【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.11 数学归纳法（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(8)页，307.437 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.11数学归纳法（重难点题型精讲）1．归纳法由一系列有限的特殊事件得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法，它是人们发现规律，产生猜想的一种方法.归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法.2．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的

命题，可按下列步骤进行：第一步(归纳莫基)，证明当n取第一个值()时命题成立；第二步(归纳递推)，以当n=k(k≥,k)时命题成立为条件，推出当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立.上述证明方法称为数学归纳法.3．数学归纳法的重要结论及

适用范围【题型1数学归纳法的证明步骤】【方法点拨】结合所给条件，根据数学归纳法的证明步骤，进行求解即可.【例1】（2022·上海·高二专题练习）已知𝑛为正偶数，用数学归纳法证明1−12+13−14+⋯+1𝑛−1>2(1𝑛+2+1𝑛+4+⋯+12𝑛)时，若已假设𝑛=𝑘（𝑘

≥2，且𝑘为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．𝑛=𝑘+1时不等式成立B．𝑛=𝑘+2时不等式成立C．𝑛=2𝑘+2时不等式成立D．𝑛=2(𝑘+2)时不等式成立【变式1-1】（2022·吉林·模拟预测

（理））用数学归纳法证明1+𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛+1=1−𝑎𝑛+21−𝑎,(𝑎≠1)时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（）A．1=1−𝑎31−𝑎B．1+𝑎=1−𝑎31−𝑎C．1+𝑎2=1−𝑎31−𝑎D．1+𝑎+𝑎2

=1−𝑎31−𝑎【变式1-2】（2022·上海·高二专题练习）用数学归纳法证明等式(𝑛+1)(𝑛+2)⋅⋯⋅(𝑛+𝑛)=2𝑛⋅1⋅3⋅⋯⋅(2𝑛−1)(𝑛∈N∗)，从𝑘到𝑘+1左端需要增乘的代数式为（）A．2𝑘+1B．2(2𝑘+1)C．2

𝑘+1𝑘+1D．2𝑘+3𝑘+1【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）在用数学归纳法求证：(𝑛+1)(𝑛+2)⋯(𝑛+𝑛)=2𝑛⋅1⋅3⋯(2𝑛−1)，（𝑛为正整数）的过程中，从“𝑘到𝑘+1”左边需增乘的代数式为（）A．2𝑘+2B．(2𝑘+1)(2𝑘+2)C．

2𝑘+22𝑘+1D．2(2𝑘+1)【题型2用数学归纳法证明恒等式】【方法点拨】数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其关键在于第二步，它有一个基本格式，我们不妨设命题为P(n)：f(n)=

g(n).其第二步相当于做一道条件等式的证明题.【例2】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×2+2×5+⋅⋅⋅+𝑛(3𝑛−1)=𝑛2(𝑛+1)（𝑛∈𝑁,𝑛≥1）．【变式2-1】（2022·广

西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：(12+1)+(22+2)+⋯+(𝑛2+𝑛)=13𝑛(𝑛+1)(𝑛+2)（n为正整数）．【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1＝2n(2n－3)＋3(n∈N

*).【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：1×22+2×32+3×42+⋅⋅⋅+𝑛(𝑛+1)2=𝑛(𝑛+1)12(3𝑛2+11𝑛+10)，其中𝑛∈𝑁∗.【题型3用数学归纳法证明不等式】【方法点拨】1.用数学归纳法证明与正整数n有关的不

等式，一般有三种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是比较两个式子的大小，先利用n的几个特殊值猜想大小再给出证明；三是已知不等式成立，寻求变量的取值范围.2.在证明由n=k到n=k+1成立时，一定要用归纳假设n=k时得到的中间过渡式

，由过渡式到目标式的证明可以用放缩法、基本不等式法、分析法等.【例3】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明1+12+13+…+12𝑛≤12+n(n∈N*).【变式3-1】（2021·全国·高二专题练习）求证：(1+13)(1+1

5)⋯(1+12𝑛−1)>√2𝑛+12(𝑛≥2,𝑛∈N∗).【变式3-2】证明不等式1＋1√2＋1√3＋…＋1√𝑛<2√𝑛(n∈N*)．【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）证明：不等式1+12+13+14+⋯+12𝑛−1>𝑛2

(𝑛∈𝑁∗)，恒成立.【题型4用数学归纳法证明几何问题】【方法点拨】用数学归纳法证明几何问题，关键是找出从n=k到n=k+1时图形的变化.【例4】（2022·全国·高二课时练习）求证：n棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的

侧棱的截面)的个数是f(n)＝12n(n－3)，其中n≥4，n∈N*.【变式4-1】（2022·江苏·高二课时练习）平面内有𝑛(𝑛≥2)条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数𝑓(

𝑛)=𝑛(𝑛−1)2.【变式4-2】（2022·全国·高二课时练习）平面内有𝑛个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都没有共同的交点，试证明这𝑛个圆把平面分成了𝑛2−𝑛+2个区域．【变式4-3】在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象

限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．（1）求ak的表达式

；（2）利用数学归纳法证明12+22+⋯+𝑛2=16𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)，并求出Sn的表达式；【题型5用数学归纳法证明整除问题】【方法点拨】用数学归纳法证明整除问题的关键是把n=k+1时的被除数分解成n=k时的式子及

含有除数的式子的形式.【例5】（2022·上海·高二专题练习）证明：当𝑛∈𝑁∗时，𝑓(𝑛)=32𝑛+2−8𝑛−9能被64整除．【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：𝑛3+5𝑛(𝑛∈𝑁∗)能被哪些自然数整除？【变

式5-2】（2022·江苏·高二课时练习）证明：𝑛3+5𝑛(𝑛∈𝑁∗)能够被6整除．【变式5-3】（2021·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明：𝑛3+(𝑛+1)3+(𝑛+2)3能被9整除(𝑛∈𝑁∗).【题型6用归纳法解决与递推公式有关的数列问题】【方

法点拨】在给出了已知数列的递推关系的情况下，可根据已知写出数列的前几项，利用不完全归纳法得出结论，然后利用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提，常见的等差数列、等比数列的有关结论是归纳的桥梁，而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.【例6】（2022·广西百色·高二期末（理））已知

数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，其中𝑎𝑛=𝑆𝑛𝑛(2𝑛−1)且𝑎1=13(𝑛∈𝑁∗).(1)试求：𝑎2，𝑎3的值，并猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式𝑎𝑛；(2)用数学归纳法加以证明

.【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑎2=14，且𝑎𝑛=(12+1𝑛)𝑆𝑛−2𝑛−1(𝑛∈𝑁∗).（1）求𝑆12、𝑆24、𝑆

38；（2）由（1）猜想数列{𝑆𝑛2𝑛}的通项公式，并用数学归纳法证明.【变式6-2】已知数列{an}中，a1＝1且an+1=𝑎𝑛2𝑎𝑛+1．（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．【

变式6-3】（2022·广西·高二阶段练习（理））请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①𝑆𝑛−1+𝑎𝑛=𝑛2(𝑛∈N,𝑛≥2)②𝑎𝑛+1=𝑛𝑎𝑛−2�

�2+3𝑛+1(𝑛∈N,𝑛≥1)已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆1=1，_______.(1)求𝑎2,𝑎3,𝑎4；(2)猜想数列{𝑎𝑛}的通项公式，并用数学归纳法证明.