【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第1章 1-4-2 第1课时 用空间向量研究距离问题 Word版含解析.docx，共(11)页，604.749 KB，由小赞的店铺上传

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题课后训练巩固提升A组1.已知△ABC的三个顶点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等于()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(4,-5

,0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,4,-3).设边AC上的高为BD.|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|-20|5=4,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√41,所以边AC上的高BD=√41-16=5.答案:

C2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点P到平面ABC的距离是()A.√66B.√69C.√86D.√33解析:以PA,PB,PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,

1,0),C(0,0,1),所以𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1,1,1),则点P到平面ABC的距离d=|𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=√33.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在直线的距离为

()A.√62aB.aC.√2aD.𝑎2解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,连接A1B.∵A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a),∴𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,-a),𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(

-a,0,a).取a=𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,a,-a),u=𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗1|=(-√22,0,√22).∴点A1到BC1的距离为√𝑎2-(𝑎·𝑢)2=√2𝑎2-1

2𝑎2=√62a.答案:A4.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()A.12B.√22C.13D.√32解析:建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M(1

,1,12),N(12,1,1),C(0,1,0),所以𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,1),𝐷1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-1),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,0,12).因为𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1

2𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,且直线AD1与MN不重合,所以MN∥AD1.又MN⊄平面ACD1,所以MN∥平面ACD1.所以直线MN与平面ACD1之间的距离等于点M到平面ACD1的距离.设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则n·𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n·𝐷1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=0.可得n=(1,1,1)为平面ACD1的一个法向量.连接AM,因为𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,12)-(1,0,0)=(0,1,12),所以点M到平面ACD1的距离d=|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=|32||√3|=√32.所以直线MN与平面ACD1间的距离为√

32.答案:D5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1,则点D1到AC的距离为.解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略),则A(0,0,0),C(1,1,0)

,D1(0,1,1).设M为AC中点,则M(12,12,0),所以𝑀𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,12,1).因为AD1=CD1,所以MD1⊥AC.所以MD1的长即为点D1到AC的距离.而|𝑀𝐷1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√62,所以点D1到AC的距离为√62.答案:√626.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为.解析:以AB,AD,AP所在直线分别为x轴、

y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.∵P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),∴𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,0,-1),𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,4,0).取a=𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3,0,-1),u=𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=(-35,45,0),则a2=10,a·u=-95.∴点P到直线BD的距离为√𝑎2-(𝑎·𝑢)2=135.答案:1357.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的

中点,则点D到平面EFD1B1的距离为.解析:建立空间直角坐标系D1xyz,如图所示,则D1(0,0,0),F(0,12,1),E(12,1,1),B1(1,1,0),D(0,0,1),所以𝐷1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,12,1),𝐷1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=(1,1,0).可求得平面EFD1B1的一个法向量为n=(−1,1,−12).又𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),所以点D到平面EFD1B1的距离d=|𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=13.答案:138.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D

1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.(1)证明:D1E⊥A1D.(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离.解:以D为原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0)

,C(0,2,0).(1)证明:设E(1,y,0)(0≤y≤2),则𝐷1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,y,-1),𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,-1).由于𝐷1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故D1E⊥A1D.(2)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=

(-1,2,0),𝐷1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,-1).设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐷1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-𝑥+2𝑦=0,𝑥-𝑧=0.所以{𝑦=𝑥2,𝑧=𝑥.可取n=(

2,1,2).当E为AB的中点时,E(1,1,0),则𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0),所以点E到平面ACD1的距离为|𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=13.9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,底

面边长与侧棱长都等于2,O,O1分别为AC,A1C1的中点,求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.解:如图,连接OO1,则O1C1∥AO,且O1C1=AO,所以四边形AOC1O1为平行四边形,所以AO1∥OC1,A

O1⊄平面BC1O,OC1⊂平面BC1O,所以AO1∥平面BC1O,又OB∥O1B1,O1B1⊄平面BC1O,OB⊂平面BC1O,所以O1B1∥平面BC1O,又AO1∩O1B1=O1,所以平面AB1O1∥平面BC1O.∴平面AB1O1与平面BC1

O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.由题意,OO1⊥底面ABC,OB,AC,OO1两两垂直.则以O为原点,以OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.∵O(0,0,0),B(√3,0,0),C1(0,1,2),O1(

0,0,2),∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,0,0),𝑂𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,2),𝑂𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,2).设n=(x,y,z)为平面BC1O的法向量,则{𝑛·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝑂𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{𝑥=0,

𝑦+2𝑧=0,取z=-1可得n=(0,2,-1).点O1到平面BC1O的距离记为d,则d=|𝑛·𝑂𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛|=2√5=2√55.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为2√55.B组1.已知正方体ABCD-A1B1C1D

