【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2018-2019学年高二下学期开学检测数学理科试题.doc，共(18)页，1.514 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019学年度第二学期高二年级开学检测数学（理科）试题一、选择题：1.i是虚数单位，复数31ii+−等于()A.1＋2iB.2＋4iC.－1－2iD.2－i【答案】A【解析】【详解】3(3)(1)1212ii

iii+++==+−，选A.2.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是（）A.ab>acB.c(b－a)<0C.cb2<ab2D.ac(a－c)>0【答案】A【解析】【分析】根据已

知条件，求得,ca的正负，再结合bc，则问题得解.【详解】由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立，即A正确；因为0,0cba−，故()0cba−，故B错误；若0

b=时，显然不满足22cbab，故C错误；因为0,0acac−，故()0acac−，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属简单题.3.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数1zi+的点是（）A.HB.GC

.FD.E【答案】A【解析】分析：先由复数的几何意义得到复数z，再利用复数的除法法则化简，再利用复数的几何意义进行求解.详解：由复数的几何意义，得2iz=+，则2i(2i)(1i)31i1i1i(1i)(1i)22z

++−===−+++−，则该复数对应的点为31(,)22−，即点H.点睛：本题考查复数的几何意义、复数的除法法则等知识，意在考查学生的基本计算能力.4.设nS为等比数列na的前n项和，2580aa+=，则52SS=()A.11B.5C.8−D.11−【答案】D【解析】试题分析：设公比为，

由2580aa+=，得，解得，所以．故选D．考点：等比数列的前项和.5.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“若20xx+=，则1x=”的否命题为：“若20xx+=，则1x”．B.“9x=−”是“lg11x−=”的充分而不必要条件．C.命题“xR，使得210xx++”的否定是：“

xR，均有210xx++”．D.命题“若=”，则“tantan=”的逆否命题为真命题．【答案】B【解析】【分析】根据命题的否命题以及一个命题的否定可知A、C真假，计算lg11x−=，根据充分、必要条件的概念可知B真假，最后根据原

命题与逆否命题真假性相同可知D真假，可得结果.【详解】A错命题“若20xx+=，则1x=”的否命题为：“若20xx+，则1x”B对由lg1111−==xx或9x=−所以“9x=−”是“lg11x−=”的充分而不必要

条件C错命题“xR，使得210xx++”的否定是“xR，均有210xx++”D错若2==，tan2无意义,所以原命题为假命题，即逆否命题为假命题，故选：B【点睛】本题考查判断命题的真假，熟练掌握命题的否命题以及命题的否定区别，同时对充分条件、必要条件概念的

理解，属基础题.6.下面是关于复数21iz=−+的四个命题：1p：2z=，2p：22zi=，3p：z的共轭复数为1i+，4p：z的虚部为1−，其中的真命题为（）A.2p，3pB.1p，2pC.2p，4pD.3p，4p【答案】C【解析】【分析】根据复数

的模的计算公式、复数的乘法运算法则、共轭复数的定义以及复数的虚部求解并判断即可.【详解】由题可知：()()()2121111iziiii−−===−−−+−+−−所以()()22112z=−+−=，故1p为假命题()2212zii=−−=，故2p为真命题z的共轭复数为1i−+，故3p为假命题

z的虚部为1−，故4p为真命题故选：C【点睛】本题主要考查复数的运算，重在计算，属基础题.7.过椭圆()222210xyabab+=的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF=，则椭圆的离心率为（）A.22B.33C.1

2D.13【答案】B【解析】【分析】作出图形，设1PFt=，可得22PFt=，123FFt=，可将2a和2c均用t表示，即可计算出该椭圆的离心率.【详解】设该椭圆的焦距为()20cc，如下图所示：设()10PFtt=，1PFx⊥轴，1260FPF=，

2130PFF=，22PFt=，22122123cFFPFPFt==−=，由椭圆定义可得1223aPFPFt=+=，因此，该椭圆的离心率为2323cea==.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，涉及椭圆的焦点三角形问题，一般利用椭圆定义来处理，考查计算能力，属于中等题.8.复数11

izi-=+，则246810zzzzz=++++的值为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】化简复数z为i−，可得21z=−，再利用等比数列的前n项和公式求得246810zzzzz=++++的值．【详解】解：复

