【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第1章 1-3-1 空间直角坐标系-1-3-2 空间向量运算的坐标表示 Word版含解析.docx，共(8)页，153.621 KB，由小赞的店铺上传

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1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.1空间直角坐标系1.3.2空间向量运算的坐标表示课后训练巩固提升A组1.已知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在空间的一个单位正交基底{i,j,k}下的坐标为()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,10,12)D.(4,2,3)解析:p=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故向量p在{i,j

,k}下的坐标为(12,14,10).答案:A2.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于()A.3√10B.2√10C.√10D.5解析:∵a-b+2c

=(1,0,1)-(-2,-1,1)+(6,2,0)=(9,3,0),∴|a-b+2c|=3√10.答案:A3.已知点A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,则点C的坐标是()A.(-65,-45,-85)B.(65,-45,-8

5)C.(-65,-45,85)D.(65,45,85)解析:设点C坐标为(x,y,z),则𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y,z).因为𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-3,-2,-4),𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=25𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以x=-65,y=-45,z=-85.答案:A4.若a=(1,λ

,2),b=(2,-1,2),且a与b夹角的余弦值为89,则λ=()A.2B.-2C.-2或255D.2或-255解析:a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,a·b=|a||b|cos<a,b>=√5+𝜆2·√9·89=8

3√5+𝜆2.由83√5+𝜆2=6-λ,得λ=-2或255.答案:C5.(多选题)关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3),下列说法正确的是()A.OP的中点的坐标为(12,1,32)B.点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3)C.点P关于坐标

原点对称的点的坐标为(1,2,-3)D.点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,-3)解析:OP的中点的坐标为(12,1,32),故A正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故B不正确;点P关于坐标原点对

称的点的坐标为(-1,-2,-3),故C错误;点P关于坐标平面Oxy对称的点的坐标为(1,2,-3),故D正确.故选AD.答案:AD6.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在Oxz平面上的射影为M'点,则M'关于原点的对称点的坐标是.解析:由题意得,M在Oxz

平面上的射影为M'(-2,0,-3),所以M'关于原点的对称点的坐标为(2,0,3).答案:(2,0,3)7.已知a=(-2,-1,3),b=(-1,3,-2),a,b的夹角为θ,则θ=.解析:cosθ=𝑎·𝑏|𝑎||𝑏

|=2-3-6√14·√14=-12,故θ=120°.答案:120°8.已知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=√29,且λ>0,则λ=.解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,

0),∴λa+b=(4,1-λ,λ).又|λa+b|=√29,∴16+(1-λ)2+λ2=29.∴λ2-λ-6=0,解得λ=3或λ=-2.∵λ>0,∴λ=3.答案:39.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5).(1)若(ka+b)∥(a-3b

),求实数k的值;(2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数k的值.解:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).(1)∵(ka+b)∥(a-3b),∴𝑘-27=5𝑘+3-4=

-𝑘+5-16,解得k=-13.(2)∵(ka+b)⊥(a-3b),∴(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0,解得k=1063.10.如图,已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长为√2,底面边长为√3,E是SA的中点,O为底面ABCD的中心

.(1)求CE的长;(2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值;(3)若OG⊥SC,垂足为G,求证:OG⊥BE.解:连接SO,AC,OB,由于棱锥是正四棱锥,因此底面四边形ABCD是正方形,从而OA,OB,OS两两垂直,以O为原点,OA,OB,OS所在直线分别为x轴

、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.因为侧棱长为√2,底面边长为√3,E为SA的中点,所以A(√62,0,0),S(0,0,√22),C(-√62,0,0),B(0,√62,0),E(√64,0,√24).(1)𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(3√64,0,√24

),所以|𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√(3√64)2+02+(√24)2=√142,即CE=√142.(2)因为𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(√64,-√62,√24),𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗=(−√62,0,−√22),所以cos<𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗

,𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗>=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗||𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=-1√2×√2=-12.故异面直线BE和SC所成角的余弦值为12.(3)证明:因为G在SC上,所以SG⃗⃗⃗⃗与SC⃗⃗⃗⃗共线,所以可设S

G⃗⃗⃗⃗=λSC⃗⃗⃗⃗=(-√62λ,0,-√22λ),λ∈R,则𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑆⃗⃗⃗⃗⃗+𝑆𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,√22)+-√62λ,0,-√22λ=(-√62𝜆,0,√22(1-𝜆)).因为OG⊥SC,即𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗,所以

𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗=0.所以32λ-12(1-λ)=0,解得λ=14.所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(-√68,0,3√28).又𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(√64,-√62,√24),所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=-632+0+632=0

.所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,即OG⊥BE.B组1.已知a=(2,0,3),b=(4,-2,1),c=(-2,x,2),若(a-b)⊥c,则x等于()A.4B.-4C.2D.-2解析:∵a-b=(-2,2,2

),且(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,即4+2x+4=0,解得x=-4.答案:B2.已知O为原点,向量𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-2,3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为(0,32,-12),则(x,y,z

)=()A.(-2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1)D.(2,-4,-1)解析:由题意得(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2(0,32,-12),即(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),解得{𝑥=-2,𝑦=-4,𝑧=-1.答案:A3.在

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D为BB1的中点,则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为()A.√105B.2√57C.√1515D.√1015解析:建系如图,则

C1(0,1,2),D(1,0,1),A1(0,0,2),C(0,1,0),因此𝐶1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-1,-1),𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,-2).所以cos<𝐶1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐶1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴1𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=-1+2√3×√5=√1515.故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值是√1515.故选C.答案:C4.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)

,则|b-a|的最小值是()A.√55B.√555C.3√55D.115解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|2=(1+t)2+(2t-1)2+02=5t2-2t+2=5(𝑡-15)2+95.∴|b-a|min2=95.∴|b-a|min=3√55.答案:C5.已知△ABC的三个

顶点是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),则△ABC的面积为.解析:S△ABC=12|AB||AC|sinα,其中α是边AB与AC的夹角,则S△ABC=12|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|√1-cos2𝛼=12|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗

⃗|·|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|√1-(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|)2=12√|AB⃗⃗⃗⃗⃗|2|AC⃗⃗⃗⃗⃗|2-(AB⃗⃗⃗⃗⃗·AC⃗⃗⃗⃗⃗)2.在本题中𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,2,-2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,-3),所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=12+22+(-2)2=9,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=(-2)2+(-3)2=13,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=1×(-2)+2×0+(-2)×(-3)=4.所以S△ABC=12√9×13-42=√1012.答案:√10126.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线O

P上运动,当𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值时,点Q的坐标为.解析:设𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(λ,λ,2λ),λ∈R,则Q(λ,λ,2λ),𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1-λ,2-λ,3-2λ),𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2-λ,1-λ,2-2λ).因为𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗

⃗·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=6λ2-16λ+10=6(𝜆-43)2−23,所以当λ=43时,𝑄𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑄𝐵⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值,此时点Q的坐标为(43,43,83).答案:(43,43,83)7.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)三点

.(1)若𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求点D的坐标;(2)问是否存在实数α,β,使得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=α𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+β𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗成立

?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设D(x,y,z),则𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,1-y,-z),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,2),𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-x,-y,2-z),𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0).因为𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以存在实数m,n,使得{𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,即{(-𝑥,1-𝑦,-𝑧)=𝑚(

-1,0,2),(-𝑥,-𝑦,2-𝑧)=𝑛(-1,1,0),解得{𝑥=-1,𝑦=1,𝑧=2,即D(-1,1,2).(2)依题意𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,2),𝐵𝐶⃗⃗⃗

⃗⃗=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=α𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+β𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β).所以{𝛼=1,𝛼-𝛽=0,2𝛽=2,解得α=1,β=1.故存在α=β=1,使得𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=α𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+β𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗成立.8.已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有的棱长都是2,M是BC边的中点,则在棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于

45°?解:以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0,0,0),C(0,2,0),B(√3,1,0),B1(√3,1,2),M(√32,32,0).假设存在点N,满足条件.因为点N在CC1上,所以可设N(0,2,m)(0≤m≤2).因为𝐴𝐵1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,1,2),𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-√32,12,𝑚),所以|𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2,|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√𝑚2+1,𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2m-1.因为异面直线AB1和MN所成的角等于45°,所以向量𝐴𝐵1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗和𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的夹角等于45°或135°.又因为cos<𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2𝑚-12√2×√𝑚

2+1,所以2𝑚-12√2×√𝑚2+1=±√22,解得m=-34,这与0≤m≤2矛盾.所以在棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.