【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.5 导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(11)页，500.340 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.5导数在研究函数中的应用（重难点题型精讲）1．函数单调性和导数的关系(1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增；②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(

x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减.③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数.(2)函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内

导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.常见

的对应情况如下表所示.2．函数的极值极值的相关概念(1)极小值点与极小值：如图，函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(

x)>0，则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值：如图，函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0，而且在点x=b附

近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.3．函数的最大值与最小值(1)一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f

(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点处取得.当f(x)的图象连续不断且在[a,b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.(2)函数的极值与最值的区别①极值是对某一点附近(即局部)而言的，最值是对函数的整个定义区间而言的.②在函数

的定义区间内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值最多有一个.③函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点.4．导数在解决实际问题中的应用①利用导数解决实际问题时，常常涉及用料最省、成本(费用)最低、利润最大、效率最高等问题，求解时需要分析问题中各个变量之间

的关系，抓主元，找主线，把“问题情境"翻译为数学语言，抽象成数学问题，再选择合适的数学方法求解，最后经过检验得到实际问题的解.②解决优化问题的方法并不单一，运用导数求最值是解决这类问题的有效方法，有时与判别式、基本不等式及二次函数的性质等结合，多举并

用，达到最佳效果.③利用导数解决实际问题的一般步骤【题型1利用导数求单调区间】【方法点拨】利用导数求函数f(x)单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'(x)；(3)解不等式f'(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为

增函数；(4)解不等式f'(x)<0，函数在解集与定义域的的交集上为减函数.【例1】（2022·吉林·高三阶段练习（理））函数𝑓(𝑥)=2𝑥−5ln𝑥−4的单调递减区间是（）A．(0,3)B．(3,+∞)C．(52,+∞)D．(0,52

)【变式1-1】（2022·广西·高二期末（文））函数𝑦=12𝑥2−ln𝑥的单调递减区间为（）A．(−1,1)B．(0,1)C．[1,+∞)D．(0,+∞)【变式1-2】（2022·宁夏·高二期中（文））函数𝑓(

𝑥)=(𝑥−3)e𝑥的单调递减区间是（）A．(−∞,2]B．[0,3]C．[1,4]D．[2,+∞)【变式1-3】（2022·云南·模拟预测（理））设a为实数，函数𝑓(𝑥)=𝑥3+(𝑎−1)𝑥2−(𝑎+2)𝑥，且𝑓′(𝑥)是偶函数，则𝑓(𝑥)的单调递减区间为

（）A．(0,2)B．(−√3,√3)C．(−1,1)D．(−3,3)【题型2由函数的单调性求参数】【方法点拨】由函数的单调性求参数的取值范围经常涉及的两种题型：(1)已知含参函数y=f(x)在给定区间I上单调递增

(减)，求参数范围.方法一：将问题转化为不等式f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间I上的恒成立问题.方法二：求得递增(减)区间A，利用I与A的关系求解.(2)已知函数y=f(x)在含参区间上单调递增(减)，求参数范围.方法:利用(1)中的方法二.【例2】

（2022·江苏·高二期末）设函数𝑓(𝑥)=12𝑎𝑥2+ln𝑥在(1,+∞)上单调递增，则实数𝑎的取值范围是（）A．[−1，+∞)B．(−1，+∞)C．[0，+∞)D．(0，+∞)【变式2-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））

已知函数𝑓(𝑥)=(1−𝑥)ln𝑥+𝑎𝑥在(1,+∞)上不单调，则𝑎的取值范围是（）A．(0,+∞)B．(−∞,0)C．[0,+∞)D．(−∞,0]【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）若函数

𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥+ln𝑥在区间(1,e)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[3,+∞)B．(−∞,3]C．[3,e2+1]D．(−∞,e2+1]【变式2-3】（2022·四川·高二期中（文））已知函数𝑓(�

�)=𝑥3+𝑥2−𝑎𝑥+1在R上为单调递增函数，则实数𝑎的取值范围为（）A．(−∞,−13]B．(−∞,−13)C．(−13,+∞)D．[−13,+∞)【题型3利用导数求函数的极值】【方法点拨】求函数的极值需严格按照步骤