数21(1)1(1)(1)iiziiii−−===−++−，21z=−，则2102468102(1)1(11)112zzzzzzzz−−+=++++===−−，故选：B．【点睛】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，等比数

列的前n项和公式的应用，属于中档题．9.已知(),Pxy是不等式组10{300xyxyx+−−+的表示的平面区域内的一点，()1,2A，O为坐标原点，则OAOP的最大值（）A.2B.3C.5D.6【答案】D【解析】试题分析：由题

意可知，2OPOAxy=+，令目标函数2zxy=+，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数2zxy=+经过点()0,3B时取得最大值，最大值为0236+=，故选D．考点：简单的线性规划问题．10.在ABC中，若2a=，4c=，60B=，则b等于（

）A.23B.12C.27D.28【答案】A【解析】【分析】直接利用余弦定理计算可得；【详解】解：因为2a=，4c=，60B=，由余弦定理2222cosbacacB=+−，即22224224cos6012b=+−=，所以23b=故选：A【点睛】本题考查余弦定

理的应用，属于基础题.11.已知定点()2,0M，()2,0N−，P是椭圆22195xy+=上的动点，则91PMPN+的最小值为（）A.2B.73C.83D.3【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义可知6PMPN+=，然后计算916++PMPNPMPN并结合基本不等式，可

得结果.【详解】由题可知：点()2,0M，()2,0N−是椭圆22195xy+=的焦点所以26+==PMPNa所以91916+=++PMPNPMPNPMPN即3391115826263263+

=+++=PNPMPNPMPMPNPMPNPMPN当且仅当326=PNPMPMPN，即3=PNPM所以91PMPN+的最小值为83故选：C【点睛】本题考查椭圆的应用以及基本不等式的应用，审清题意，细心计算，属基础题.12.如图，12,FF是双曲线221:13yCx−=与椭圆2C的

公共焦点，点A是1C，2C在第一象限的公共点，若112FAFF=，则2C的离心率是（）A.13B.15C.23D.25【答案】C【解析】【详解】由221:13yCx−=知2c=，1124FAFF==∵122F

AFA−=∴22FA=∵由椭圆得定义知1226aFAFA=+=∴23,3caea===故选：C二、填空题：13.抛物线216yx=的焦点与双曲线()222104xymm−=的右焦点重合，则该双曲线的虚轴长等于__________．【答案】43【解析】

【分析】根据抛物线的焦点可得双曲线的焦点，进一步可得参数m，然后可得虚轴长.【详解】由题可知：抛物线的焦点坐标为()4,0又抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以4c=又222cab=+，所以2164=+m，则23m=则双曲线的虚轴长等于43故答案为：43【点睛】本题考查抛

物线与双曲线的综合应用，重在对题意的理解以及简单计算，属基础题.14.在△ABC中，1a=32,b=23,cosC=3，则△ABC的面积为________．【答案】43【解析】在△ABC中由1cos3C=可得2122sin1()33C=−

=，所以1122sin322343223ABCSabC===，故答案为43．点睛：三角形面积公式为111sinsinsin222SbcAacBabC===，一般是指已知哪一个角就使用哪一个公式．与面积有关的问题一般要用到正弦定理或余弦定

理进行边和角之间的转化．15.观察下列每个图形中小正方形的个数，……以此规律，则第19个图中共有_______个小正方形．【答案】210【解析】【分析】由题意结合等差数列的求和公式可得．【详解】解：解：由题意可得，()121f=+()2321f=++()34321f=+++()45

4321f=++++()5654321f=+++++(2)(1)()(1)(1)12nnfnnnn++=+++−++=．所以()(192)(191)192102f++==故答案为：210．【点睛】本题主要考查了等差数列的求

和公式在实际问题中的应用，解题的关键是要根据前几个图形的规律归纳出()fn的代数式，考查了归纳推理的能力．16.若椭圆1C：()2211221110xyabab+=和椭圆2C：()2222222210xyabab+=的焦点相同，且12aa．给出如

下四个结论：①1122abab；②1212aabb−−；③22122221aabb−=−④椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点其中所有正确研究成果的序号是_________．（把你认为正确的的序号全写上）【答案】②③④【解析】【分析】根据椭圆的性质及不等式的性质计算可得；【详解】解：因为

