则0022212kykxk，因为2024012kxk，所以G不可能在y轴的右边又因为直线1211,CBCB的方程为1,1yxyx所以222002002224111212124

11212kkyxkkyxkkkk，即2222102210kkkk所以313122k②由①②可知：313122k【点睛】本题考查椭圆的应用，直线与圆锥曲线的结合，往往会联立方程并使用韦达定

理，考查分析问题的能力，重在理解与计算，属中档题.