【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题含答案.docx，共(11)页，642.413 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f4c8f3a2f5147a4665855d702919535a.html

以下为本文档部分文字说明：

长安一中2020—2021学年度第一学期期末考试高二数学（理科）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.243ii−=+（）A.1255i−B.1255i+C.2155i+D.2155i−

2.“220xx+=”是“0x=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.下列说法正确的是（）A.类比推理是由特殊到一般的推理B.合情推理得到的结论是正确的C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理得到的结论是错误的4.一物体做直

线运动，其位移s与时间t的关系是22stt=+，则物体在2t=时的瞬时速度为（）A.4B.6C.8D.105.某双曲线的一条渐线近方程为32yx=，且上焦点为(0,26)，则该双曲线的方程是（）A.22164xy−=B.22164yx−=C.221188xy−=D.2

21188yx−=6.设(,)Pxy，若2222(23)(23)8xyxy+−+++=，则点P的轨迹方程为（）A.221164xy+=B.221416xy+=C.22148xy−=D.22184xy−=7.用反证法证明“至少存在一个实数0x，使030x

成立”时，假设正确的是（）A.不存在实数0x，使030x成立B.至多存在一个实数0x，使030x成立C.至少存在两个实数0x，使030x成立D.任意实数x，030x恒成立8.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，点M是棱1CC的中点，连结

1BM，1BC交于点P，则（）A.12233APABADAA=++B.12233APABADAA=++C.12233APABADAA=++D.11122APABADAA=++9.已知函数()fx的导函数是()fx，()fx的图象如图所示，下列

说法正确的是（）A.函数()fx在()2,1−−上单调递减B.函数()fx在3x=处取得极大值C.函数()fx在()1,1−上单调递减D.函数()fx共有4个极值点10.在三棱锥PABC−中，PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC==，M，N分别为AC，AB的

中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（）A.66−B.36−C.66D.3611.若函数2()lnfxxmx=−在(0,1]上为减函数，则实数m的取值范围是（）A.[2,)+B.(2,)+C.(,2]−D.(,2)−12.已知抛物线方程

为24yx=，直线:20lxy++=，抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（）A.22B.222−C.424−D.222−二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“xR，20xx+”的否定是______.14

.函数3()5fxxx=−+的图象在点(1,(1))Pf处的切线方程是______.15.如图，中心均为坐标原点O的双曲线与椭圆在x轴上有共同的焦点1F，2F，点M，N是双曲线的左、右顶点，点A，B是椭圆的左、右顶点.若1F，M，O，N，2F将线段AB六等分，则双曲线与椭圆的离心率的乘积为____

__.16.定义在R上的函数()fx满足：2()()2fxfxx−+=，且当0x时，()2fxx，则不等式()25(5)10fxfxx+−+的解集为______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.17.（本小题满分10分）已知:p对任意实数x都有21axax−−恒成立，:q关于x的方程2230xxa−+=有实数根.若“pq”为真，“pq”为假，求实数a的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数32()3

()fxxaxxa=−+R在1x=处有极值.（1）求a的值；（2）求函数()fx的单调区间.19.（本小题满分12分）已知椭圆22:14xCy+=和直线:2lyxm=+.（1）当椭圆C与直线l有公共点时，求实数m的取值范围；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AB的最大

值.20.（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形PAD中，90A=，8AD=，3AB=，B，C分别是PA，PD上的点，且ADBC∥，M，N分别为BP，CD的中点，现将BCP△沿BC折起，得到四棱锥PABCD−，连结MN.（1）证明：MN∥平面PAD；（2）在翻折的过程

中，当4PA=时，求二面角BPCD−−的余弦值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln24()fxaxxxa=+−R.（1）若2x=是()fx的极值点，求()fx的单调区间；（2）求()()gxfxax=−在区间[1,]e上的最小值()ha.22.（本小题满分12分）已知抛

物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，O为坐标原点，点P，Q是抛物线C上异于点O的两个不同的动点，当直线PQ过点F时，PQ的最小值为8.（1）求抛物线C的方程；（2）若OPOQ⊥，证明：直线PQ恒过定点.参考答案及评分

