【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2018-2019学年高二上学期期末考试理科数学试题.doc，共(16)页，1.167 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2018-2019学年度第一学期期末试题高二数学（理）一、选择题1.已知0a，10b−，则()A.0−aabB.0−aabC.2aababD.2abaab【答案】B【解析】【分析】根据

不等式的性质，结合题中条件，即可得出结果.【详解】因为0a，10b−，所以0ab，−aab，因此2aabab，0−aab；故选：B【点睛】本题主要考查由已知条件判断所给不等式的真假，熟记不等式

的性质即可，属于基础题型.2.等差数列na中，1510aa+=，47a=，则数列na的公差为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】设数列{}na的公差为d，则由题意可得12410ad+=，137ad+=，由此解得d的值．【详解】解：

设数列{}na的公差为d，则由1510aa+=，47a=，可得12410ad+=，137ad+=，解得2d=.故选：B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用，由已知条件求基本量．3.不等式210xmx++的解集为空集，则m的取值范围是（）A.(-2,2)B.[-2,2]C.(,2)(

2,)−−+D.(,2][2,)−−+【答案】B【解析】【分析】不等式210xmx++的解集为空集等价于210xmx++=有一个或没有实根，利用判别式不大于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式210xmx++的解集为空集,所以21yxmx=++的图象与x轴没

有交点或有唯一交点，210xmx++=有一个或没有实根，240m=−,解得22m−,m的取值范围是[-2,2]，故选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集与判别式的关系,属于基础题.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用问题是高频考点，一定要熟练掌握.4.若

xy，满足约束条件02323xxyxy++，则zxy=−的最小值是（）A.0B.3−C.32D.3【答案】B【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部,其中3(0,),(0,3),(1,1)2ABC，所以直线zxy=−过点B时取最小值3−，选B.

5.抛物线24yx=的准线方程是()A.x=1B.x=-1C.116y=−D.116y=【答案】C【解析】【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【详解】解：整理抛物线方程得214xy=，∴p＝18∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y＝

﹣116故答案为C．【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和简单性质．属基础题．6.若a＝(2x，1，3)，b＝(1,-2y，9)，如果a与b为共线向量，则A.x＝1，y＝1B.x＝12，y＝-12C.x＝16，y＝－32D.x＝－16，y＝32【答案】C【解析】【分析】利用共

线向量的条件ba=，推出比例关系求出x，y的值．【详解】∵a=（2x，1，3）与b=（1，﹣2y，9）共线，故有21x=12y−=39．∴x=16，y=﹣32．故选C．【点睛】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．7.在ABC

中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且1,45aB==，2ABCS=，则ABC的外接圆直径为（）A.45B.5C.52D.62【答案】C【解析】1122sin122224ABCSacBcc====,42c=,22222cos13282338252ba

cacB=+−=+−=−=,5b=,5252sin22bRB===，选C.8.若na是等比数列，其公比是q，且546,,aaa−成等差数列，则q等于()A.－1或2B.1或－2C.1或2D.－1或－2【答案】A【解析】分析：由546,,aaa−成等差数列可得

5642aaa−+=，化简可得()()120qq+−=，解方程求得q的值.详解：546,,aaa−成等差数列，所以5642aaa−+=，24442aqaqa−+=，220qq−−=，()()120qq+−=，1q=−或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等

比数列的通项公式基本量运算，属于简单题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关

键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.9.已知双曲线221kxy−=的一条渐近线与直线210xy++=垂直，则双曲线的离心率是（）A.52B.32C.3D.5【答案】A【解析】【分析】将双曲线方程化成标准方程，求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与直线210xy++=垂直，求出k的值

，进而求出双曲线方程，再根据双曲线离心率的公式，即可求出结果．【详解】由题意可知，双曲线方程为2211xyk−=，0k，所以该双曲线的渐近线方程为ykx=，又其中一条渐近线与直线210xy++=垂直，

即ykx=与直线210xy++=垂直，所以21k−=−，即14k=，所以双曲线标准方程为：2214xy−=，所以双曲线的离心率为：41522+=．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．10.已知,R

，则“=”是“tantan=”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若2==则tan,tan不存在，若tantan=，可得k=+

，故选D11.设na是等差数列，nS是其前项的和，且56SS，678SSS=，则下列结论正确的是（）A.0dB.70a=C.95SSD.6S与7S均为nS的最大值【答案】ABD【解析】【分析】由na是等差数列，nS是其前项的和，

且56SS，678SSS=，则60a，70a=，80a，780aa+，再代入逐一检验即可得解.【详解】解：由na是等差数列，nS是其前项的和，且56SS，678SSS=，则6650aSS=−，7760aSS=−=，8870aSS=−，78860aaSS+=−，则数列

na为递减数列，即选项A，B正确，由959876872()0SSaaaaaa−=+++=+，即95SS，即选项C错误，由126789...0...aaaaaa==，可得6S与7S均为nS的最大值，即选项D正确，故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的性质，重点考查了运算能力

