【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第1章 1-4-1 第1课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系 Word版含解析.docx，共(8)页，362.402 KB，由小赞的店铺上传

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1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系课后训练巩固提升A组1.设平面α内两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是平面α的法向

量的是()A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:平面α的法向量应当与a,b都垂直,检验知选B.答案:B2.已知向量a=(2,-3,5)与b=(4,x,y)平行,则x,y的值分别为()A.6和-10B.-6

和10C.-6和-10D.6和10解析:∵a与b平行,∴42=𝑥-3=𝑦5,解得x=-6,y=10.答案:B3.若𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,λ,μ∈R,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相

交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=λ𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+μ𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗共面.∴直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案:D4.已知点A

(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个法向量的单位向量是()A.(1,1,1)B.(√33,√33,√33)C.(13,13,13)D.(√33,√33,-√33)解析:设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-

1,1),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,1,0),则{𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=-𝑦+𝑧=0,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝑛=-𝑥+𝑦=0,解得x=y=z.因为单位向量的模为1,所以只有选项B正确.答案:B5.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-

A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则下列四个结论中正确的是()A.A1M∥D1PB.A1M∥B1QC.A1M∥平面DCC1D1D.A1M∥平面D1PQB1解析:因为𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑀⃗⃗⃗

⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷1𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴1𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴1𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐷1𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗,即A1M∥D1P,故A正确;由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故C,D正确;因为PQ与D1B1平行但不相等,所以四边形D1PQB1为梯形,即D1P与B1Q不平行,从而A1M与B1Q不平行,故B不正确.答案:ACD6.已知直线l

1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=,y=.解析:∵l1∥l2,∴𝑥-7=𝑦3=84.∴x=-14,y=6.答案:-1467.若A(0,2,198),B(1,-1,58),C(-2,1,58)是平面α内的三点,设平面

α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=.解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(1,-3,-74),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,-1,-74).因为a·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0,a·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以{𝑥-3𝑦-74𝑧=0,-2𝑥-𝑦-

74𝑧=0,则{𝑥=23𝑦,𝑧=-43𝑦.所以x∶y∶z=23y∶y∶(-43𝑦)=2∶3∶(-4).答案:2∶3∶(-4)8.已知点O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(

x,-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行,则x=.解析:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,2,-2),𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,6,-8).可得平面ABC的一个法向量n=(2,7,5).由n·𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,得2x-7+15=0,解得x=-4.答案:-49.如图,ABEDFC为多面

体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.求证:直线BC∥EF.证明:过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,连接QE.由平面ABED⊥平面ACFD,平面ABED∩平面ACFD=AD,FQ

⊂平面ACFD,得FQ⊥平面ABED.因为△ODF,△ODE是正三角形,所以Q为OD的中点,所以EQ⊥OD.以Q为原点,𝑄𝐸⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑄𝐹⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建

立空间直角坐标系,如图所示.由已知得E(√3,0,0),F(0,0,√3),B(√32,−32,0),C(0,-32,√32),所以𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(-√32,0,√32),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(-√3,0,√3).因为𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗,且B∉EF,所以BC∥EF.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.证法一:建立空间直角坐标系Dxyz,如图

所示,则A(2,0,0),B(2,3,0),M(1,0,4),N(2,32,4),E(0,32,4),F(1,3,4),∴𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,32,0),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1,32,0),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,4),𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,4).∵𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴MN∥EF.又EF⊂平面EFBD,MN⊄平面EFBD,∴MN∥平面EFBD.同理,可证AM∥平面EFBD.又MN⊂平面AMN,AM⊂平面AMN,且MN∩AM=M,∴平面AMN∥平面EFBD.证法二:建立空间直角坐

标系Dxyz,如证法一,则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,32,4),D(0,0,0),E(0,32,4),F(1,3,4),∴𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,0,4),𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,32,4),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(