细则1.A2(2)(43)12432555iiiii−−−==−+.故选A.2.B方程220xx+=的解集为102xxx==−∣或，所以“220xx+=”是“0x=”的必要不充分条件.故选B.3.CA项错，因为类比推理是特殊到特殊的推理；BD项错，因为合情推理得到的结论可能

是正确的，也可能是错误的；C项正确，因为归纳推理是由特殊到一般或部分到整体的推理.故选C.4.B22st=+，所以当2t=时，6s=.即物体在2t=时的瞬时速度为6.故选B.5.D设该双曲线的方程为22(0

)94yx−=，则94=26+，=2，所以该双曲线方程为221188yx−=.故选D.6.B由题意可知，点(),Pxy到点1(0,23)F的距离与到点2(0,23)F−的距离之和为定值8，并且1284

3FF=，所以点P的轨迹是以1F，2F为焦点的椭圆，所以28a=，4a=，因为23c=，所以2221612=4bac=−=−，所以点P的轨迹方程为221416xy+=.故选B.7.A根据反证法的原理，假设是对原命题结论的否定.故选A.8.B因为11BPBCPM△∽△，点M

是棱1CC的中点，所以1112BBBPCPCM==，所以APABBPAB=+=+()11122223333BCABBCBBABADAA=++=++.故B.9.C函数()fx在()2,1−−上单调递增，故A错误；函数()fx在()1,

3上单调递增，在(3,)+上单调递增，所以3x=不是()fx的极值点，故B错误；函数()fx在()1,1−上单调递减，故C正确；函数()fx共有3个极值点，3x=−，1x=是极小值点，1x=−是极大值点，故D错误.故选C.10.D以点P为坐标原点，以PA，PB

，PC方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA=，则()0,0,0P，()0,2,0B，()1,0,0M()1,1,0N，则(1,1,0)PN=，(1,2,1)BM=−，设异面直线PN和

BM所成角为，则||3cos6||||PNBMPNBM==.故选D.11.A由题意得，()20mfxxx=−在(0,1]x上恒成立，所以22mx在(0,1]x上恒成立，因为22x在(0,1的最大值为2，所以2m

.故选A.12.D设抛物线上的动点200,4yPy，则点P到直线l的距离()20200224244242yyyd++++−==.∵0yR，∴min222d−=.故选D.13.0xR，2000xx+命题“xR，20x

x+”的否定是“0xR，2000xx+”.14.230xy−+=由3()5fxxx=−+，则2()31fxx=−，(1)2f=，(1)5f=，所以切线方程为230xy−+=.15.43令||ONt=，则22OFt=，||3OB

t=，所以椭圆的离心率212||3OFeOB==，双曲线的离心率222||OFeON==.所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为1243ee=.16.5,2−因为2()()2fxfxx−+=，所以22())()0(fxfxxx−−+−

=−，令2()()gxfxx=−，则()()0gxgx−+=，所以()gx为奇函数.又因为当0x时，()()20gxfxx=−，所以()gx在(,0]−上单调递减，即()gx在R上单调递减.而不等式2225(5)10()()(5)(5

)()(5)fxxfxxfxxgxgxfx−+−−−−−+，所以5xx−，所以52x.17.解：若p为真，则0a=或2040aaa−，解得04a；若q为真，则980a−，即98a.

因为“pq”为真，“pq”为假，所以p与q一真一假.若p为真，q为假，则948a；若q为真，p为假，则0a，综上可知，实数a的取值范围为9(,0),48−.18.解：（1）∵2()361fxxax

=−+，函数32()3fxxaxx=−+在1x=处有极值，∴()10f=，解得23a=（经检验，符合题意）.（2）由（1）知32()2fxxxx=−+，则2()341(1)(31)fxxxxx=−+=−−令()0fx=，得11x=，213x=.当x变化时，

()fx，()fx的变化情况如下表：1,3−131,131(1,)+()fx+0−0+()fx极大值极小值∴函数()fx的单调增区间为1,3−，(1,)+，单调减区间为1,13

.19.解：（1）联立22142xyyxm+==+得221716440xmxm++−=.因为椭圆C与直线l有公共点，所以()22(16)417440mm=−−解得1717m−.所以实数m的取值范围是[17,17]−.（2）设()11,Axy，