，属基础题.12.已知0x，0y，若2282yxmmxy++恒成立，则实数m的取值范围是（）A.4m≥或2m−B.2m或4m−C.42m−D.24m−【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式求28yxxy+的最小值为8，由恒成立得到228mm+，解不等式得到m的范围.【详

解】因为282168yxxy+=，等号成立当且仅当2xy=，所以228mm+，解得：42m−.【点睛】利用基本不等式求最值，注意“一正、二定、三等”三个条件，要确保等号能取到.二、填空题13.已知()()()241312axbycz=−=−=−，，，，，，

，，，且abc，，两两垂直，则(x，y，z)＝________．【答案】(－64，－26，－17)【解析】【分析】根据向量的数量积等于0列方程组得出x，y，z的值．【详解】∵abc，，两两垂直，∴0ab=，0ac=，0b

c=，∴21204401230xyxzyz−+−=−−=−−+=，解得：x=﹣64，y=﹣26，z=﹣17．故答案为(－64，－26，－17)．【点睛】本题考查了空间向量垂直与数量积的关系，属于基础题．14.已知数列na的前n项和21nnSa

=−，则该数列的通项公式na=______【答案】12n−【解析】【分析】根据1121Sa=−求出1a；利用11nnnaSS++=−得到12nnaa+=，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.【详解】由21nnSa=−得：1121nnS

a++=−11122nnnnnaSSaa+++=−=−，即12nnaa+=又1121Sa=−，则11a=由此可得，数列na是以1为首项，2为公比的等比数列则12nna-=本题正确结果：12n−【点睛】本题

考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用nS证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.15.已知在ABC中，15,1060BCACA===，，则cosB=_______．【答案】

63【解析】【分析】由正弦定理求出sinB，然后利用公式22sincos1BB+=，即可求得cosB【详解】由于15,1060BCACA===，，所以由正弦定理可得：sinsinBCACAB=，即：01510sin60sinB=，解得：

3sin3B=，由于在ABC中，,60BCACA=，根据大边对大角可知：00AB，则cos0B,由22sincos1BB+=，解得：6cos3=B，故答案为63【点睛】本题考查正弦定理在三角形中的应用，属于基础题．16.给出下列命题：（1

）命题“若b2－4ac<0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题（3）命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题（4）“若m＞1，则mx2－2

（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题其中真命题的序号为__________．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）命题“若b2－4ac<0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实根”的否命题为：

若b2－4ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实根，所以否命题为真命题．（2）命题“△ABC中，AB=BC=CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“若△ABC为等边三角形，那么AB=BC=CA”，其逆命题为真命题；（3）因为原命题“若a>b>0，则>>0”为真命题，所以它

的逆否命题也为真命题；（4）“若m＞1，则mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R”的逆命题为：“若mx2－2（m+1）x+（m－3）＞0的解集为R，则m＞1”，为假命题．考点：命题真假的判断；四种命题．点评：本题以命题的真假判断为载体考查了四种命

题的定义，方程的根，恒成立等知识点，难度不大．三、解答题17.设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，2sinabA=.（1）求B的大小．（2）若33a=，5c=，求b【答案】（1）π6B=；（2）7b=【解析】【分析】（1）由正

弦定理，可得sin2sinsinABA=，进而可求出sinB和角B；（2）利用余弦定理，可得2222cosbacacB=+−，即可求出b.【详解】（1）由2sinabA=，得sin2sinsinABA=，因为sin0A，所以1sin2B=，又因为B为锐角，所以π6

B=．（2）由余弦定理，可得22232cos27252335524572bacacB=+−=+−=−=，解得7b=．【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.已知等差数列na

的前n项和为nS，nN，35a=，10100S=.（1）求数列na的通项公式；（2）设22nnban=+，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−；（2）23nTnn=+.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，

列出关于1a和d的方程组，解出方程组即可得出na的通项公式；（1）得出nb的通项公式，利用等差数列求和公式即可得出结果.【详解】（1）设等差数列na的公差为d.由题意，得1125109101002adad+=+=，解

得112ad==，∴21nan=−.（2）∵222(21)262nnbannnn=+=−+=−，∴212(1)6(123)26232nnnnTbbbnnnnn+=+++=+++−=−=+.【点睛】本题主要考查了等差数列中基本量的计算，考查了等差数列的前n项和，属

于基础题.19.已知函数221yaxax=++的定义域为R．()1求a的取值范围；()2解关于x的不等式220xxaa−−+．【答案】()1?0,1；(2)见解析.【解析】【分析】()1由函数的定义域是R，得出2210axax++恒成立，求出a的取值

范围；()2分类讨论，即可求出不等式的解集．【详解】()1函数221yaxax=++的定义域为R，2210axax++恒成立．①当0a=时，10，不等式恒成立；②当0a时，则02440aaa=−解得01a．综上可知，a的取值范围是0,1．()2由220xx

aa−−+，得()()10xaxa−−−．01a，①当1aa−，即102a时，1axa−；②当1aa−=，即12a=时，)21(02x−，不等式无解；③当1aa−，即112a时，1axa

