【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.12 数学归纳法（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(12)页，55.941 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.12数学归纳法（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高三专题练习）利用数学归纳法证明不等式1+12+13+⋯+12𝑛−1<𝑛(𝑛≥2,𝑛∈𝑁∗)的

过程中，由𝑛=𝑘到𝑛=𝑘+1，左边增加了（）A．1项B．k项C．2𝑘−1项D．2𝑘项【解题思路】分别分析当𝑛=𝑘与𝑛=𝑘+1时等号左边的项，再分析增加项即可【解答过程】由题意知当𝑛=𝑘时，左边

为1+12+13+⋯+12𝑘−1，当𝑛=𝑘+1时，左边为1+12+13+⋯+12𝑘−1+12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2+⋯+12𝑘+1−1，增加的部分为12𝑘+12𝑘+1+12𝑘+2+⋯+12𝑘+1−1，共2𝑘项．故选：D.

2．（3分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：12+22+⋅⋅⋅+𝑛2+⋅⋅⋅+22+12=13𝑛(2𝑛2+1)，第二步从𝑘到𝑘+1，等式左边应添加的项是（）A．(𝑘2+1)2B．𝑘2+1C

．(𝑘+1)2+𝑘2D．(𝑘+1)2+2𝑘2【解题思路】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出𝑛=𝑘与𝑛=𝑘+1时的结论，即可得到答案．【解答过程】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于𝑛=𝑘，左边=12+22+⋯+(𝑘−1)2+𝑘2+(𝑘

−1)2+⋯+22+12,𝑛=𝑘+1时，左边=12+22+⋯+(𝑘−1)2+𝑘2+(𝑘+1)2+𝑘2+(𝑘−1)2+⋯+22+12，比较两式，从而等式左边应添加的式子是(𝑘+1)2+𝑘2，故选：C．3．（3分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有𝑛个圆，其中每两个圆都

相交于两点，且每三个圆都无公共点，用𝑓(𝑛)表示这𝑛个圆把平面分割的区域数，那么𝑓(𝑛+1)与𝑓(𝑛)之间的关系为（）A．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+𝑛B．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+2𝑛C．𝑓(𝑛+1)=

𝑓(𝑛)+𝑛+1D．𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+𝑛−1【解题思路】第𝑛+1个圆与前𝑛个圆相交有2𝑛个交点，这些交点把第𝑛+1个圆分成2𝑛段圆弧，每段圆弧把它所在区域分成两部分，由此可得增加的区域数，得出结论．【解答过程】依题意得，由𝑛个圆增加到𝑛+

1个圆，增加了2𝑛个交点，这2𝑛个交点将新增的圆分成2𝑛段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2𝑛块区域，因此𝑓(𝑛+1)=𝑓(𝑛)+2𝑛．故选：B．4．（3分）（2022·全国·高二

课时练习）用数学归纳法证明“5𝑛−2𝑛能被3整除”的第二步中，𝑛=𝑘+1时，为了使用假设，应将5𝑘+1−2𝑘+1变形为（）A．5(5𝑘−2𝑘)+3×2𝑘B．(5𝑘−2𝑘)+4×5𝑘−2𝑘C．(5−2)(5𝑘−2𝑘)D．2(5𝑘−2𝑘)−

3×5𝑘【解题思路】假设𝑛=𝑘时命题成立，分解5𝑘+1−2𝑘+1的过程中要分析出含有5𝑘−2𝑘的项即可求解.【解答过程】解：假设𝑛=𝑘时命题成立，即：5𝑘−2𝑘被3整除．当𝑛=𝑘+1时，5𝑘+1−2𝑘+1=5×5𝑘−2×2𝑘=5(5𝑘−2𝑘)+5×2𝑘−2×

2𝑘=5(5𝑘−2𝑘)+3×2𝑘，故选：A．5．（3分）（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明不等式1𝑛+1+1𝑛+2+1𝑛+3+⋯+12𝑛>1324(n≥2)的过程中，由n

＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边（）A．增加了一项12(𝑘+1)B．增加了两项12𝑘+1，12(𝑘+1)C．增加了两项12𝑘+1，12(𝑘+1)，又减少了一项1𝑘+1D．增加了一项12(𝑘+1)，又减

