【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.13 等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）（学生版）.docx，共(10)页，24.712 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.13等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练（30道）【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________1．（2022·江苏南通·高二期中）设等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为

𝑆𝑛，已知𝑎6=15，𝑆5=45．(1)求𝑎𝑛；(2)若𝑎𝑛为𝑎𝑛−3与𝑎2𝑛−1(𝑛≥4,𝑛∈𝑁∗)的等比中项，求𝑛．2．（2022·广东·高二期中）已知等差数列{𝑎𝑛}满足，𝑎1=10，且𝑎2

+10，𝑎3+8，𝑎4+6成等比数列．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若数列{𝑏𝑛}的通项公式为𝑏𝑛=2𝑛，求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和．3．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知等差数列{𝑎𝑛}的前n

项和为𝑆𝑛，且2𝑎6−𝑆5=3，2𝑆6−3𝑎8=9．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑎=𝑎𝑛⋅2𝑛−1，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．4．（2022·四川·高三期中）已知等差数列{𝑎𝑛}和等比数列{𝑏𝑛}满足𝑎1=𝑏1=1，𝑎2+𝑎4=

10，𝑏2𝑏4=𝑎5.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求和：𝑏1+𝑏3+𝑏5+⋯+𝑏2𝑛−1.5．（2022·广东·高二期中）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=32𝑛2+12𝑛，递增的等比数列{𝑏𝑛}满足：𝑏1+𝑏4=

18，𝑏2⋅𝑏3=32．(1)求数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}的通项公式；(2)设{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛，𝑇𝑛，求𝑆𝑛，𝑇𝑛．6．（2022·江苏·高二阶段练习）等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎

1+𝑎2=10，𝑎6−𝑎4=4.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式和前𝑛项和𝑆𝑛；(2)设等比数列{𝑏𝑛}满足𝑏2=𝑎3，𝑏3=𝑎7，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.7．（20

22·黑龙江·高二阶段练习）已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1=3，且对任意的𝑛∈N∗，都有1，𝑎𝑛，𝑎𝑛+1成等差数列.(1)证明：数列{𝑎𝑛−1}为等比数列；(2)已知：𝑏𝑛=(𝑎𝑛−1)(2𝑛+1)求数列{𝑏𝑛}前𝑛和为𝑆𝑛.8．（2022·

福建·高二阶段练习）已知等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎2+2𝑎3+𝑎4=12．(1)求𝑎5+𝑎7的值；(2)若数列{𝑏𝑛}满足：𝑏𝑛=𝑎2𝑛−1，证明：数列{𝑏𝑛}是等差数列．9．（2022·广东·高三阶段练习）已知数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}满足

𝑎1=𝑏1=1，且𝑎𝑛+2𝑏𝑛+1−𝑎𝑛𝑏𝑛=0．(1)若数列{𝑎𝑛}为等比数列，公比为q，|𝑎1−𝑎2|=2，求{𝑏𝑛}的通项公式；(2)若数列{𝑎𝑛}为等差数列，𝑎𝑛+2−𝑎𝑛+1=2，求{𝑏𝑛}的前n项和𝑇�

�．10．（2022·贵州贵阳·高三期中（文））已知{𝑎𝑛}是以1为首项的等差数列，{𝑏𝑛}是以2为首项的正项等比数列，且满足𝑎6−𝑏2=𝑎10−𝑏3=2.(1)求{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}的通项公式；(2)求{1𝑎�

�𝑎𝑛+1}的前n项和𝑆𝑛，并求满足𝑛𝑆𝑛>2022的最小正整数n.11．（2022·全国·模拟预测）已知公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且满足𝑆4=10，𝑎1，𝑎2，𝑎4成等比数列，𝑎𝑛=log2𝑏

𝑛.(1)求数列{𝑏𝑛}的通项公式；(2)设𝑐𝑛=log2𝑎𝑛𝑏𝑛𝑎𝑛+1，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.12．（2022·浙江省高三阶段练习）已知正项等比数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+