−．综上，当102a时，原不等式的解集为(),1aa−；当12a=时，原不等式的解集为；当112a时，原不等式的解集为()1,aa−【点睛】本题考查了函数的性质与应用以及不等式的解法与应用问题，解题时应根据题意，适当地转化条件

，从而获得解答问题的途径，是综合性题目．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下

，再根据根的大小进行分类．20.已知0a，且1a，命题p:函数()log1ayx=+在()0,x+内单调递减；q:曲线()2231yxax=+−+与x轴交于不同的两点.如果p和q有且只有一个真命题，

求a的取值范围.【答案】15,1,22+【解析】【分析】根据对数函数和复合函数的单调性，可知p为真命题时01a．由二次函数的性质，可知q为真命题时52a或102a，再根据p和q有且只有一个真命题，分p为真命题，q为假命

题和p假命题，q为真命题两种情况讨论，即可求出结果．【详解】若p为真命题，由“函数()log1ayx=+在区间()0,+内单调递减”，可知:01pa；若q为真命题，由“曲线()2231yxax=+−+与x轴交于不同的两点”，所以

()22340a=−−，解得52a或12a；又0a，且1a，所以5:2qa或102a；又p和q有且只有一个真命题，当p为真命题，q为假命题时，0115022aaa或

，得1,12a；当p假命题，q为真命题时，0151022aaaa或或，即5,2a+．综上，a的取值范围为:15,1,22+．【点睛】本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题．21.已知椭圆2222:1(0)xyGabab+=的离心率为63，右焦点为()22,0,斜率为1的直线l与椭圆G交于,AB两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P−.（1）求椭圆G的方程；（2

）求PAB△的面积.【答案】（1）221.124xy+=（2）92【解析】【分析】（1）根据椭圆的简单几何性质知23a=，又2224bac=−=，写出椭圆的方程；（2）先斜截式设出直线yxm=+，联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关

系，可得出AB中点为00(,)Exy的坐标，再根据△PAB为等腰三角形知PEAB⊥，从而得PE的斜率为241334mkm−==−−+，求出2m=，写出AB：20xy−+=，并计算||32AB=，再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积．【详解】（1）由已

知得22c=，63ca=，解得23a=，又2224bac=−=，所以椭圆G的方程为221124xy+=．（2）设直线l的方程为yxm=+，由22,{1124yxmxy，=++=得22463120xmxm++−=，①设A、B的坐标分别为11(,)xy，22(,)xy（12xx），AB中

点为00(,)Exy，则120324xxmx+==−，004myxm=+=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PEAB⊥．所以PE的斜率为241334mkm−==−−+，解得2m=，此时方程①为24120xx+=．解得13x=−，20x=，所以11y=−，22y=，所以||32AB=，此时，点(3

,2)P−到直线AB：20xy−+=的距离3223222d−−+==，所以△PAB的面积1922SABd==．考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质

，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于难题．解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键．22.如图

，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝60°.(1)求证：EF⊥PB.(2)试问：当点E在线段AB上

移动时，二面角P-­FC-­B的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．【答案】⑴见证明；⑵当点E在线段AB上移动时，二面角P­FC­B的平面角的余弦值为定值，且定值为155.【解析】【分析】（1）由已知

在Rt△ABC中，中EF∥BC，我们可得到EF⊥AB，即EF⊥EB，EF⊥EP，由线面垂直的判定定理定理，易得EF⊥平面PEB，再由线面垂直的定义，即可得到EF丄PB；（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，结

合（I）的结论可得BH⊥平面BCFE，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，则我们可以分别求出平面PFC与平面BFC的法向量，代入二面角的向量夹角公式中，求出其余弦值，判断后，即可得到答案．【详

解】（1）证明：在Rt△ABC中，∵EF∥BC∴EF⊥AB∴EF⊥EB，EF⊥EP，又由EB∩EP=E∴EF⊥平面PEB又∵PB⊂平面PEB∴EF⊥PB（2）在平面PEB中，过P点作PD⊥BE于D，由（

1）知，EF⊥PD∴PD⊥平面BCFE在平面PEB中过点B作直线BH∥PD则BH⊥平面BCFE如图，以B为坐标原点，BC，BE，BH方向分别为X，Y，Z轴正方向建立空间坐标系，设PE=x（0＜x＜4），又∵AB=BC=4∴BE=4﹣x，EF=x在Rt△PED

中，∠PED=60°∴PD=32x，DE=12x∴BD=4﹣x﹣12x=4﹣32x∴C（4，0，0），F（x，4﹣x，0），P（0，4﹣32x，32x）从而CF=（x﹣4，4﹣x，0），CP=（﹣4，4﹣32x，32x）设n

=（a，b，c）是平面PCF的一个法向量，则：()()4403344022axbxaxbx−+−=−+−+=，即030abbc−=−=令b=1，则n=（1，1，3）是平面PCF的一个法向量，又∵平面BCF的

一个法向量为v=（0，0，1）设二面角P﹣FC﹣B的平面角为θ，则Cosθ=nvnv=155∴当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣FC﹣B的平面角的余弦值为定值155【点睛】本题主要考查直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置

关系等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．