【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第1章 1-2 空间向量基本定理 Word版含解析.docx，共(8)页，295.768 KB，由小赞的店铺上传

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1.2空间向量基本定理课后训练巩固提升A组1.已知a,b,c是不共面的三个向量,则能构成空间的一个基底的一组向量是()A.3a,a-b,a+2bB.2b,b-2a,b+2aC.a,2b,b-cD.c,a+c,a-c解析:对于A,由于3a=2(a-b)+a+

2b,故向量3a,a-b,a+2b共面,不能作为基底,故A不符;同理可判断B,D不符;对于C,因为不存在实数m,n,使得a=m·2b+n·(b-c),所以三个向量不共面.故选C.答案:C2.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=

c,𝑂𝑂'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b,D是四边形OABC的对角线的交点,则()A.𝑂'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-a+b+cB.𝑂'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-b-12a-12cC.𝑂'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12a-b-12cD.𝑂'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗=12a-b+12c解析:𝑂'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂'𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-𝑂𝑂'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝑂'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12a-b+12c.答案:D3.已知在正方

体ABCD-A'B'C'D'中,O1,O2,O3分别是AC,AB',AD'的中点,以{𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗1,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗2,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗3}为基底,𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗1+y𝐴𝑂2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+z𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗3,则x,y,z的值是()A.x=y=z

=1B.x=y=z=12C.x=y=z=√22D.x=y=z=2解析:𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+12(𝐴𝐴'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+12(𝐴𝐴'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐷'⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑂3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑂2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,由空间向量基本定理,得x=y=z=1.答案:A4.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都

为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()A.2B.√3C.√5D.√7解析:∵𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,且|𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=

1,|𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,<𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=120°,∴𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗2=|𝐸𝐹⃗

⃗⃗⃗⃗|2=(𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=|𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+2(𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐴⃗

⃗⃗⃗⃗·𝐴1𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=1+4+1-1=5.因此|𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=√5,即EF的长为√5.答案:C5.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,则向量a与b的位置关系是.解析:∵a·b=

-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0.∴a⊥b.答案:a⊥b6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心,若𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+λ𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0(λ∈R),则λ=.解析:如图,连接A1D,A1C1,C1D,则E在A1C1上,F

在C1D上,易知EF12A1D.所以𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,即𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以λ=-12.答案:-127.如图,已知正三棱柱ABC-A

1B1C1的各条棱长度相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成角的大小是.解析:设棱长为2.∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗1=𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐵𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0-2+2-0=0.∴𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝑀⃗⃗

⃗⃗⃗⃗,即AB1⊥BM.答案:90°8.如图,设四面体OABC的三条棱𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=c,G为△ABC的重心,以{a,b,c}为空间的一个基底表示向量𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂�

�⃗⃗⃗⃗⃗.解:由G为△ABC的重心,易知E为AC的中点,所以𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=12[(𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

)]=12[(a-b)+(c-b)]=12(a+c-2b),𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=b+23𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=b+13(a+c-2b)=13(a+b+c).9.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB

=90°,D,E分别为AB,BB'的中点.(1)求证:CE⊥A'D;(2)求CE与AC'所成角的余弦值.答案：(1)证明:设𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐶𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c,则{a,b,c}构成空间的一个基底.

根据题意,|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∵𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=b+12c,𝐴'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-c+12b-12a,∴𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-12c2+12b2=0,∴𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴'𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴CE⊥A'D.(2

)解:∵𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-a+c,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=b+12c,∴|𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|,|𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=√52|a|,又𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-a+c)·(𝑏+12𝑐)=12c2=12

|a|2,∴cos<𝐴𝐶'⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗>=12|𝑎|2√2×√52|𝑎|2=√1010.故E与AC'所成角的余弦值为√1010.B组1.若a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e

3({e1,e2,e3}为空间的一个基底),且d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为()A.52,-12,-1B.52,12,1C.-52,12,1D.52,-12,1解析:d=xa+yb+zc=(x+y+z)

e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3.∵d=e1+2e2+3e3,∴{𝑥+𝑦+𝑧=1,𝑥-𝑦+𝑧=2,𝑥-𝑦=3,解得x=52,y=-12,z=-1.答案:A2.已知OABC是四面体,G1是△AB

C的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+z𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则(x,y,z)为()A.(14,14,14)B.(34,34,34)C.(13,13,13)D.(23,23,23)解

析:如图,由已知得𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=34𝑂𝐺1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.因为G1是△ABC的重心,所以𝑂𝐺1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.所以𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=14𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝑂𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗,从而x=y=z=14.答案:A3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则直线AC1与CE的位置关系是()A.重合B.垂直C.平行D.无法确定解析:𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐶

1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶1𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.设正方体的棱长为1,则𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗-12𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)=-1+1=0,所以𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.故AC1与CE垂直.答案:B4.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PA=AD,E,F分别是线段PA,CD的中点,则EF与BD所成角的余弦值为()A.√26B.√33C.√36D.√23解

析:设正方形ABCD的边长为1,则AP=AD=AB=1,设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=c,则𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=-12c+b+12a,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

−𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b-a,𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12𝐜+𝐛+12𝐚)·(b-a)=-12c·b+12c·a+b2-a·b+12a·b-12a2=12,|𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|=√(-12𝑐+𝑏+12𝑎)2=√62,|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

⃗|=√2.所以cos<𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗>=12√62·√2=√36.答案:C5.在空间四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a-2c,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别是E,F,则𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗

=.解析:𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+14(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+14

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)=3a-52b+3c.答案:3a-52b+3c6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,用𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴

𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗作为基向量,则𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=.解析:因为2𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+

(𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗).答案:12(𝐴𝐷1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M

,C1N=2B1N.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c.(1)请用a,b,c表示向量𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗;(2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,求MN的长.解:(1)𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑀𝐴1⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴1𝐵1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵1𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐵𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+13𝐵1𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(c-a)+a+13(b-a)=13a+13b+13c.(2)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+

2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,∴|a+b+c|=√5.∴|𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13|a+b+c|=√53,即MN=√53.8.如图,正四面体VABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,C

O两两垂直;(2)求DM和AO所成角的大小.(1)证明:𝑉𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=13(a+b+c),𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝑉𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝑉𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=16(b+c-5a),𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝑉𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝑉�

�⃗⃗⃗⃗⃗=16(a+c-5b),𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝑉𝑂⃗⃗⃗⃗⃗−𝑉𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=16(a+b-5c).因为𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=136(b+c-5a)·(a+c-5b)=13

6(18a·b-9|a|2)=136(18×1×1×cos60°-9)=0,所以𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)解:𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝑉⃗⃗⃗⃗⃗+𝑉𝑀⃗

⃗⃗⃗⃗⃗=-13(a+b+c)+12c=16(-2a-2b+c),则|𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√[16(-2𝑎-2𝑏+𝑐)]2=12.|𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=√[16(𝑏+𝑐-5𝑎)]2=√22.因为𝐷

𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=16(-2a-2b+c)·16(b+c-5a)=14,所以cos<𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗>=1412×√22=√22.所以<𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗>=π4.故DM和AO所成角的大小为π4.