𝑎2+𝑎3=7且3𝑎1是𝑎2，𝑎3的等差中项，数列{𝑏𝑛}满足𝑏1=2，𝑏𝑛𝑛−𝑏𝑛−1𝑛−1=1𝑛(𝑛−1)(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)．(1)求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公

式；(2)求数列{|𝑎𝑛−𝑏𝑛|}的前𝑛项和𝑆𝑛．13．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列{𝑎𝑛}的首项𝑎1=1，公比为q，{𝑏𝑛}是公差为𝑑(𝑑>0)的等差数列，𝑏1=𝑎1，𝑏3=𝑎3，𝑏2是𝑏1

与𝑏7的等比中项．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设{𝑏𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，数列{𝑐𝑛}满足𝑛𝑐𝑛=𝑎𝑛2𝑆𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前n项和𝑇𝑛．14．（2022·全国·模拟预测）己知𝑆𝑛为等比

数列{𝑎𝑛}的前n项和，若4𝑎2，2𝑎3，𝑎4成等差数列，且𝑆4=8𝑎2−2.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛=𝑎𝑛(𝑎𝑛+2)(𝑎𝑛+1+2)，且数列{𝑏𝑛}的前n项和为𝑇𝑛，证明：112≤𝑇𝑛<1

4.15．（2023·重庆·高三阶段练习）已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，公差𝑑≠0，且满足2𝑆1−𝑆3=3,𝑎5,𝑎4,𝑎7成等比数列．(1)求𝑎𝑛；(2)求数列{|𝑎𝑛|}的前30项和．16．（2022·黑龙江·高二期中）已知等差数列{𝑎

𝑛}中，𝑎10=10，𝑎17=17，在各项均为正数的等比数列{𝑏𝑛}中，𝑏1=𝑎2，𝑏3=𝑎8．(1)求数列{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}的通项公式(2)求数列{𝑎𝑛𝑏𝑛}的前n项和𝑇𝑛．17．（2022·湖南常德·高三阶段练习）已

知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1，𝑎𝑛+1=2𝑎𝑛，𝑛∈𝑁*，数列{𝑏𝑛}是等差数列，且𝑏1=𝑎2，𝑏3=𝑎2+𝑎3+𝑎4．(1)求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式(2)设

𝑐𝑛=𝑎𝑛−𝑏𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛．18．（2022·广西·模拟预测（文））数列{𝑎𝑛}满足2𝑎2𝑘+1=𝑎2𝑘−1+𝑎2𝑘+3，𝑎2𝑘+2𝑎2𝑘=𝑞（𝑘∈𝑁*,𝑞为正常数），且𝑎2=2𝑎1=2，𝑎32=𝑎

2⋅𝑎6，𝑎1+𝑎2+𝑎3=𝑎5.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛.19．（2022·福建三明·高二阶段练习）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，满足3𝑆𝑛=2(𝑎𝑛−1)，{𝑏

𝑛}是以𝑎1为首项且公差不为0的等差数列，𝑏2,𝑏3,𝑏7成等比数列.(1)求数列{𝑎𝑛},{𝑏𝑛}的通项公式；(2)令𝑐𝑛=𝑎𝑛𝑏𝑛，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.20

．（2022·黑龙江·模拟预测）已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，且𝑎2+𝑎3+𝑎4=14，𝑎3+1是𝑎2，𝑎4的等差中项，数列{𝑏𝑛}满足：数列{𝑎𝑛⋅𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑛⋅2𝑛.(1)求数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}的通项公式；(2)若�

�𝑛=𝑎𝑛+𝑏𝑛，𝑑𝑛=𝑎𝑛+1𝑐𝑛𝑐𝑛+1，求数列{𝑑𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛.21．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎4=4𝑎1，𝑎6+𝑎8=14，等比数列{𝑏𝑛}满足𝑏1=1，log2𝑏4=−3．(1)