少了一项1𝑘+1【解题思路】将n＝k、n＝k＋1代入不等式左边，比较两式即可求解.【解答过程】n＝k时，左边为1𝑘+1＋1𝑘+2＋…＋12𝑘，①n＝k＋1时，左边为1𝑘+2＋1𝑘+3＋…＋12𝑘＋12𝑘+1

＋12(𝑘+1)，②比较①②可知C正确.故选：C.6．（3分）（2021·江苏·高二课时练习）用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋𝑛(𝑛−1)2d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（）A．a1＋(k－1)dB．𝑘(𝑎1+𝑎𝑘)2C．

ka1＋𝑘(𝑘−1)2dD．(k＋1)a1＋𝑘(𝑘+1)2d【解题思路】只需把公式中的n换成k即可．【解答过程】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋𝑘(𝑘−

1)2d.故选:C.7．（3分）（2022·上海·高二专题练习）对于不等式√𝑛2+𝑛＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，√12+1＜1＋1，不等式成立．（2）假设当n＝k(k∈N

*)时，不等式成立，即√𝑘2+𝑘＜k＋1，则当n＝k＋1时，√(𝑘+1)2+(𝑘+1)＝√𝑘2+3𝑘+2＜√(𝑘2+3𝑘+2)+𝑘+2＝√(𝑘+2)2＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（）A．过程全

部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确【解题思路】根据数学归纳法的定义即可判断答案.【解答过程】在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设.故选:D.8．（3分）（2021·全国·高二专题练习）用数学

归纳法证明“(3𝑛+1)⋅7𝑛−1(𝑛∈𝑁∗)能被9整除”，在假设𝑛=𝑘时命题成立之后，需证明𝑛=𝑘+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.A．3×7𝑘+6B．3×7𝑘+1+6C．3×7𝑘−3D．3×7𝑘+1−3

【解题思路】假设𝑛=𝑘时命题成立，即(3𝑘+1)⋅7𝑘−1能被9整除，计算当𝑛=𝑘+1时，[3(𝑘+1)+1]⋅7𝑘+1−1−[(3𝑘+1)⋅7𝑘−1]=6⋅[(3𝑘+1)⋅7𝑘−1]+3⋅7𝑘+1+6，即可得解.【解答

过程】解：假设𝑛=𝑘时命题成立，即(3𝑘+1)⋅7𝑘−1能被9整除，当𝑛=𝑘+1时，[3(𝑘+1)+1]⋅7𝑘+1−1−[(3𝑘+1)⋅7𝑘−1]=(3𝑘+4)⋅7𝑘+1−(3𝑘+1)⋅7𝑘=[(3𝑘+1)+3]⋅7𝑘+1−(3𝑘

+1)⋅7𝑘=(3𝑘+1)⋅7𝑘+1+3⋅7𝑘+1−(3𝑘+1)⋅7𝑘=6⋅(3𝑘+1)⋅7𝑘+3⋅7𝑘+1=6⋅[(3𝑘+1)⋅7𝑘−1]+3⋅7𝑘+1+6,∵(3𝑘+1)⋅7𝑘−1能被9整除,要证上式能被9整除，还需证明3⋅7𝑘+1

+6也能被9整除,故选：𝐵.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·全国·高二课时练习）对于不等式√𝑛2+𝑛≤𝑛+1(𝑛∈𝑁∗)，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：

①当𝑛=1时，√12+1≤1+1，不等式成立.②假设当𝑛=𝑘(𝑘≥1,𝑘∈𝑁∗)时，不等式成立，即√𝑘2+𝑘≤𝑘+1，则当𝑛=𝑘+1时，√(𝑘+1)2+(𝑘+1)=√𝑘2+3𝑘+2<√𝑘2+3𝑘+2+(𝑘+2)=√(𝑘+2)2=(𝑘

+1)+1，所以当𝑛=𝑘+1时，不等式成立.上述证法（）A．过程全部正确B．𝑛=1时证明正确C．过程全部不正确D．从𝑛=𝑘到𝑛=𝑘+1的推理不正确【解题思路】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可

.【解答过程】易知当𝑛=1时，该同学的证法正确.从𝑛=𝑘到𝑛=𝑘+1的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确.故选：BD.10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）某个命题与正整数n有关，如果当𝑛=𝑘(𝑘∈�

�∗)时命题成立，则可得当𝑛=𝑘+1时命题也成立，若已知当𝑛=5时命题不成立，则下列说法正确的是（）A．当𝑛=4时，命题不成立B．当𝑛=1时，命题可能成立C．当𝑛=6时，命题不成立D．当𝑛=6时，命题可能成立也可能不成立，但若当𝑛=6时命题成立，则对任意𝑛≥6，命题都成立【解题思

路】利用给定信息结合反证法的思想，逐一对各选项进行分析、推导即可判断作答.【解答过程】如果当𝑛=4时命题成立，则当𝑛=5时命题也成立，与题设矛盾，即当𝑛=4时，命题不成立，A正确；如果当𝑛=1时命题成立，则当𝑛=2时命题成立，继续推导可得当𝑛=5时命题成立，与题

设矛盾，B不正确；当𝑛=6时，该命题可能成立也可能不成立，如果当𝑛=6时命题成立，则当𝑛=7时命题也成立，继续推导可得对任意𝑛≥6，命题都成立，C不正确，D正确.故选：AD.11．（4分）（2022·全国·高三专题练习

）用数学归纳法证明2𝑛−12𝑛+1>𝑛𝑛+1对任意𝑛≥𝑘(𝑛,𝑘∈𝑁)的自然数都成立，则以下满足条件的𝑘的值中正确的为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】先验证四个选项中符合要求的𝑘的值，再用数学归纳法进行充分性证明.【解答过程】当𝑘=1时，2−12+1=13<1

1+1，不合要求，舍去当𝑘=2时，22−122+1=35<22+1，不合要求，舍去；当𝑘=3时，23−123+1=79>33+1，符合题意，当𝑘=4时，24−124+1=1517>44+1，符合题意，下证：当𝑛≥

3时，2𝑛−12𝑛+1>𝑛𝑛+1成立，当𝑛=3时，23−123+1=79>33+1成立，假设当𝑛=𝑘(𝑘≥3)时，均有2𝑘−12𝑘+1>𝑘𝑘+1，解得：2𝑘>2𝑘+1当𝑛=𝑘+1时，有2�

�+1−12𝑘+1+1=1−22𝑘+1+1>1−24𝑘+2+1=4𝑘+14𝑘+3，因为4𝑘+14𝑘+3−𝑘+1𝑘+2=2𝑘−1(4𝑘+3)(𝑘+2)>0，所以2𝑘+1−12𝑘+1+1>𝑘+1(𝑘+1)+1成立，由数学归纳法可知：2𝑛−12𝑛+

1>𝑛𝑛+1对任意𝑛≥3的自然数都成立，故选：CD.12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）（多选题）数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1=−𝑎𝑛2+𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，𝑎1∈(0,12)，则以下说法正确的为（）A．0<𝑎𝑛+1<𝑎𝑛B．𝑎12+𝑎22+𝑎32+

⋅⋅⋅+𝑎𝑛2<𝑎1C．对任意正数𝑏，都存在正整数𝑚使得11−𝑎1+11−𝑎2+11−𝑎3+⋅⋅⋅+11−𝑎𝑚>𝑏成立D．𝑎𝑛<1𝑛+1【解题思路】对于A，结合二次函数的特点可确定正误；对于B，将原式化简为𝑎1−𝑎𝑛+1<𝑎1，由𝑎𝑛+1>0得到结果；对于C

，结合𝑎1范围和A中结论可确定11−𝑎1+11−𝑎2+⋅⋅⋅+11−𝑎𝑛>𝑛，由此判断得到结果；对于D，利用数学归纳法可证得结论.【解答过程】对于A，𝑎𝑛+1=−𝑎𝑛2+𝑎𝑛=−(𝑎𝑛−12)2+14，若𝑎𝑛∈(0,12)，则𝑎𝑛+1∈(0

,14)，又𝑎1∈(0,12)，可知𝑎𝑛>0，𝑎𝑛+1>0，又𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=−𝑎𝑛2<0，∴0<𝑎𝑛+1<𝑎𝑛，A正确；对于B，由已知得：𝑎𝑛2=𝑎𝑛−𝑎𝑛+1，∴𝑎12+𝑎22+⋅⋅⋅+𝑎𝑛2=(𝑎1−𝑎2)+

