【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第1章 1-4-1 第2课时 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 Word版含解析.docx，共(9)页，460.784 KB，由小赞的店铺上传

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第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系课后训练巩固提升A组1.设直线l1的方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=()A.1B.-2C.-3D.3解析:l1⊥l2⇒a⊥b⇒a·b=0.所以2×2+1×2+(-2

)×m=0,解得m=3.答案:D2.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,5,-2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(3,1,z),若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x

,y,z分别为()A.337,-157,4B.407,-157,4C.407,-2,4D.4,407,-15解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0.∴

3+5-2z=0,解得z=4.∵BP⊥平面ABC,∴𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.∴{𝑥-1+5𝑦+6=0,3(𝑥-1)+𝑦-12=0,解得{𝑥=407,𝑦=-157.答案:B3.如图,F是正方体ABCD-

A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有()A.B1E=EBB.B1E=2EBC.B1E=12EBD.E与B重合解析:以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标

系Dxyz,如图所示.设正方体棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),所以𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-2).设E(2,2,t),0≤t≤2,则𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2,t).由D1F⊥D

E,得(0,1,-2)·(2,2,t)=0,即2-2t=0.解得t=1,即E为BB1的中点,即B1E=EB.答案:A4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=12PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确

定解析:以D为原点,线段DA的长为单位长度,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0

,0,1),𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1,0).因为𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又P

Q⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.答案:B5.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”或“相交但不垂直”)

.解析:因为m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α不垂直.设平面α的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑏=0.计算步骤略,得到α

的一个法向量n=(1,52,1).因为n·m≠0,所以l与α不平行.因此l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,3),其中x∈[0,π

].若直线OP与OQ垂直,则x的值为.解析:∵OP⊥OQ,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.∴cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.∴2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx

=12.又x∈[0,π],∴x=π2或x=π3.答案:π2或π37.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.解析:易得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0).设M(x,y,z),则𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x,

y,z-1),𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x-1,y-2,z+3).∵点M在直线AB上,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线.∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,λ∈R.∴x=-λ,y=λ,z-1=0.又CM⊥AB,∴𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.∴�

�𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0.∴-(x-1)+(y-2)=0.①将x=-λ,y=λ,代入①,得λ=12.∴x=-12,y=12,z=1,即点M的坐标为(-12,12,1).答案:(-12,12,1)8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,

AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.证明:以D为原点,线段DA的长为单位长度,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示.设E(a,0,0),其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B

(2a,1,0),P(0,0,1),F(𝑎,12,12),所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(0,12,12),𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2a,1,-1),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2a,0,0).因为𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以EF⊥PB,EF⊥AB.又PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB.9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.(1)求证:AC⊥BC1;(2)在AB上是否存在点D,

使得AC1⊥CD?并说明理由.解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,∴AC与BC互相垂直.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直.以C为原点,CA,C

B,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).(1)证明:𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,0,0),𝐵𝐶1⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-4,4).∵𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴AC⊥BC1.(2)存在,理由如下:假设在AB上存在点D,使得AC1⊥CD.建系后得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,4,0).∵点D在AB上,∴可设𝐴

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-3λ,4λ,0),其中λ∈[0,1],则D(3-3λ,4λ,0).于是𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(3-3λ,4λ,0).𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,0,4).∵AC1⊥CD,∴𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0.∴-9+9λ=0

,解得λ=1,这样的点D存在.∴当点D与B重合时,AC1⊥CD.B组1.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,那么直线l的单位方向向量s=()A.(0,1,-1)B.±(0,√22,-√

22)C.(0,√2,-√2)D.±(0,√2,-√2)解析:由题意知,直线l的方向向量平行于平面α的法向量.故直线l的单位方向向量是s=±(0,√22,-√22).答案:B2.如图,在正方体ABCD-A1

B1C1D1中,E,F分别在线段A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空

间直角坐标系,如图所示.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E(13,0,13),F(23,13,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),所以𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,-1),�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(13,13,-13),𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,-1,1).因为𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-13𝐵𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.答案:B3.(多选题)如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的

是()A.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0B.AB⊥DCC.BD⊥ACD.平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析:以D为原点,分别以DB,DC,DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略).设折叠前R

t△ABC的斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),所以𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,-1),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-1),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,0).由于𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0+

0+1=1,故A错误;𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,故AB⊥DC,故B正确;由于𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,故BD⊥AC,故C正确;易知平面ADC的一个法向量为𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·

n=x-z=0,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·n=y-z=0.取z=1,则x=1,y=1.故n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量.由于𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n=-1,故D错误.答案:BC4.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若

在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.解析:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,则D(0,a,0).设Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),则𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(1,x,-z),𝑄𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,a-x,0).由PQ⊥QD,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.由题意知方程x2-ax+1=0只有一解,所以Δ=a2-4=0.因为a>0,所以a=2,此时可解得x=1,满足条件.答案:25.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以B为

直角顶点的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=.解析:建立空间直角坐标系Bxyz,如图所示,则B1(0,0,3a),D(√2𝑎2,√2𝑎2,3𝑎),C(0

,√2a,0).设E(√2a,0,z)(0≤z≤3a),则𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(√2a,-√2a,z),𝐵1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√2a,0,z-3a).分析知B1D⊥CE,则要使CE⊥平面B1DE,只需𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则𝐶𝐸⃗⃗⃗

⃗⃗·𝐵1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE=a或2a.答案:a或2a6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点,(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,请确定点E的位置并说明理由.解:分

别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(

0,a,e),e∈[0,a].(1)证明:由B,D的坐标,得𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,-a,0).由A1,E的坐标,得𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-a,a,e-a).∵𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a2-a2=0.∴𝐴1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴A1E⊥BD.(2)E为CC1的中点,理由如下:取BD的中点O,连接A1O,OE,则O(𝑎2,𝑎2,0),𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-𝑎2,𝑎2,𝑒),𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(𝑎2,-𝑎2,𝑎).∵A1B=A1D,O为BD中点,∴A1O⊥BD.又平面A1BD⊥平面EBD,平面A1BD∩平面EBD=BD,且A1O⊂平面A1BD,∴A1O⊥平面EBD.又OE⊂平面EBD,∴A1

O⊥OE.∴𝑂𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,即-𝑎24−𝑎24+ae=0,解得e=𝑎2,即E(0,𝑎,𝑎2).∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.