()22,Bxy，则121617mxx+=−，2124417mxx−=，所以212||1ABkxx=+−()2121254xxxx=+−()224441651717mm−=−−252721617m−=.由（1）可知，若椭圆C与直线l有两个交点，则0，

所以2[0,17)m.所以当0m=时，||AB取得最大值48517.20.（1）证明：在四棱锥PABCD−中，取AB的中点E，连结EM，EN.因为M，N分别为BP，CD的中点，ADBC∥.所以MEPA∥，ENAD∥.因为PA平面PAD，ME

平面PAD，所以ME∥平面PAD，同理，EN∥平面PAD.又因为MENEE=，ME，NE平面MNE，所以平面MNE∥平面PAD.因为MN平面MNE，所以MN∥平面PAD.（2）解：因为在等腰直角三角形PAD中，90A=，ADBC∥，所以BCPA⊥，

即在四棱锥PABCD−中，BCPB⊥，BCAB⊥.因为ADBC∥，所以ADPB⊥，ADAB⊥，因为PBABB=，PB，AB平面PAB，所以AD⊥平面PAB，所以PAAD⊥.又因为8AD=，3AB=，4P

A=，所以5PB=.所以222ABPAPB+=，所以PAAB⊥.以点A为坐标原点，AB，AD，AP方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B，()0,0,4P，()0,8,0D，()3,5,0C，所以(3,0,4)PB=−，(3,5,4)PC=−，(0,4

)8,PD=−.设()1111,,nxyz=为平面PBC的一个法向量，则1100nPBnPC==，即111113403540xzxyz−=+−=，令14x=，得1(4,0,3)n=；设(

)2222,,nxyz=为平面PCD的一个法向量，则2200nPDnPC==，即222228403540yzxyz−=+−=，令21y=，得2(1,1,2)n=.所以1212221246

cos,43114nnnnnn+==+++63=.因为二面角BPCD−−是钝角，所以二面角BPCD−−的余弦值是63−.21.解：（1）()fx的定义域为(0,)+，244()44axxafxxxx−+

=+−=.因为2x=是()fx的极值点，所以168(2)02af−+==，解得8a=−，所以24484(2)(1)()xxxxfxxx−−−+==，当2x时，()0fx；当02x时，()0fx，所以()fx的单调

递减区间为()0,2，单调递增区间为(2,)+.（2）2()ln24gxaxxaxx=+−−，则(4)(1)()44axaxgxxaxx−−=+−−=，令()0gx=，得4ax=或1x=.①当14a，即4a时，()gx在1,e上为增函数，(

)()12haga==−−；②当14ae，即44ae时，()gx在1,4a上单调递减，在,e4a上单调递增，所以21()ln448aahagaaa==−−；③当4ae，即4ae时，()gx在[1,]e上为减函数，所以2()()(1)

24hageeaee==−+−.综上所述，222,41()ln,4448(1)24,4aaahaaaaaeeaeeae−−=−−−+−.22.（1）解抛物线C的焦点坐标为,02pF，若直线P

Q过点F，则直线PQ的斜率一定不为0，不妨设直线PQ的方程为2pxmy=+，代入22ypx=，得2220ypmyp−−=，设()11,Pxy，()22,Qxy，则()21212122,2yypmxxmyyp

pmp+=+=++=+.所以()212||||||2122ppPQPFQFxxpm=+=+++=+.所以，当0m=时，min||28PQp==，所以4p=.所以抛物线C的方程为28yx=.（2）证明：由题意设直线PQ的方程为(0)xkytt=+，()11,Pxy，()22,Qxy，

联立28yxxkyt==+，得2880ykyt−−=.由题意得264320kt=+.所以128yyk+=，128yyt=−.因为OPOQ⊥，所以()()12121212OPOQxxyykytkytyy=+=+++()()2212121kyy

ktyyt=++++()222818tkktt=−+++280tt=−=所以8t=（0t=不符合题意，故舍去）所以直线PQ的方程为8xky=+，所以直线PQ恒过定点()8,0.