(𝑎2−𝑎3)+⋅⋅⋅+(𝑎𝑛−𝑎𝑛+1)=𝑎1−𝑎𝑛+1<𝑎1，B正确；对于C，由𝑎1∈(0,12)及A中结论得：12<1−𝑎𝑛<1，1<11−𝑎𝑛<2，∴11−𝑎1+11−𝑎2+⋅⋅⋅+1

1−𝑎𝑛>𝑛，显然对任意的正数𝑏，在在正整数𝑚，使得𝑚>𝑏，此时11−𝑎1+11−𝑎2+11−𝑎3+⋅⋅⋅+11−𝑎𝑚>𝑏成立，C正确；对于D，（i）当𝑛=1时，由已知知：𝑎1<12成立，（ii）假设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，𝑎𝑛<1𝑛+1成立，则𝑎

𝑛+1=−𝑎𝑛2+𝑎𝑛=−(𝑎𝑛−12)2+14<−(1𝑛+1)2+1𝑛+1，又−1(𝑛+1)2+1𝑛+1−1𝑛+2=−1(𝑛+2)(𝑛+1)2<0，即−1(𝑛+1)2+

1𝑛+1<1𝑛+2，∴𝑎𝑛+1<1𝑛+2，综上所述：当𝑛∈𝑁∗时，𝑎𝑛+1<1𝑛+2，D正确.故选：ABCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·广西河池·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明n3＋5n能被6整除的过程中，当n＝

k＋1时，式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.【解题思路】将n＝k＋1代入，分解因式可得(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6即可.【解答过程】(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋1＋3k2＋3k＋5k＋5＝(k3＋5k)＋

3k2＋3k＋6＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.∵k(k＋1)为偶数，∴3k(k＋1)能被6整除，∴(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.故答案为：(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.14．（4分）（2022·全国·高二专题练习）用数

学归纳法证明：“两两相交且不共点的n条直线把平面分为f(n)部分，则f(n)＝1＋𝑛(𝑛+1)2.”证明第二步归纳递推时，用到f(k＋1)＝f(k)＋k＋1.【解题思路】从目标f(n)＝1＋𝑛(𝑛+1)2分析，𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)的结果，

便可知第二步归纳递推时需要要证明的结论.【解答过程】f(k)＝1＋𝑘(𝑘+1)2，f(k＋1)＝1＋(𝑘+1)(𝑘+2)2，∴f(k＋1)－f(k)＝[1+(𝑘+1)(𝑘+2)2]−[1+𝑘(𝑘+1)2]＝k＋1，∴f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)．故答案为：k

＋1.15．（4分）（2022·辽宁·高二期中）证明不等式1+12+13+14+⋯+12𝑛−1>𝑛2(𝑛∈N∗)，假设𝑛=𝑘时成立，当𝑛=𝑘+1时，不等式左边增加的项数．．是2𝑘．【解题思路】根据数学归纳法，结合不等式左

边的特征判断增加的项数即可.【解答过程】当𝑛=𝑘时，左边1+12+13+14+⋯+12𝑘−1，当𝑛=𝑘+1时，左边1+12+13+14+⋯+12𝑘−1+...+12𝑘+1−1，而(2𝑘+1−1)−(2𝑘−1)=2𝑘+1−2𝑘=2𝑘，所以𝑛=𝑘+1时不等式左边增加了2𝑘

项.故答案为：2𝑘.16．（4分）（2021·全国·高二课前预习）用数学归纳法证明1+2+22+⋯+2𝑛−1=2𝑛−1(n∈N*)的过程如下：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；（2）假

设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋22＋⋯＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋⋯＋2k－1＋2k＝1−2𝑘+11−2＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立.由此可知

对于任何n∈N*，等式都成立.上述证明的错误是未用归纳假设.【解题思路】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案.【解答过程】本题在由n＝k成立，证n＝k＋1成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上假设条件，这与数学归纳法的要求不符.故答案为：未用归纳假设.四．

解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：121×3+223×5+⋯+𝑛2(2𝑛−1)(2𝑛+1)=𝑛(𝑛+1)2(2𝑛+1)．【解题思路】利用数学归纳法，先证明当

𝑛=1时，等式成立，假设当𝑛=𝑘时成立，证明当𝑛=𝑘+1时等式成立即可.【解答过程】解：（1）当𝑛=1时，左边=121×3=13，右边=1×22×3=13，等式成立，（2）假设当𝑛=𝑘时，等式成立，即121×3+223×5＋…＋𝑘2(2𝑘−1)(2𝑘+1)＝

𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1)，当𝑛=𝑘+1时，121×3+223×5＋…＋𝑘2(2𝑘−1)(2𝑘+1)+(𝑘+1)2(2𝑘+1)(2𝑘+3)=𝑘(𝑘+1)2(2𝑘+1)+(𝑘+1)2(2𝑘

+1)(2𝑘+3)=𝑘+12𝑘+1(𝑘2+𝑘+12𝑘+3)=𝑘+12𝑘+1⋅(𝑘+2)(2𝑘+1)2(2𝑘+3)=(𝑘+1)[(𝑘+1)+1]2[2(𝑘+1)+1]，即当�

�=𝑘+1时等式也成立.，由（1）（2）可知：等式对任何𝑛∈𝑁∗都成立，故121×3+223×5+⋯+𝑛2(2𝑛−1)(2𝑛+1)=𝑛(𝑛+1)2(2𝑛+1).18．（6分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））用数学归纳法证明：

对任意正整数𝑛,4𝑛+15𝑛−1能被9整除．【解题思路】按照数学归纳法的步骤操作即可证明.【解答过程】证明：（1）当𝑛=1时，4𝑛+15𝑛−1=18，能被9整除，故当𝑛=1时，4𝑛+1

5𝑛−1能被9整除．（2）假设当𝑛=𝑘时，命题成立，即4𝑘+15𝑘−1能被9整除，则当𝑛=𝑘+1时，4𝑘+1+15(𝑘+1)−1=4(4𝑘+15𝑘−1)−9(5𝑘−2)也能被9整除.综合(1)(2)可得,对

任意正整数𝑛,4𝑛+15𝑛−1能被9整除．19．（8分）（2022·全国·高二课时练习）平面内有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，记这n个圆的交点个数为f(n)，猜想f(n)的

表达式，并用数学归纳法证明．【解题思路】当n＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，……，由此归纳出f(n)＝n(n－1)(n≥2)，然后利用数学归纳法证明即可【解答过程】n

＝2时，f（2）＝2＝1×2，n＝3时，f（3）＝2＋4＝6＝2×3，n＝4时，f(4)＝6＋6＝12＝3×4，n＝5时，f(5)＝12＋8＝20＝4×5，猜想f(n)＝n(n－1)(n≥2)．下面用

数学归纳法给出证明：①当n＝2时，f（2）＝2＝2×(2－1)，猜想成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)，时猜想成立，即f(k)＝k(k－1)，则n＝k＋1时，其中圆O与其余k个圆各有两个交点，而由假设知这k个圆有f(k

)个交点，所以这k＋1个圆的交点个数f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k(k－1)＋2k＝k2＋k＝(k＋1)[(k＋1)－1]，即n＝k＋1时猜想也成立．由①②知：f(n)＝n(n－1)(n≥2)．20．（8分）（2022·河南南阳·高二期末（理））设正项数列{𝑎𝑛}的首项为

4，满足𝑎𝑛2=𝑎𝑛+1+3𝑛𝑎𝑛−3．(1)求𝑎2，𝑎3，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．【解题思路】（1）由首项及递推关系式逐次求得𝑎2,𝑎3，再根据前三项总结规律猜想出数列的通项公式；（2）根据已知条件得到递推关系，

利用递推关系按数学归纳法步骤证明即可.【解答过程】(1)由𝑎𝑛2=𝑎𝑛+1+3𝑛𝑎𝑛−3可得𝑎𝑛+1=𝑎𝑛2−3𝑛𝑎𝑛+3，又𝑎1=4，则𝑎2=𝑎12−3𝑎1+3=7，𝑎3=𝑎22

−6𝑎2+3=10，则𝑎2=7,𝑎3=10，猜想𝑎𝑛=3𝑛+1；(2)由（1）得𝑎𝑛+1=𝑎𝑛2−3𝑛𝑎𝑛+3，当𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑎𝑛−12−3(𝑛−1)𝑎𝑛−1+3，①当𝑛=1时，猜想显然成立；②假设当𝑛=�

�(𝑘≥2,𝑘∈N∗)时成立，即𝑎𝑘=3𝑘+1；当𝑛=𝑘+1时，𝑎𝑘+1=𝑎𝑘2−3𝑘𝑎𝑘+3=(3𝑘+1)2−3𝑘(3𝑘+1)+3=3𝑘+4=3(𝑘+1)+1，猜想成立，由①②知猜想恒成立，即𝑎𝑛=3𝑛+1.21．（8分

）（2022·全国·高二课时练习）下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？（1）求证：当𝑛∈𝑁∗时，𝑛=𝑛+1．证明：假设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，等式成立，即𝑘=𝑘+1．

则当𝑛=𝑘+1时，左边=𝑘+1=(𝑘+1)+1=右边．所以当𝑛=𝑘+1时，等式也成立．由此得出，对任何𝑛∈𝑁∗，等式𝑛=𝑛+1都成立．（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2．证明，①当𝑛=1时，左边=�

�1=𝑎1，右边=𝑎1，等式成立．②假设当𝑛=𝑘(𝑘∈𝑁∗)时，等式成立，即𝑆𝑘=𝑘(𝑎1+𝑎𝑘)2．则当𝑛=𝑘+1时，𝑆𝑘+1=𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑥+𝑎𝑘+𝑎𝑘+1，𝑆𝑘+1=𝑎𝑘+1+𝑎𝑘+𝑎𝑘−1+⋯+𝑎2+𝑎1．上面

两式相加并除以2，可得𝑆𝑘+1=(𝑘+1)(𝑎1+𝑎𝑘+1)2，即当𝑛=𝑘+1时，等式也成立．由①②可知，等差数列的前n项和公式是𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2【解题思路】根据数学归纳法分为两步，①

证明当𝑛=1时，结论成立，②假设当𝑛=𝑘时，结论成立，当𝑛=𝑘+1时，应用归纳假设，证明𝑛=𝑘+1时，命题也成立，根据数学归纳法的步骤判断过程的错误之处.【解答过程】（1）有错误，错误在于没有证明第（1）步，即没有证

明𝑛=1时等式成立；（2）有错误，错误在于证明𝑛=𝑘+1时，没有应用𝑛=𝑘时的假设，而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程.22．（8分）（2021·全国·高二专题练习）汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的

是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为

an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝

n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.【解题思路】（1）直接由题意求得𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4的值，并猜想出𝑎𝑛；（2）求出𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5的值，𝑏1,𝑏2,𝑏3,𝑏4,𝑏5的值，可得当2≤𝑛<5时，𝑎

𝑛<𝑏𝑛，猜想：当𝑛≥5时，𝑎𝑛>𝑏𝑛，即2𝑛−1>𝑛2，然后利用数学归纳法证明即可.【解答过程】（1）由题意得，𝑎1=1，𝑎2=3，𝑎3==7，𝑎4=15，猜想：𝑎𝑛

=2𝑛−1.（2）𝑎1=1，𝑎2=3，𝑎3=7，𝑎4=15，𝑎5=31，𝑏1=1，𝑏2=4，𝑏3=9，𝑏4=16，𝑏5=25，则当2≤𝑛<5时，𝑎𝑛<𝑏𝑛，猜想：当𝑛≥5时，𝑎𝑛>𝑏𝑛，即2𝑛−1>𝑛2，下面利用数学归纳法证明：①当𝑛

=5时，𝑎5=31，𝑏5=25，𝑎5>𝑏5，结论成立；②假设𝑛=𝑘(𝑘≥5,𝑘∈Z)时结论成立，即2𝑘−1>𝑘2，那么当𝑛=𝑘+1时，𝑎𝑘+1=2𝑘++1−1=2(2𝑘−1)+1>2𝑘2+1=𝑘2+𝑘2+1，而𝑘≥5时，𝑘(𝑘−

2)>0，即𝑘2>2𝑘，所以𝑎𝑘+1=2𝑘+1−1=2(2𝑘−1)+1>2𝑘2+1=𝑘2+𝑘2+1>𝑘2+2𝑘+1=(𝑘+1)2=𝑏𝑘+1，所以当𝑛=𝑘+1时，结论也成立.由①②可知，当𝑛≥5时，结论成立.综上，当2≤�

�<5时，𝑎𝑛<𝑏𝑛，当𝑛≥5时，𝑎𝑛>𝑏𝑛，即2𝑛−1>𝑛2.