1的棱长为2,点E是A1B1的中点,则点A到直线BE的距离是()A.6√55B.4√55C.2√55D.√55解析:以向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x

轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Bxyz(图略),取a=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),u=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=(1√5,0,2√5),则a2=4,a·u=2√5.所以点A到直线BE的距

离为√𝑎2-(𝑎·𝑢)2=4√55.答案:B2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,AA1=3,底面是边长为4,且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点,则点E到平面O1B

C的距离为()A.2B.1C.32D.3解析:由题意知OO1⊥平面ABCD,所以OO1⊥OA,OO1⊥OB.又OA⊥OB,则以O为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示.因为底面ABCD是边长为4,∠DAB=60°的菱形,所以OA=2√3,OB=2.则A(2√3,0,0),B

(0,2,0),C(-2√3,0,0),O1(0,0,3),所以𝑂1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,-3),𝑂1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2√3,0,-3).设平面O1BC的法向量为n=(x,y,z),则n⊥𝑂1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗,n⊥𝑂1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以{2𝑦-3𝑧=0,-2√3𝑥-3𝑧=0.所以{𝑦=32𝑧,𝑥=-√32𝑧.所以可取n=(-√3,3,2).因为E是O1A的中点,所以E(√3,0,32).所以𝐸𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-

√3,0,32).所以点E到平面O1BC的距离为|𝐸𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=32.答案:C3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()A.√34B.√32C.3√34D.√3解

析:建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,则A1(0,-1,0),B(0,1,1),C(√3,0,1),A(0,-1,1),所以𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1),𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,1),𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1,1).设平面A1BC的法向量为n

=(x,y,z),则n·𝐴1𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n·𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,可得n=(-√36,-12,1)为平面A1BC的一个法向量.所以点A到平面A1BC的距离为|𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=√32.答案:B4.如图,

在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE折起成△BC1E,而且使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD,则点C1到直线AB的距离为.解析:建立空间直角坐标系Axyz,如图所示,则A(0,0,0),B(6,0,0),C1(4,2,2√2),D(0,4,0),

于是𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(-6,0,0),𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,2√2).向量𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗的单位向量u=(-1,0,0),取a=𝐵𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,2√2).所以点C1到直线AB的距离为√𝑎2-(𝑎·𝑢)2=2√3.答

案:2√35.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.解析:建立空间直角坐标系D1xyz,如图所示,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),D1(0,0,0),N

(12,1,1),∴𝐷1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,0),𝐵1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-12,0,1).∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,∴易证平面A1EF∥平面B1NMD1,∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为

点A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z).由n·𝐷1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,n·𝐵1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,得平面B1NMD1的一个法向量n=(2,-2,1).又𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,0)

,∴点A1到平面B1NMD1的距离为|𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛||𝑛|=23.答案:236.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点.(1)求证:B1F⊥平面A

EF;(2)求点F到平面EAB1的距离.(1)证明:三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°,故以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图.因为AB=AC=AA1

=1,E,F分别是棱C1C,BC的中点,所以B1(1,0,1),F(12,12,0),A(0,0,0),E(0,1,12),则𝐵1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12,12,−1),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,

1,12),𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(12,12,0),所以𝐵1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐵1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以B1F⊥AE,B1F⊥AF,又AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以B1F⊥平面AEF.(2)解:由(1)知𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=(1,0,1),𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,12),设平面EAB1的法向量m=(a,b,c),则{𝑚·𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+𝑐=0,𝑚·𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏+12𝑐=0,取a=2,得m=(2,1,-2)是平面EAB1的一个法向量.又𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(12,

12,0),所以点F到平面EAB1的距离d=|𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝑚||𝑚|=12.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ABC=90°,PA=AD=2,AB=BC=

1,请问:在线段PA上是否存在一点M,使其到平面PCD的距离为√33?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.解:直线PA上存在点M满足题意.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示

的空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),C(1,1,0),D(0,2,0),所以𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,-2),𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,-2).设M(0,0,z0)(0≤z0≤2),又设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·

𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{𝑥+𝑦-2𝑧=0,2𝑦-2𝑧=0.所以{𝑥=𝑧,𝑦=𝑧.取z=1,则x=1,y=1.所以,n=(1,1,1)是平面PCD的一个法向量.又因为𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(

0,0,2-z0),所以点M到平面PCD的距离d=|𝑛·𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑛|=√33(2-z0).令d=√33,可得z0=1.所以存在点M,且M(0,0,1)是线段AP的中点.综上可知,线段AP的中点到平

面PCD的距离为√33.