椭圆1C：()2211221110xyabab+=和椭圆2C：()2222222210xyabab+=的焦点相同，且12aa．所以22221122abab−=−，即22122221aabb−=−，故③成立

；因为12aa，所以12bb，所以椭圆1C和椭圆2C一定没有公共点，故④成立，若在22221122abab−=−中，1222,aa==，1213,bb==，则12222aa==，12331bb==则有112

2abab，故①不成立；另一方面22221122abab−=−，所以()()()()11112222abababab+−=+−，由于1122abab++，所以1122abab−−，即1212aabb

−−，故②成立；故答案为：②③④【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质及不等式的性质的应用，属于中档题.三、解答题：17.如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得75CAB=，

45CBA=，且100mAB=．求该河段的宽度．【答案】1505033+m【解析】【分析】根据题意可知ACB，然后利用正弦定理可知AC，过点C作CMAB⊥，交AB于点M，最后简单计算可得结果.【详解】由题可知：75CAB=，45

CBA=，所以60ACB=又sinsinABACACBCBA=，所以10063=AC如图所以sin=CMACCAB()sinsin4530sin45cos30cos45sin30=+=+CAB即62sin4+=CAB所以100662150

503sin343++===CMACCAB所以河的宽度为1505033+m【点睛】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，重在计算，属基础题.18.实数k为何值时，复数()()()2135223ikiki+−+−+在复平面

内对应点分别在：（Ⅰ）虚轴上；（Ⅱ）第四象限【答案】（Ⅰ）4k=或1k=−；（Ⅱ）46k【解析】【分析】将复数转化为abi+的形式，然后根据所对应的点，可得结果.【详解】由题可知：()()()()2223451523632+−+

−+=−−+−−ikikikkkki所以可知该复数所对应的点为()2234,56−−−−kkkk（Ⅰ）由该复数所对应的点在虚轴上，所以23404kkk−−==或1k=−所以4k=或1k=−；（Ⅱ）由该复数所对应的点在第四象限所以2234046560

kkkkk−−−−所以46k.【点睛】本题考查根据复数所对应点的位置求参数，本题重点在于对问题的理解以及计算，属基础题.19.已知抛物线C：24yx=．（Ⅰ）过抛物线C的焦点F且斜率3k=直线l交C于A，B两点，求AB；（

Ⅱ）若直线l交抛物线C于A，B两点，且AB的中点()3,3P，此时l求方程．【答案】（Ⅰ）163；（Ⅱ）2330xy−+=【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出焦点坐标，求出直线方程，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点

弦公式计算可得；（Ⅱ）设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法求出直线的斜率，即可求出直线l的方程；【详解】解：（Ⅰ）因为抛物线方程为24yx=，所以焦点坐标为()1,0，过抛物线C的焦点F且斜率3k=直线l的方程为()

31yx=−，联立方程得()2431yxyx==−，消去y得231030xx−+=，设()11,Axy，()22,Bxy，所以12103xx+=，所以121016233ABxxp=++=+=（Ⅱ）设()11,Axy，()22,B

xy，则2114yx=，2224yx=，因为AB的中点()3,3P，所以126yy+=，所以()2212124yyxx−=−，即()()()1212124yyyyxx−+=−，所以12121244263yyxxyy=−+=−=，即23ABk=，所以直线l的方程

为()2333yx−=−，整理得2330xy−+=【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦及中点弦的应用，属于中档题.20.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式22log(36)2axx−+的解集为{x|x＜1或x＞b}．（1）求数列{a

n}的通项公式及前n项和Sn公式；（2）求数列{11nnaa+}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n﹣1，sn＝n2；（2）111221nTn=−+【解析】【分析】（1）先将不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2转化为ax2﹣

3x+2＞0，根据不等式解集的意义及方程ax2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1、x2＝b．结合利用韦达定理得出a，b．从而得出数列{an}的通项公式及前n项和Sn公式．（2）令111111(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+，利用裂项相消法得数列{11n

naa+}的前n项和Tn．【详解】（1）∵不等式log2（ax2﹣3x+6）＞2可转化为ax2﹣3x+2＞0，所给条件表明：ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1，或x＞b}，根据不等式解集的意义可知：方程ax2﹣3x+2＝0的两根为x1＝1、x2＝b．利用韦达定理