进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内.如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.【例3】（2022·贵州·高三阶段练

习（文））函数𝑓(𝑥)=𝑥3+12𝑥2−4𝑥的极小值为（）A．−43B．1C．−52D．10427【变式3-1】（2022·山东济南·模拟预测）若𝑥=−4是函数𝑓(𝑥)=(𝑥2+𝑎𝑥−5)e𝑥−1的极值点．则𝑓(𝑥)的极小值为（）A．-3B．7e

−5C．−3eD．0【变式3-2】（2022·安徽省高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥3+𝑥2−𝑥，则下列说法正确的是（）A．当𝑥=1时，𝑓(𝑥)取得极小值1B．当𝑥=−1时，𝑓(𝑥)取得极大值1C．当𝑥=3时，𝑓(𝑥)取得极大值33D．当𝑥=−13时，𝑓(

𝑥)取得极大值−527【变式3-3】（2022·陕西·高三阶段练习（文））记函数𝑓(𝑥)=sin𝑥+cos𝑥e𝑥(𝑥≥0)的极大值从大到小依次为𝑥1、𝑥2、⋯、𝑥𝑛、⋯，则𝑥2𝑥5=（）A．e3πB．e4πC．e6πD

．e7π【题型4利用导数求函数的最值】【方法点拨】设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值；(2)将f(x

)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【例4】（2021·宁夏·高二期中（文））函数𝑦=𝑥e𝑥在𝑥∈[2,4]上的最小值为（）A．2e2B．1eC．4e4D．2e2【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））函数𝑓(𝑥)=13𝑥3+4

𝑥2−9𝑥+6在区间[−1，2]上的最小值为（）A．563B．203C．43D．−3【变式4-2】（2022·江西·高三阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)=(𝑎−3)𝑥−𝑎𝑥3在[−1,1]上的最小值为−3，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,−1]B．[12,+

∞)C．[−1,12]D．[−32,12]【变式4-3】（2022·广东·高二开学考试）若函数𝑓(𝑥)={ln(𝑥+1)−𝑎𝑥−2,𝑥>0𝑥+1𝑥+𝑎,𝑥<0的最大值为𝑎−2，则实数𝑎的取值范围为（）A．(−∞,e]B．(0,1e]C

．[1e,+∞)D．[e,+∞)【题型5导数中的零点（方程根）问题】【方法点拨】利用导数研究含参函数的零点主要有两种方法：(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x

)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.【例5】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥+2=0(𝑎∈𝑅)有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．(0,+∞)B．(0,e)C．(e,+∞)D．(−∞,e)【变式5-1】（2022

·四川·模拟预测（理））已知函数𝑓(𝑥)=1+e𝑥(𝑎ln𝑥−𝑥𝑎+𝑥)（其中𝑥>1，𝑎<0）有两个零点，则a的取值范围为（）A．(−∞,−e2)B．(−e2,−e)C．(−∞,−1)D．(−∞,−e)【变式5-2】（2022·陕西·

一模（理））若函数𝑓(𝑥)=𝑘e𝑥−𝑥2+3有三个零点，则k的取值范围为（）A．(0,6e3)B．(−2e,6e3)C．(−2e,0)D．(−∞,6e3)【变式5-3】（2022·贵州·高三阶段练习）已知函数

𝑓(𝑥)满足𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)，且𝑓(0)=2，若函数𝑔(𝑥)=2𝑥𝑓(𝑥)−𝑎有两个零点，则𝑎的取值范围为（）A．(−∞,1e)B．(1e,+∞)C．(0,1e)D．(0,

e)【题型6利用导数解（证明）不等式】【方法点拨】(1)一般地，要证f(x)>g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x

)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递减即可.(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．【例6】（2022·吉林·高三阶段

练习（文））已知函数𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑎)(ln𝑥−1)，𝑥∈[1𝑒,+∞).(1)若𝑎=−1，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；(2)当𝑎∈(−1e,0)时，证明：𝑓(𝑥)>−4e.【变式