求数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的通项公式；(2)令𝑐𝑛={1𝑎𝑛2,𝑛为奇数𝑎𝑛⋅𝑏𝑛，𝑛为偶数，求证：𝑐1+𝑐2+⋯+𝑐𝑛<10936，其中𝑛≥4．22．（2022·陕西·高二阶段练习（

文））已知数列{𝑎𝑛}是公差不为零的等差数列，𝑎1=1且𝑎2,𝑎5,𝑎14成等比数列.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)求数列{2𝑎𝑛+𝑎𝑛+1}的前𝑛项和𝑆𝑛.23．（2022·黑龙江·高三阶段练习（文））已知{an}是各

项均为正数的等比数列，𝑎1=2，𝑎3=2𝑎2+16．(1)求{an}的通项公式；(2)设𝑏𝑛=log2𝑎𝑛，求数列{bn}的前n项和．24．（2022·全国·模拟预测）在数列{𝑎𝑛}

中，𝑎1=2，𝑎2=8，且对任意的𝑛∈N*，都有𝑎𝑛+2=4𝑎𝑛+1−4𝑎𝑛.(1)证明：{𝑎𝑛+1−2𝑎𝑛}是等比数列，并求出{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛={𝑛𝑎𝑛,𝑛=2

𝑘−1,𝑘∈N*log2𝑛𝑎𝑛,𝑛=2𝑘,𝑘∈N*，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.25．（2022·陕西·高三阶段练习（理））已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，𝑛∈𝑁*，再从条件①、条件②和条件

③中选择两个作为已知，并完成解答.条件①：𝑎2=4；条件②：𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=2；条件③：𝑆2=6.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设等比数列{𝑏𝑛}满足𝑏3=𝑎2，𝑏4=𝑎4，求数列{𝑎𝑛+�

�𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.26．（2022·上海高二期中）已知数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎𝑛+1=𝑎𝑛1+3𝑎𝑛(1)判断数列{1𝑎𝑛}是否为等差数列？并求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设数列{𝑏𝑛}满足：𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛，求{𝑏𝑛}的前n项和𝑇�

�.27．（2022·福建泉州·高三阶段练习）已知公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1=1，𝑎4是𝑎2和𝑎8的等比中项.(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式：(2)保持数列{𝑎𝑛}中各项先后

顺序不变，在𝑎𝑘与𝑎𝑘+1(𝑘=1,2,⋯)之间插入2𝑘，使它们和原数列的项构成一个新的数列{𝑏𝑛}，记{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，求𝑇20的值.28．（2022·山西临汾·高三阶段练习）在各项均为正数的等比数列{�

�𝑛}中，𝑆𝑛为其前n项和，𝑎1=1，𝑎3，2𝑆2，𝑎4成等差数列．(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑏𝑛=log2(𝑆𝑛+1)，数列{𝑏𝑛+2𝑏𝑛𝑏𝑛+1𝑎𝑛+2}的前n项和为𝑇𝑛，证明：38≤𝑇𝑛<12．29．（2023·山

东省高三阶段练习）已知公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎2=3，且𝑎1,𝑎3,𝑎7成等比数列．(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；(2)设数列{𝑏𝑛}满足𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+2,{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求证:𝑆𝑛<512

．30．（2022·上海·高二期中）已知等差数列{𝑎𝑛}公差为𝑑(𝑑≠0)，前n项和为𝑆𝑛.(1)若𝑎1=−1，𝑆3=12，求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)若𝑎1=1，𝑎1、𝑎3、𝑎13成等比数列，且存在正整数p、𝑞(𝑝≠𝑞)，使得𝑎𝑝𝑞与�

�𝑞𝑝均为整数，求𝑎𝑝+𝑞的值；(3)若𝑓(𝑥)=2𝑥−12𝑥+1，证明对任意的等差数列{𝑎𝑛}，不等式(∑𝑎𝑖2022𝑖=1)⋅(∑𝑓(𝑎𝑖)2022𝑖=1)≥0恒成立.