0,32,4),𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1,3,4).设平面AMN的法向量为n1=(x1,y1,z1),则{𝑛1·𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛1·𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0.∴{-𝑥1+4𝑧1=0,32𝑦1+4𝑧1=0.∴{𝑥1=4𝑧1,𝑦1=-83

𝑧1.∴可取n1=(1,-23,14).∴n1=(1,-23,14)为平面AMN的一个法向量.同理,可得平面EFBD的一个法向量为n2=(32,-1,38).∵n1=23n2,∴n1∥n2.∴平面AMN∥平面EFBD.B组1.在菱形ABCD中,若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的法向量

,则下列等式不成立的是()A.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0B.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=0C.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0D.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0解析:由题意知PA⊥平面ABCD,所以PA

与平面内的直线AB,CD都垂直,故A,B正确;因为菱形的对角线互相垂直,所以对角线BD⊥平面PAC,所以PC⊥BD,故C正确.若PC⊥AB,则AC⊥AB,在菱形中不成立,故选D.答案:D2.(多选题)已知直线l过点P(1,

0,-1),平行于向量a=(2,1,1),直线l与点M(1,2,3)均在平面α上,则下列向量是平面α的法向量的是()A.(1,-4,2)B.(0,-1,1)C.(-14,1,-12)D.(14,-1,12)解析:𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,4),直线l平行于向量a,

设n是平面α的法向量,则n必须满足{𝑛·𝑎=0,𝑛·𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,把选项代入验证,选项A,C,D都满足,只有选项B不满足.答案:ACD3.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,-1,-4),�

�𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(4,2,0),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,2,-1).则下列结论正确的是()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的法向量D.𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗∥𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝑃⃗

⃗⃗⃗⃗=0,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗·𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴AB⊥AP,AD⊥AP.故A,B正确.又𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗不平行,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗是平面ABCD的法向量.故C正确.∵𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗−𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=(2,3,4),𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,2,-1),∴𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗与𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗不平行.故D错误.答案:ABC4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α

∥β,则y+z=.解析:∵α∥β,∴u1∥u2.∵u1=(-3,y,2),∴z≠0.∴-36=𝑦-2=2𝑧,解得y=1,z=-4.∴y+z=-3.答案:-35.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直

,AB=√2,AF=1,点M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为.解析:如图,设AC与BD相交于点O,连接OE.因为AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线的交点,

且ACEF是矩形,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(√2,√2,1).因此点M的坐标为(√22,√22,1).答案:(√22,√22,1)6.如图所示,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=12AP=2,D是

AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.请用向量方法证明AP∥平面EFG.解:以D为原点,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,𝐷𝑃⃗⃗⃗⃗⃗的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系D

xyz,如图所示,则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),所以𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(-2,0,2),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(0,-1,0),𝐸�

�⃗⃗⃗⃗⃗=(1,1,-1).设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),则{𝑛·𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0,𝑛·𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=0.所以{-𝑦=0,𝑥+𝑦-𝑧=0.所以{𝑥=𝑧,𝑦=0.取z=1

,则x=1.于是n=(1,0,1)是平面EFG的一个法向量.因为n·𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=1×(-2)+0×0+1×2=0,所以n⊥𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗.又AP⊄平面EFG,所以AP∥平面EFG.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,P

B与底面所成的角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=12AD=1.问:在棱PD上是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.解:存在,当E为PD的中点时,CE∥平面PAB.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为

x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),∴𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,-1).设点E的坐标为(0,y,z),则𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,y,z-1

),𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(-1,y-1,z).∵点E在PD上,∴𝑃𝐸⃗⃗⃗⃗⃗∥𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.∴𝑦2=𝑧-1-1.①𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量.∵CE∥平

面PAB,∴𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.∴(-1,y-1,z)·(0,2,0)=2(y-1)=0.∴y=1.代入①,得z=12.∴E(0,1,12)是PD的中点.∴在棱PD上存在点E,且当E为P

D中点时,CE∥平面PAB.