6-1】（2022·河北·高三期中）已知𝑎>0，函数𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥−ln(𝑎𝑥+𝑎).(1)当𝑎=1时，求𝑓(𝑥)的单调区间；(2)证明：𝑓(𝑥)≥1.【变式6-2】（2022·北京高三阶

段练习）已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−12𝑎𝑥2+(1−𝑎)𝑥+1.(1)当𝑎=1时，求曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；(2)当𝑎≥1时，讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；(3)当𝑎≥2时，证明：𝑓(𝑥)

<0.【变式6-3】（2022·四川自贡·一模（理））设函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−(𝑥−1)e𝑥−𝑏，其中𝑏∈𝑅，e为自然对数底数.(1)若𝑏=1，求函数𝑓(𝑥)的最值；(2)证明：当0<𝑏≤1时，𝑓(𝑥)+ln𝑏≤0.【题型7导数中的恒成立（存在

性）问题】【方法点拨】解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值

问题，即可解决问题．(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.【例7】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数𝑓(

𝑥)=|𝑥e𝑥−𝑎|−𝑎𝑥(ln𝑥+1)(𝑎∈𝑅).(1)若𝑎=−1，证明：𝑓(𝑥)≥𝑥(e𝑥+2)；(2)若𝑓(𝑥)>0对任意的𝑥∈(0,+∞)恒成立，求a的取值范围.【变

式7-1】（2022·四川高三期中）已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥2−𝑚e𝑥(𝑚∈R)．(1)若𝑓(𝑥)在R上是单调递减，求实数𝑚的取值范围；(2)若对任意的𝑥∈(0,+∞)，不等式𝑓(𝑥)>𝑥(32𝑥−ln𝑥−1)恒成立，求实数𝑚的取值范围．【变式7-2】（2022·北

京·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=12𝑥2−(𝑎−1)ln𝑥−12(𝑎∈𝐑,𝑎≠1).(1)𝑎=3时，𝑦=𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数对任意𝑥∈[1,+∞)都有𝑓(𝑥)≥0成立，求a

的取值范围．【变式7-3】（2022·广东·高三阶段练习）已知𝑓(𝑥)=e𝑥sin𝑥.(1)若𝑥∈[0,2𝜋]，求函数𝑓(𝑥)的单调区间和极值；(2)若对∀𝑥1,𝑥2∈[0,π],𝑥1<𝑥2,都有𝑓(𝑥2）−𝑓(𝑥1）𝑥22−𝑥12+𝑎>0成

立，求实数a的取值范围.【题型8导数在实际问题中的应用】【方法点拨】解决实际问题时，首先要根据实际情况建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式，然后利用导数研究，进而解决问题.【例8】用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要

求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？【变式8-1】（2022·山东泰安·高二期中）如图，一个面积为6400平方厘米的矩形纸板𝐴𝐵𝐶𝐷，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)

．设小正方形边长为𝑥厘米，矩形纸板的两边𝐴𝐵,𝐴𝐷的长分别为𝑎厘米和𝑏厘米，其中𝑎≥𝑏.（1）当𝑎=80，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定𝑎,𝑏,𝑥的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．【变式8-2】（2022·全国·高三专题练习）

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为𝑘米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12𝑘元／根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为𝑥米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为[(512

𝑥2+20)𝑥100+8]𝑘元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为𝑦元.（Ⅰ）试写出𝑦关于𝑥的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）当𝑘=100米时

，试确定座位的个数，使得总造价最低【变式8-3】（2022·河南·高三阶段练习（理））某超市开展促销活动，经测算该商品的销售量为s件与促销费用x元满足𝑠=10−𝑥+10ln𝑥．已知s件该商品的进价成本为40+𝑠元，商品的销售价

格定为51+11𝑥𝑠元/件．(1)将该商品的利润y元表示为促销费用x元的函数；(2)促销费用投入多少元时，商家的利润最大？最大利润为多少?（结果取整数）．参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.099，ln5≈1.61．