不难得出a＝1，b＝2．由此知an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，sn＝n2（2）令111111(21)(21)22121nnnbaannnn+===−−+−+则n123n111111111Tbbbb21335572n12n1=++++=−+−+−

++−−+＝111221n−+【点睛】本题主要考查数列的裂项相消法求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想．属于中档题．21.在

如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，ACBC⊥，且22ACBCBDAE====，M是AB的中点.（1）求证：CMEM⊥；（2）求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；（3）在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60.若存在，

指出点N的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）306（3）在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点．【解析】【分析】（Ⅰ）由ACBC=，M是AB的中点，得到CMAB⊥，进而得CMEA⊥，

利用线面垂直的判定定理，证得CM⊥平面AEM，进而得到CMEM⊥．（Ⅱ）以M为原点，分别以,MAMC为,xy轴，如图建立坐标系Mxyz−，求得平面EMC和平面DBC的一个法向量,mn，利用向量的夹角公式，即可求解.（Ⅲ）设(),,Nxyz且(),01DNDC=

，求得()22,2,22MN=−−，利用向量的夹角公式，求得12=，即可求解.【详解】（1）证明：∵ACBC=，M是AB的中点，∴CMAB⊥，又EA⊥平面ABC，∴CMEA⊥，∵EAABA=，∴CM⊥平面AEM，∴CMEM⊥．（2）以M为原点，分别以MB，MC为x，y轴，

如图建立坐标系Mxyz−．则：()0,0,0M，()0,2,0C，()2,0,0B，()2,0,2D，()2,0,1E−，()2,0,1ME=−，()0,2,0MC=，()0,0,2BD=，()2,2,0BC=−，设平面EMC的一个法向量()111,,mxyz=，则：1112

0{20xzy−+==，取11x=，10y=，12z=，所以()1,0,2m=，设平面DBC的一个法向量()222,,nxyz=，则222220,{20,xyy−+==取11x=，11y=，10z=，所以()1,1,0n=，16cos623mnmnmn===

．故平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为306．（3）在棱DC上存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60，设(),,Nxyz且DNDC=，()01，∴()()2,,22,2,2xyz−−=−−，∴22x=−，2y

=，22z=−，∴()22,2,22MN=−−，若直线MN与平面EMC所成的的角为60，则()()()222222223cos,sin602321241MNm−+−===−++−，解得

12=，所以在棱DC上存在一点N，使直线MN与平面EMC所成的角是60，点N为棱DC的中点．【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间线面角和二面角的求解问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理，以

及熟记空间向量的数量积和夹角公式合理运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及推理与计算能力，属于基础题.22.如图已知椭圆C的中心在原点，焦点为()11,0C，()21,0C−，且离心率22e=．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设()2,0M−，过点M的直线l与椭圆C相交于E，F两点，当

线段EF的中点落在由四点()11,0C，()21,0C−，()10,1B−，()20,1B构成的四边形内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【答案】（Ⅰ）2212xy+=；（Ⅱ）313122−−−k【解析】【分析】（Ⅰ）依据题意可得,ac，

然后根据222bac=−可得b，最后可得椭圆方程.（Ⅱ）假设直线方程并于椭圆联立是韦达定理，可得EF中点，然后表示正方形区域的不等式，将中点坐标代入进行计算可得结果.【详解】（Ⅰ）由题可知：21,2===ccea，所以2a=又

2221bac=−=，所以椭圆的方程为2212xy+=（Ⅱ）由题可知：过点M的直线斜率一定存在，设直线方程为()2ykx=+，()()1122,,,ExyFxy，线段EF的中点()00,Gxy所以()()222222212882

012ykxkxkxkxy=++++−=−=所以()()222222212882012ykxkxkxkxy=++++−=−=由()()()222222=841282022−+−

−kkkk①又2122812kxxk−+=+，所以212024212+==−+xxkxk，则()0022212=+=+kykxk，因为2024012=−+kxk，所以G不可能在y轴的右边又因为直线1211,CBCB的方程为1,1yxyx=+=−

−所以22200200222411121212411212kkyxkkyxkkkk−++++−−−++，即2222102210kkkk+−−−所以313122−−−k②由①②可知：313122−−−k【点睛】本题考查椭圆的应用

，直线与圆锥曲线的结合，往往会联立方程并使用韦达定理，考查分析问题的能力，重在理解与计算，属中档题.